Сопромат теория (Теория к экзамену), страница 2

Напряженное состояние – чистый сдвиг. Характеристика материала при чистом сдвиге.Свойство парности касательных напряжений. Следствия из свойства парности касательныхнапряжений. Удельная потенциальная энергия деформации при чистом сдвиге.Чистый сдвиг – такое напряженное состояние, прикотором на двух взаимно перпендикулярных площадкахдействуюттолькокасательныенапряжения.Двуосноенапряженноесостояние,двуосноедеформированное состояние, деформация 0.Закон Гука при чистом сдвиге:- пара сил.Характеристики материала при чистом сдвиге:- предел пропорциональности,- предел упругости,- предел текучести при сдвиге,- предел прочности.Закон парности касательных напряжений:На смежных взаимно перпендикулярных площадках касательные напряжения равны по модулю ипротивоположны по направлению.Следствия из закона парности:1.

В крайних точках поперечного сечения скручиваемого стержня касательные напряжениянаправлены вдоль линии края.2. В угловых точках поперечного сечения скручиваемого стержня касательные напряженияравны нулю.3. В продольных сечениях скручиваемого стержня также возникаюткасательные напряжения, парные напряжениям в поперечных сечениях.Удельная потенциальная энергия деформации при чистом сдвиге.Потенциальная энергия элементарного объемаравна работе сил, действующих на его гранях.Удельная потенциальная энергия:820.

Расчет на прочность при чистом сдвиге по допускаемым напряжениям. Коэффициент запаса.- для пластичных материалов.- для хрупких материалов.Расчетный коэффициент запаса прочности:Нормативный коэффициент запаса прочности:Условиегарантированногоразрушенияконструкции:Допустимое напряжение:21.Связь между упругими характеристиками материала G, E, μ.

Вывод зависимости.Зависимость между G, E и μ:Вывод:Экспериментально уст.:Угловая деформация:- закон Гука для сдвига.G – модуль упругости второго порядка.22. Кручение тонкостенных закрытых профилей. Вывод формул для определения напряженийи перемещений.Гипотезы1. Касательные напряжениянаправлены вдоль средней линиистенки.2. По толщине стенки напряжения не меняются.Вспомогательная теорема:Произведение среднего напряжения на соответствующую толщинустенки в любом месте профиля есть величина постоянная.Доказательство:Наибольшее напряжениевсечениитонкостенногозамкнутого профиля будет вучасткеснаименьшейтолщиной:23.

Мембранная аналогия задачи о кручении.Применима к исследованию поперечных сечений любой формы.9В жесткой плите вырезается отверстие, форма которого повторяет форму поперечного сечениястержня. Отверстие затягивается тонкой пленкой, под плиту подается избыточное давление, пленкавыпучивается.Аналогом касательного напряжения в точке поперечного сечения является тангенс угла ,который составляет касательная к выпученной поверхности.Объемподмембранойпропорционаленкрутящемумоменту.24.

Кручение тонкостенных открытых профилей (вывод зависимостей дляопределения напряжений и перемещений).Если незамкнутый тонкостенный профиль может быть развернут в прямоугольник, то егогеометрические характеристики при кручении считаются также, как для прямоугольного профиля ссоотношением сторон.- толщина профиля.- длина контура поперечного сечения.Мы считаем, что все полосы закручиваются на один уголнезависимо друг от друга.При помощи пленочной аналогии легко установить, что наибольшие напряжения возникают научастке с наибольшей толщиной.Для i-го участка:25.

Кручение стержня прямоугольного поперечного сечения (закон распределения напряженийпо сечению, зависимости для определения напряжений и перемещений).Для некруглого сечения не работает гипотеза о неизменностиплоских сечений, так как они заметно искривляются.Депланация всех поперечных сечений ничем не ограничена иодинакова.Поэтому при определении углов сдвига необходимо учитывать нетолько взаимный поворот сечений, но так же сжатие и местныйперекос, связанный с их искривлением. Кроме того, задачаусложняется тем, что для некруглого сечения напряжения зависятот двух перемещений (x, y).26. Понятие о стеснённом и свободном кручении.Стержень любого сплошного некруглго поперечного сечения при закручивании подвержендепланации.

Сечение депланирует, то есть точки сечения перемещаются вдоль оси стержня в разныхнаправлениях.10Стесненное кручение – кручение стержня, депланации которого принудительносдерживаются. При этом в точках стержня возникают различные осевые нормальные напряженияи дополнительный внутренний крутящий момент из-за чего крутильная жесткость стерня существенноувеличивается.Свободное кручение – кручение, при котором депланация ничем не стесняется и точки вдольоси перемещаются свободно.27. Потенциальная энергия деформации и работа внешних нагрузок при кручении.Рассмотри участок закрученного стержня длиной.Энергия, накопленная в этом элементе равна работе моментов, приложенных по торцам:.Относительный угол закручивания:Работа внешних нагрузок равна 0.5 умножить на внешний момент умножить на уголповорота.28.

Геометрические характеристики плоских фигур – основные понятия, определениеположения центра фигуры.- центр тяжести.- площадь поперечного сечения.- статический момент относительно оси X.- статический момент относительно оси Y.Осевые моменты инерции:- осевой момент относительно X.- осевой момент относительно Y.- центробежный момент инерции.- полярный момент инерции.Координаты центра тяжести:.Моменты инерции – величины аддитивные.1.

Момент инерции сложной фигуры равен сумме моментов инерции ее частей.2. Момент инерции фигуры равен моменту инерции ее наружного контура минус момент инерциифигур-вырезов.Эти свойства также справедливы для статических моментов.29. Изменение моментов инерции плоской фигуры при параллельном переносе осей.Решение:Момент относительно X:Момент относительно Y:11Если оси x1 и y1 – центральные (точка О1 совпадает с центромтяжести), то статические моментыи равны нулю.Теорема Штейнера:Вывод: минимальный момент инерцииполучается относительно центральной оси (а=0 или b=0). Удаление рассматриваемой оси отцентральной увеличивает момент инерции.30. Изменение моментов инерции плоской фигуры при повороте осей.

Главные оси и главныеосевые моменты инерции (вывод формул для определения положения и величин главныхосевых моментов инерции).Решение:Найдем экстремум функции , то есть найдем такой уголкотором достигает максимума или минимума.Так какНайдем угол, при, то при углетакже примет экстремальное значение., при котором центробежный моментобращается в ноль:.Значит, для точки О на плоскости существует только одна пара координатных осей,относительно которых моменты инерции фигуры принимают экстремальные значения, ацентробежный момент инерции обращается в ноль.

Этот момент называется главным.31. Моменты инерции простейших фигур (вывод формул для круга, прямоугольника,треугольника).Прямоугольник:Треугольник:12Круг:32. Напряжения в наклонных площадках стержня при кручении (вывод формул).Условия равновесия части элементарного объеманаклонной площадкой:подПри кручении круглого хрупкого образца образуется большоеколичество трещин от растяжения, ориентированных под 45градусов к оси.При разрушении, микротрещины сливаются в макротрещины с образованием винтовой линиипод 45 градусов.33.

Прямой чистый изгиб. Вывод зависимостей для определения напряжений в поперечномсечении стержня и кривизны оси изогнутого стержня.Деформации слоев балки при ее чистом изгибе в плоскости рисунка возникают в результатевзаимного поворота плоских поперечных сечений.Изгиб – вид нагружения,при котором все внутренниесилы в поперечном сеченииприводятсякпаресил,действующих в плоскости,перпендикулярной плоскостипоперечного сечения и силе,действующейвплоскостисечения.Главная плоскость –плоскость, проходящая черезось стержня и одну из главных осей.Классификация изгибов:1.

Прямой – плоскость действия момента совпадает с главной плоскостью.Косой – не совпадает.2. Чистый–естьтолькоизгибающиймомент.Поперечный – действуют момент и поперечная сила.Часть продольных слоев балки растягивается, часть – сжимается. Их разделяет нейтральныйслой, длина которого неизменна.Косой изгиб – совокупность 2 прямых изгибов.Гипотеза о плоских сечениях: сечения, плоские и нормальные к оси бруса до деформацииостаются плоскими и нормальными к оси бруса после деформации.Гипотеза о ненадавливании продольных слоев друг на друга: в продольных сеченияхнормальные напряжения равны нулю.Бесконечно близкие поперечные сечения 1-1 и 2-2 взаимно поворачиваются, оставаясьплоскими.Продольная деформацияв произвольном слое на расстоянии y от нейтрального:.По закону Гука для одноосного напряженного состояния:.13Внутренний изгибающий момент:.Положение нейтральной линии:нейтральный слой, от которого отсчитывается координата y, проходит через центр тяжестипоперечного сечения стержня.34.

Дифференциальное уравнение оси изогнутого стержня. Универсальное уравнение, способыего получения.Из математики известная формула для вычисления кривизны произвольной функции y(z):.Упругая ось изогнутого под внешней нагрузкой стержня также представляет собой функциюy(z), кривизна которой определяется внутренним изгибающим моментом:.В линейных задачах прогибы по определению невелики и тангенс угла наклона оси y’ немногимбольше нуля:.- приближенное дифференциальное уравнение упругой оси стержня.Если по длине стержня известны, то интегрируя дважды уравнение ДУ, можнополучить функцию как прогибов V=y(z), так и функцию углов поворота y’(z).Такой метод вычислений прогибов и углов поворота точек упругой оси стержня называетсяметодом Коши-Крылова.Правила расчета:1. Распределенная нагрузка продолжается до конца стержня.

Там, где ее не было, вводитсякомпенсированная распределенная нагрузка.2. Уравнение момента Mx составляется в глобальной системе координат Oxyz для текущегосечения последнего от начальной координаты участка балки.3. Сосредоточенный внешний момент умножается на скобку в 0 степени, внутри которой стоитразность глобальной координаты z и координаты приложенного момента.4. Интегрировать можно не раскрывая скобок.5. При определении прогиба сечения используются только те слагаемые, в скобках которыхобразуется положительное число.В результате интегрирования получаем константы C и D, которые нужно найти изначальных условий.35.