Лекци@29-Истечение_из_сосуда_неограниченного_объема (Сборник электронных лекций)

Лекции по термодинамике
доцент каф. Э6, ктн Рыжков С.В.
Лекция №29
Истечение из сосуда
неограниченного объема

1. Основные уравнения
 vdp wdw  gdy  dlT  dlTP
(1)
С этой целью предварительно рассмотрим уравнение состояния среды в виде функциональной зависимости p    , s , дифференцирование которой приводит к
(2)
dp  p  S d  p s  ds

 p
 




 s     p    s    s  p
 s  p    T  p  T  s  p    T  p T c p
 p
 s    T c p   T  p  p    s
Скорость перемещения фронта слабого возмущения есть скорость звука в среде.
Фронт возмущения перемещается в среде со скоростью а, в то время как скорость
перемещения фронта возмущения относительно поршня определяется разностью a-dw.
Масса среды, захваченная фронтом распространения возмущения, за время dτ:
dG fad
Эта же масса, попадая в область между поршнем и фронтом возмущения, приобретает
p  dp;   d и может быть выражена
параметры возмущенной среды


dG    d  f  a  dw d
Вследствие свойства неразрывности сплошной среды
ad dw
2

Изменение количества движения массы dG составит dGdw dwfad, а импульс
силы, действующей на эту массу fdpd .
dp adw
Формула для скорости звука:
a  dp d
Учитывая это, следует записать
a 2  p   S


dp a 2 d  T   T  p ds c p
G  fw , при постоянстве dG d  fw 0 . Если принять, что
Расход газа
величины
dG
(3)
f ,  ,  переменны по длине канала, то, дифференцируя выражение для
d    df f  dw w
(4)
Дифференциал энтропии можно представить в виде суммы
ds  dqÂÍ  dqÒÐ T
dq ÂÍ
-теплота за счет внешнего теплообмена;
(5)
dqÒÐ-теплота трения.
  df dw     dqBH  dqTP 
  
a   


 wdw  gdy  dlT  3dlTP
w   T  p
cp
  f

2


dw df
dy dl
dl
dq BH
M 1
  g 2  2T  TP

w
f
a
a
a2
cP
2

    dqTP

  
 T    cP
    (6)
 

  T 
Уравнение называется уравнением обращения воздействий. Левая часть уравнения
определяет основные показатели потока (число Маха, изменение скорости течения).
В его правой части представлены члены, отражающие различные воздействия на
течение среды: изменение поперечного сечения потока, высоты, свершения
технической работы, работы трения, теплообмена с внешней средой.
(7)
dh  wdw
h1  h2  w22  w12  2
(8)
w  2  h1  h2   w12
(9)
w  2 h1  h2 
(10)
wdw  vdp
p2
w22 2  w12 2  vdp
p1
(11)
p1
w2  2 vdp  w12
p2
(12)
4

Сопоставление (7) и (11) показывает, что dh=vdp
p2
(13)
h1  h2  vdp
p1
Если движущая среда является является несжимаемой жидкостью, для которой dv=0,
то при адиабатном течении внутренняя энергия потока не изменяется (dU=0).
(14)
w2 2
p1   w12 2  p2   w22 2
Где
динамический напор, p-статическое давление,
несжимаемой среды.

-плотность
5

2. Параметры торможения
2
1
2
2
h1  w 2 h2  w 2 const
(15)
При полностью заторможенном потоке энтальпия достигает своего максимального значения,
называемого энтальпией адиабатного торможения или полной энтальпией
(16)

2
h h  w 2
(17)
T  T  w 2 2cP
Т* -температура адиабатного торможения, Т-термодинамическая температура.
(18)
a  kpv  kRT
*

2
T T 1   k  1 M / 2
(19)

 k 1 2
p  p 1 
M 
2


k  k  1
 k  1 2
*
   1 
M 
2


k  k  1
*
(20)
,
(21)
.
6

3. Адиабатное течение идеального газа в каналах
Каналы, в которых движущийся газ увеличивает скорость с одновременным
уменьшением давления, называются соплами, каналы, в которых скорость газа
уменьшается, а давление возрастает, называются диффузорами.
dw df
 M  1 w  f
 1
 d df

1

 2 
f
M
 
2
 1
 1 dT df

 2  1
f
M
k1 T
Рис. 1. Изменение параметров потока в суживающихся и расширяющихся каналах
(22)
(23)
(24)
7

Рис. 2. Зависимость давления в выходном сечении суживающегося сопла от внешнего
давления

w2   2kp1v1  k  1  1   p2 p1 
w
 

p
 k  1

w   2kp1v1  k  1  1   p2
k
2
1
k1 k
1
(25)
(26)
wкр a  2kRT  2kRT1  k  1
(27)
wкр  2kp1v1  k  1
(28)
 KP  2  k  1 
G  fC w v
k  k  1
- перепад давления
(29)
8
(30)

(31)
(32)
G  fC
2k
 k 1 k








2k p1
p2
p2
       

k  1  v1    p1 

 p1 

GKP  f KP
2k p1  2 


k  1 v1  k  1 
2  k  1
-
при истечении идеального
неограничен   KPгаза через суживающееся сопло из емкости
  KP
ных объемов расчет скорости истечения и расхода следует вести по формулам (26) и
f ВЫХи поформулам
GKP vВЫХ(28)wиВЫХ
(31) при условии
(32) при
.
9

4. Движение газа при наличие теплообмена с внешней средой
(33)
dqBH

 p c p
Подвод теплоты к потоку газа позволяет создать так называемое тепловое сопло, в
котором принципиально возможен непрерывный переход от дозвукового движения
газа к сверхзвуковому за счет изменения знака теплового воздействия (подвод
заменяется отводом теплоты при М=1).
M

2
  
 dw


w
T
1
dp
w 2   
M 1


 dqBH
p
pc p  T  p
2

(34)
M
Рис. 3. Схема теплового сопла
2
 dw
 c
w
1
dT

Tc p
10

5. Движение газа при наличие трения
В случае движения идеального газа уравнения обращения воздействия (6) и (34) примут вид
M
2

 1 dw w  kdlTP a 2
(35)
(36)
(37)
(38)
Направления изменений иллюстрируются неравенствами
если М<1, то
dw  0, dp  0, d  0
если М>1, то
Так как dqBH =0, то T1*=T2*
dw  0, dp  0, d  0
T2   k  1 2    k  1 2 
(39)
 1 
M1  1 
M2 
2 к критической
2
T1  потока
  скорости
Отношение скорости w движения
wКР называется
коэффициентом скорости
 w wKP
k 1 2

M
2
 k 1 2
M 
1 
2


11

Отношение скоростей в двух сечениях канала
w2 2 M 2  k  1 2   k  1 2 
 
M1 1 
M2 
1 
w1 1 M 1 
2
2


Из условия постоянства плотности потока
шение плотностей рабочего тела в виде
j 1w1  2 w2
(40)
можно получить отно-
2 M1  k  1 2   k  1 2 

M 2  1 
M1 
1 
2
2
1 M 2 
 

(41)
Так как при j=const отношение M2/M1=w2p1/(w1p2),то отношение давлений в двух
выбранных сечениях определится выражением
p2 M 1  k  1 2   k  1 2 

M1  1 
M2 
1 
2
2
p1 M 2 
 

А для параметров торможения
При T*=const
*
2
*
1
p2* p2   k  1 2   k  1 2  
  1 
M 2  1 
M1 
*
2
2
p1
p1  
 

(42)
k  k  1
p2* p1*  2* 1*
p
M1   k  1 2   k  1 2 

M 2  1 
M1 
1 

2
2
p
M2 
 

(43)
(44)
 k 1  2  k  1 
(45)
12

Для оценки длины трубы



dlTP  w 2 2  dx D 
(46)
-коэффициент гидравлического сопротивления,D-диаметр трубы.
Так как
То
M

2

M2 

(47)
2 2  k  1 2
 1 
 
k 1
 k 1 

 1 d   k  k  1  dx D
(48)
BX2   2  ln 2BX 2   2k  k  1   cp x D
(49)
2
BX
 1

 1 dw w  kw2 dx 2a 2 D
dw d
 ;
w


При
2
 

 ln 2BX   2  ln 2  x
(50)
 max BX2  ln 2BX  1
(51)
M
2

 1 dw w  dlT a 2
- совершение технической работы dlT>0 дозвуковым потоком (М<1) приводит к
ускорению потока. Для сверхзвукового потока результат противоположный.
(52)
13

6. Истечение реальных газов и паров
Рис. 4. Адиабатическое истечение пара
(53)
Потеря энтальпии за счет трения - учитывается с помощью коэффициента потерь сопла.
1-2’ – необратимая адиабата. 2 ’ - состояние пара на срезе сопла при наличии трения.
hТР h2/  h2 w2  1  c2  / 2
14

7. Процессы в эжекторах
Эжекторами называют аппараты, предназначенные для получения газа или пара
повышенного давления путём смещения двух потоков.
1, 2 -патрубок;
3 - диффузор;
4 - камера смещения.
Рис. 5. Схема эжектора
h1*  h1 w12 2
h *  h w 2 2
h* Gh1*  1  G  h2*
Рис. 6. Процесс эжектора на sh–диаграмме

h* h  G 2 w12 2 h  G 2 h1*  h1

15