DIP_lecture_8 (Лекции в PowerPointe)

Цифровая обработка изображений
8 Двумерная дискретизация
8.1 Оцифровка и визуализация изображений
Основное требование при компьютерной
обработке изображений – трансформация
(физически непрерывной) функции в дискретную форму.
Оцифровка включает в себя последовательное
выполнение двух операций:
- дискретизации
- квантования
f  x, y  
f S  x, y  
u  m, n 

Цифровая обработка изображений
Процедура визуализации изображения
предусматривает операцию дискретно-аналогового
преобразования
u  m, n  
~
f  x, y 

Цифровая обработка изображений
8.2 Теория дискретизации
Математически процесс дискретизации
изображения продемонстрируем для
двумерной функции с ограниченным спектром
Двумерная функция
f  x, y 
имеет ограниченный
спектр, если для Фурье-образа
F  1 ,  2 
выполняется условие

Цифровая обработка изображений
F 1 ,  2  0,
1   x 0 ;  2   y 0
где переменные
 x 0 ; y 0
максимальные пространственные частоты по x и y
В случае циркулярной симметрии
 0  x 0  y 0

Цифровая обработка изображений
Идеальная дискретизирующая функция представляет
собой (бесконечный) двумерный массив Дельта-функций,
расположенных в узлах прямоугольной регулярной сетки
comb x, y; x, y  

   x  mx, y  ny 
m ,n 

Цифровая обработка изображений
Операция дискретизации есть произведение исходной
функции на дискретизирующую
f S  x, y   f  x, y  comb x, y; x, y  


 f  mx, ny   x  mx, y  ny 
m ,n 

Цифровая обработка изображений
Фурье-образ дискретизирующей (comb) функции есть
функция,
имеющая тот же вид, что и исходная
COMB1 ,  2  F  comb x, y; x, y  

 xs ys
  
1
 k xs ,  2  l ys  
k ,l 
 xs ys comb 1 ,  2 ; 1 , 1 
x y 


Цифровая обработка изображений
Пространственные частоты дискретизации по
координатным направлениям равны величинам,
обратным соответствующим шагам дискретизации
 xs  1 x ,  ys  1 y

Цифровая обработка изображений
Воспользуемся правилом, согласно которому
произведение функций в исходном пространстве
эквивалентно свертке соответствующих Фурье-образов
FS 1 ,  2  F 1 ,  2   COMB1 ,  2  

 xs ys
 F  ,    
1
2
1
 k xs ,  2  l ys  
k ,l 

 xs ys
 F 
k ,l 
1
 k xs ,  2  l ys 

Цифровая обработка изображений
Фурье-образ дискретизированной функции
представляет собой периодическую (бесконечную)
комбинацию Фурье-образа исходной (непрерывной)
функции, продублированного в узлах сетки

xs
,  ys 

Цифровая обработка изображений
8.3 Восстановление непрерывной функции
Если спектр исходного (непрерывного) изображения
может быть каким-либо образом восстановлен из
спектра дискретного, то мы можем восстановить
и исходную функцию.
Это возможно, если выполняются условия
 xs  2 x 0 ,  ys  2 y 0
что эквивалентно условию выбора шагов дискретизации,
удовлетворяющих
1
1
x 
, y 
2 x 0
2 y 0

Цифровая обработка изображений
В этом случае “сохранить” Фурье-образ исходной
функции можно, применив идеальный
низкочастотный фильтр со следующими
характеристиками
1

,

H 1 ,  2    xs  ys 

0,
 1 ,  2   
иначе
При этом результат действия фильтра приводит к
исходному Фурье-образу
~
F 1 ,  2  H 1 ,  2  FS 1 ,  2  F 1 ,  2 

Цифровая обработка изображений
8.4 Частота Найквиста
Нижние границы пространственных частот,
при которых возможно сохранение (восстановление)
спектра исходной функции
2 x 0 , 2 y 0
называются (пространственными) частотами
Найквиста (Котельникова)

Цифровая обработка изображений
Теория дискретизации констатирует, что функция
с ограниченным спектром, дискретизированная
с частотой выше частоты Найквиста, может быть
восстановлена без ошибки с помощью простейшего
(идеального) низкочастотного фильтра
Если же условие не выполняется, т.е.
 xs  2 x 0 ,  ys  2 y 0
то (соседние) Фурье-образы будут накладываться друг
на друга, тем самым искажая исходный спектр

Цифровая обработка изображений
Если область “поддержки” низкочастотного фильтра
представляет собой прямоугольник
1   1
1 
 1
     xs ,  xs     ys ,  xs 
2   2
2 
 2
то его импульсный отклик есть произведение SINC-функций
h x, y  sin c x xs  sin c y ys 

Цифровая обработка изображений
Обратное Фурье-преобразование реконструирует
изображение по формуле
~
f  x, y  

 f  mx, ny  sin c x
xs
 m  sin c y ys  n 
m , n 
результат будет совпадать с исходной функцией,
если выполняется условие дискретизации
Найквиста-Котельникова

Цифровая обработка изображений
8.5 Теорема дискретизации
Двумерная (непрерывная) функция с ограниченным
спектром
f  x, y 
может быть однозначно (безошибочно) восстановлена
из дискретной
f  mx, ny 
при условии, что шаги дискретизации выбраны из условия
1
1
 xs  2 x 0 ,
 ys  2 y 0
x
y

Цифровая обработка изображений
Восстановление функции проводится по
интерполяционной формуле
f  x, y  


 
m ,n 
 sin x xs  m 
f  mx, ny 
  x xs  m 
  sin y ys  n 
 

   y ys  n 





Цифровая обработка изображений
Задача
Изображение описывается функцией
f  x, y  2 cos 2  3x  4 y 
Дискретизация функции проводится
со значениями интервалов дискретизации
x 0.2, y 0.2
Восстановить функцию после дискретизации

Цифровая обработка изображений
Решение
Фурье-образ заданной функции
F 1 ,  2   1  3,  2  4   1  3,  2  4
Откуда
 x 0 3,  y 0 4
Частоты дискретизации
1
 xs 5,
x
1
 ys 5
y
меньше частоты Найквиста-Котельникова
2 x 0 , 2 y 0

Цифровая обработка изображений
Найдем спектр дискретизированного изображения:
FS 1 ,  2   xs ys

  F 
1
 k xs ,  2  l ys  
k ,l 
25

    
1
 3  5k ,  2  4  5l    1  3  5k ,  2  4  5l  
k ,l 
Применим низкочастотный фильтр
1
1

 ,  2.5 1 2.5,  2.5  2 2.5

H 1 ,  2    xs  ys  25

0,
иначе

Цифровая обработка изображений
Получим Фурье-образ
~
F 1 ,  2   H 1 ,  2  FS 1 ,  2  
 1  2,  2  1   1  2,  2  1
который при восстановлении дает функцию
~
f  x, y  2 cos 2  2 x  y 