1612725555-c70b3320e98450d105f3b29ab368c125 (Таблицы и формулы)

Таблицы и формулыпо применению теории групп в физике6 июня 2016 г.1Конечные группыТаблицаПорядок1234567891011121: Все конечные группы до порядка 12 (с точностью до изоморфизма).ГруппыC1C2C3C 4 , D2 ≈ C 2 × C 2C5C6 ≈ C2 × C3 , D3C7C8 , C2 × C4 , D4 , C2 × C2 × C2 , QC9 , C3 × C3C10 ≈ C2 × C5 , D5C11C12 ≈ C3 × C4 , C2 × C6 ≈ C2 × C2 × C3 , D6 ≈ C2 × D3 , A4 , WОбозначения к таблице 1: Cn — циклическая группа порядка n, т.е. группа симметрии правильной n-угольной пирамиды, Dn — группа диэдра, т.е.

группа симметрииправильной n-угольной призмы, состоящая из оси n-го порядка и перпендикулярной ей оси 2-го порядка, An группа четных подстановок из n объектов, Q — группакватернионов,1 порождаемая двумя элементами P, Q с соотношениямиP 4 = 1,1P 2 = Q2 ,QP Q = P,Группы Q и W не могут быть реализованы как группы симметрии геометрических тел.W — группа, порождаемая двумя элементами P, Q с соотношениями1P 4 = 1,P 2 = Q3 ,QP Q = P.Знак × означает здесь прямое произведение, т.е. G = G1 × G2 — это совокупностьупорядоченных пар g = (p, q), g ∈ G, p ∈ G1 , q ∈ G2 , а операция умножения определена в каждой группе отдельно: g1 g2 = (p1 , q1 ) · (p2 , q2 ) ≡ (p1 p2 , q1 q2 ).1.1Характеры точечных группТочечные группы состоят из преобразований, оставляющих неподвижную точку, иописывают симметрию молекул.

Среди элементов точечной группы имеются оси Cn ,а также зеркальные плоскости σv , проходящие через ось, и σh , перпендикулярныеоси. Композиция поворота на угол 2π/n и отражения в горизонтальной плоскостиназывается зеркальным поворотом Sn = σh Cn . Зеркальные повороты могут бытьтолько четного порядка.

Плоскость симметрии указывается в обозначении группы,например, C3v — группа, состоящая из оси третьего порядка и зеркальной плоскости, проходящей через через оси C3 и C2 . Зеркальная плоскость, проходящая черезось n-го порядка между осями 2-го порядка обозначается индексом d.Обозначения: В первой строке каждой подтаблицы таблицы 2 перечислены классысопряженных элементов σi . Единичный элемент обозначен буквой E, Cn означаетось n-го порядка. Числа перед символами элементов симметрии указывают числоэлементов в соответствующих классах, ε = e 2πi/3 . Если в группе имеется несколькоосей второго порядка, первая обозначается C2 , вторая C20 и т.д.Список конечных подгрупп собственных вращений трехмерного пространства:Cn , Dn , T, O, Y,где T — группа вращений правильного тетраэдра, O — группа вращений октаэдраили куба, а Y — группа вращений икосаэдра или додекаэдра.1.2Ортогональность неприводимых характеровРазложить данное представление D(g) в прямую сумму неприводимых можно спомощью соотношения ортогональности неприводимых характеров χ(α) (g)Xg∈G(α)χ∗(β)(g) χ(g) =sX∗hi χ(α) (σi ) χ(β) (σi ) = |G|δαβ .i=1Здесь суммирование по элементам группы g заменяется на суммирование по классам сопряженных элементов σi , hi — число элементов в соответствующих классах2C2χ(1)χ(2)E11C21-1D4χ(1)χ(2)χ(3)χ(4)χ(5)E11112C421111-2Oχ(1)χ(2)χ(3)χ(4)χ(5)E112338C311-100Таблица 2:D2χ(1)χ(2)χ(3)χ(4)2C411-1-103C42112-1-12C21-11-106C21-10-11Таблицы неприводимых характеров.E C2 C20 C200D3 E1 1111 -1 1 -1χ(1) 11 1 -1 -1χ(2) 1χ(3) 21 -1 -1 12C201-1-110Tχ(1)χ(2)χ(3)χ(4)Yχ(1)χ(2)χ(3)χ(4)χ(5)6C41-101-1E133452C311-13C21-104C321ε2ε0E11133C2111-14C31εε2015C21-1-10120C31001-112C51√12C521√-10-101+ 52√1− 521− 52√1+ 52σi .

Суммирование ведется по всем классам (столбцам таблицы характеров), индексы α, β нумеруют неэквивалентные неприводимые представления. Таким образом,строки таблицы характеров ортогональны, когда скалярное произведение определено с весами hi . Столбцы таблицы ортогональны в обычном смысле (скалярноепроизведение определяется с единичным весом). Можно также ввести операциюусреднения по группе, тогда соотношение ортогональности запишется корочеDE1 X(α) ∗ (β)...,χh. . .

iG ≡χ= δαβ .(1)|G| g∈GGВ непрерывных группах операция усреднения по группе определяется через интегрирование.Ортогональность характеров (1) позволяет найти коэффициенты kα разложенияD∗ ED(g) = ⊕ kα D(α) (g), kα = χ(α) χ .(2)GαЗдесь ⊕ здесь обозначает прямую сумму неприводимых представлений, χ = Tr D —характер исходного представления D.32Группы ЛиВ таблице приведены как примеры многообразия нескольких групп Ли.ГруппаМногообразие УравнениеОбозн.O(2)ОкружностьS1x21 + x22 = 1U(1) × U(1)T2Торz = e iφ1 +iφ2SU(2)S3Сфераx20SO(3) ≈ SU(2)/C22.1Проективнаясфера+x21+x22+x23=1x20 + x21 + x22 + x23 = 1, x0 ≥ 0, RP 3диаметрально противоположныеточки "экватора"x21 + x22 + x23 = 1отождествленыАлгебры Ли групп ЛиВ таблице указаны некоторые матричные группы Ли.2GГруппа ЛиАлгебра ЛиGL(N, C) Невырожденные матрицыВсе матрицыSL(N, C) Унимодулярные матрицыБесследовые матрицыУнитарные матрицыАнтиэрмитовы матрицыU(N, C)SU(N, C) Унитарные унимодулярные мат- Антиэрмитовы бесследовые матрицырицыO(N, R)Ортогональные матрицыАнтисимметричные матрицыSO(N, R) Ортогональные унимодулярные Антисимметричные матрицыматрицы2.2Свойства матриц Паули σ = (σ1 , σ2 , σ3 )σ1 =0 11 0!,σ2 =0 −ii 0!,σ3 =1 00 −1!,σi σj = i ijk σk + δij .2В кратком варианте пропускается обозначение числового поля, например, SO(3) ≡ SO(3, R).42.3Алгебра угловых моментов ASO(3) ≈ ASU(2)[Ji , Jj ] = i ijk Jk ,J± = J1 ± i J2 ,J+ J− = J 2 − J32 + J3 ,J− J+ = J 2 − J32 − J3 .Базис неприводимого представления образуют общие собственные векторы оператора J3 и оператора Казимира J 2 = J12 + J22 + J32 ([J 2 , J3 ] = [J 2 , J± ] = 0)J 2 |J, M i = J(J + 1) |J, M iJ3 |J, M i = M |J, M i .Матричные элементы повышающего оператора J+ и понижающего оператора J−равны, соответственноpJ+ |J, M i = J(J + 1) − M (M + 1) |J, M + 1i ,pJ− |J, M i = J(J + 1) − M (M − 1) |J, M − 1i .Представление конечномерно, когда J целое или полуцелое.

Размерность представления равна 2J + 1, целые J отвечают представлениям ASO(3).2.4Сферические гармоникиЦелым значениям J = l, M = m отвечают представления группы SO(3). Базиспредставлений группы вращений образуют сферические гармоники порядка lhθ, ϕ|l, mi = Yl m (θ, ϕ) = Clm e imϕ Plm (cos θ)∗Yl −m = (−1)m Ylm,m ≥ 0,которые выражаются через присоединенные функции Лежандраm1 dl 2dmmPl (cos θ), Pl (µ) = lPl (cos θ) = sin θ(µ − 1)l .d cos θ2 l! dµlНормировка дается формулойsClm = (−1)m2l + 1 (l − m)!.4π (l + m)!Приведем сферические гармоники при l ≤ 3Y0 0rY2 0 =1=√ ,4πrY1 0 =3cos θ,4πrY1 1 = −r3 iϕe sin θ,8πr515 iϕ15 2iϕ 2(3 cos2 θ − 1), Y2 1 = −e sin θ cos θ, Y2 2 =e sin θ,16π8π32πrr721 iϕ3Y3 0 =(5 cos θ − 3 cos θ), Y3 1 = −e (5 cos2 θ − 1) sin θ,16π64πrr105 2iϕ35 3iϕ 32Y3 2 =e cos θ sin θ, Y3 3 = −e sin θ.32π64π5Соотношение полноты∞ XlX∗Ylm (n)Ylm(n0 ) = δ(n − n0 ),l=0 m=−lгде n = (θ, ϕ), n0 = (θ0 , ϕ0 ) — единичные векторы.Операторы углового момента на базисе из сферических гармоник реализуетсякак∂∂∂1 ∂∂1 ∂2±iϕ± + i ctg θJ3 = −i, J± = e, −J 2 =sin θ+.∂ϕ∂θ∂ϕsin θ ∂θ∂θ sin2 θ ∂ϕ22.5Характер неприводимого представления SO(3) (или SU(2))Характер представления размерности 2j + 1 зависит исключительно от угла поворота и не зависит от оси вращения.

Параметризация выбрана так, чтобы поворот происходил на угол α вокруг оси z. Поэтому характер равен следу D-матрицыjχj = Tr Dm0 m (0, 0, α)jXsin(j + 21 )αjimα.χ =e=sin 12 αm=−jСоотношение ортогональности (1) в непрерывной группе в качестве усреднения вместо суммирования содержит интегрированиеZ 2π i jχi (α)χj (α)(1 − cos α) dα = δij .χχ G=0Из ортогональности характеров получается разложение Клебша — Гордана тензорного произведения неприводимых представленийj1 +j2D(j1 ) ⊗ D(j2 ) =⊕D(j) .j=|j1 −j2 |Пользуясь ассоциативностью, можно разложить в прямую сумму произведение любого конечного количества представлений.3Приложения3.1Колебания молекулТаблица характеров исходного представления и колебательного представления дляN -атомной молекулы.33Третий столбец таблицы не относится к молекулам типа ротатора.6g∈GECnSnσИсходное предст.3NNA (1 + 2 cos θ)NS (−1 + 2 cos θ)NPКолебательное предст.3N − 6(NA − 2)(1 + 2 cos θ)NS (−1 + 2 cos θ)NPОбозначения: Sn — зеркально-поворотная ось порядка n, σ — зеркальная плоскость, θ = 2π/n, NA число атомов на оси вращения, NS — число атомов на зеркальноповоротной оси, Np — число атомов в зеркальной плоскости.

Коэффициенты разложения на неприводимые представления находятся по формуле (2). Кратностьвырождения классических колебаний молекулы равна размерности неприводимогопредставления.3.2Собственные векторы и собственные значения матрицыИногда удается найти собственные векторы и собственные значения матрицы Vпорядка rV an = λan ,перестановочной с матрицами представления D(g) группы G, dim D(g) = r:[D(g), V ] = 0.Задачи такого типа возникают, например, в классической механике при расчетесобственных колебаний симметричной системы грузиков с пружинами или молекулярных колебаний. Если в результате разложения (2) исходного представления нанеприводимые оказалось, что все kα = 0 или 1, представление называется простоприводимым.

Для таких представлений теорема Вигнера гарантирует возможностьпостроить проектор на подпространство неприводимого представления D(α) :nα X (α) ∗χ (g) D(g),Pα =|G| g∈Gгде χ(α) характер неприводимого представления α, nα — его размерность, а D(g)— матрицы исходного r-мерного представления. Когда известен проектор, можнонайти и собственные векторы, отвечающие данному собственному значению.

Дляэтого надо подействовать на какие-нибудь векторы проектором Pα . Зная собственные векторы и оператор V, можно также найти собственные значения. При этом неприходится решать секулярное уравнение степени r.73.3Правила отбораМатричный элемент Of i = hf |O|ii обращается в нуль, если в разложении Клебша— Гордана исходного представленияD = Df∗ ⊗ DO ⊗ Diна неприводимые не содержится единичное представление. Здесь Di,f — представления, по которым преобразуются начальное и конечное состояние, D — представление, по которому преобразуется оператор O, ∗ означает сопряженное представление.3.4Инвариантные тензорыТензор ранга n относительно группы G < GL(N, R) преобразуется под действиемэлементов группы как тензорное произведение n экземпляров представления группы D(g), dim D = N :nDT (g) = ⊗ D(g).i=1Если под действием преобразований группы тензор не меняется, его называют инвариантным тензором. Тензор T , инвариантный относительно группы G, имеет столько независимых компонент, сколько раз единичное представление входит в его разложение Клебша — Гордана.

Чем выше симметрия, тем меньше независимых компонент у инвариантного тензора.Ниже приведены разложения по инвариантным тензорам при n ≤ 3 для группSO(3), O(2):Pi = 0,Pi = Ani ,Qij = Aδij ,Rijk = Bijk .Qij = Aδij + Bni nj + Cijk nk ,Rijk = A1 δij nk + A2 δik nj + A3 δjk ni+B1 ijl nl nk + B2 ikl nj nl + B3 jkl ni nl + Cni nj nk ,где ni единичный вектор вдоль оси вращения в группе O(2), буквы A, B, C обозначают произвольные независимые константы.3.5Симметричные тензорыДействие подстановки σ ∈ Pn на тензоре ранга n относительно вещественной группыG < GL(N, R) определено как перестановка индексовσTi1 i2 ...