137 (Прандтль-Гидроаэромеханика)

Кинематика. Динамика жидкостей, лишенных трения 137 или Ьгш = с(Ьг — Ьг). (72) Мы видим, что из этого уравнения ширина вала 6 выпала, следовательно, связь между скоростями ш и с не зависит от ширины вала. Уравнение (72) остается верным, как нетрудо показать, и для вала с непрямолинейным профилем.

В самом деле, разбивая такой вал на ряд узких валов с прямолинейными профилями и складывая уравнения неразрывности, составленные для каждого отдельного вала, мы получим справа опять величину с(Ьг — Ьг), а слева опять величину Ьгш, правда, при условии, что разностями уровней соседних узких валов можно пренебречь. Из уравнения (72) следует, что при малой величине скорости ш должна быть мала также разность высот Ьг — Ьг, следовательно, это уравнение применимо только к низким валам, и поэтому только что упомянутое условие вполне оправдано. К кинематическому соотношению (72) следует присоединить динамическое соотношение, которое легко вывести следующим образом.

Объем воды шириной 6 в области вала находится в ускоренном движении, так как частицы, составляющие этот объем, начинают свое движение на правом краю со скоростью нуль, а на левом краю имеют скорости иь Возьмем какую-нибудь частицу воды в области вала. Время, в течение которого над этой частицей проходит вал, очевидно, равно Ь т=-, с поэтому ускорение частицы будет ш шс Объем воды в области вала, если его толщину в направлении, перпендикулярном к плоскости рисунка, принять равной единице, имеет массу рЬЬт, где Ьт есть средний уровень воды в области вала. Разность давлений по обе стороны вала на одной и той же высоте составлЯет 7(Ьг — Ьг).

Следовательно, полнан сила давлениЯ, действУющаЯ на рассматриваемый объем воды в горизонтальном направлении, равна Ь 7(Ьг — 6г). Применяя основное уравнение динамики: сила равна массе, умноженной на ускорение, мы получим: Ь 7(Ьг — Ьг) =РЬЬ Ь ' откуда, имен в виду, что 7 = рд, найдем: шс К(Ьг 61). (73) .