1612043260-03677b2ec215803ebaddfe4ba9558164 (Кузин - Программа курса)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ«НОВОСИБИРСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»(НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ, НГУ)УТВЕРЖДАЮ_______________________«_____»__________________201__ г.Рабочая программа дисциплиныТеория функций комплексного переменногоНаправление подготовки0101400 – Математика010200 – Математика и компьютерные наукиКвалификация (степень) выпускникаБакалаврФорма обученияОчнаяНовосибирск 2014Аннотация рабочей программыДисциплина «Теория функций комплексного переменного» входит в Базовую частьПрофессионального цикла ООП по направлениям подготовки «010100 - Математика» и«010200 – Математика и компьютерные науки», все профили подготовки.

Дисциплинареализуется на Механико-математическом факультете Новосибирского государственногоуниверситета кафедрой теории функций ММФ НГУ.Курс ставит своей целью получение студентами фундаментальных знаний по основамтеории аналитических функций и прочных практических навыков для дальнейшего их использования как при решении различных проблем прикладной математики, так и в аналитической теории дифференциальных уравнений, аналитической теории чисел, теории вероятностей и др.Данный курс знакомит студентов с основами методов теории однозначных и многозначных аналитических функций, теорией интегрирования комплекснозначных функций и основными понятиями из теории римановых поверхностей. Отмечаются тесныевзаимосвязи между вещественным анализом, теории дифференциальных уравнений икомплексным анализом.Дисциплина нацелена на формирование общекультурных компетенций ОК-7, ОК10, ОК-14, ОК-15, профессиональных компетенций ПК-2 – ПК-10, ПК-13, ПК-14, ПК-16,ПК-26, ПК-27, ПК-29.Преподавание дисциплины предусматривает следующие формы организации учебного процесса: лекции, практические занятия, самостоятельная работа студента.Программой дисциплины предусмотрены следующие виды контроля: текущийконтроль успеваемости в форме контрольных, самостоятельных, индивидуальных работ,промежуточный контроль в форме дифференцированного зачета.

Рубежный контроль – вформе экзамена.Общая трудоемкость дисциплины составляет 7 зачетных единиц, 244 академических часа (из них 136 аудиторных). Программой дисциплины предусмотрены 68 часовлекционных и 68 часов практических занятий, а также 68 часа самостоятельной работыстудентов. Остальное время – контроль в форме контрольных работ, коллоквиумов, дифференцированного зачета и экзамена.1. Цели освоения дисциплиныКурс ставит своей целью получение студентами фундаментальных знаний по основамтеории аналитических функций и прочных практических навыков для дальнейшего их использования как при решении различных проблем прикладной математики, так и в аналитической теории дифференциальных уравнений, аналитической теории чисел, теории вероятностей и др.Данный курс знакомит студентов с основами метдами теории однозначных и многозначных аналитических функций, теорией интегрирования комплекснозначных функций иосновными понятиями из теории римановых поверхностей.

Отмечаются тесные взаимосвязи между вещественным анализом, теории дифференциальных уравнений и комплексным анализом.Студенты, освоившие курс, в дальнейшем имеют возможность специализироваться втаких областях современной теоретической математики как геометрический анализ, теория квазиконформных отображений, многомерный комплексный анализ, теория пространств Тейхмюллера, теория обратных и некорректных задач математической физики ианализа, вещественная и комплексная гиперболическая геометрия. Кроме того, основныеметоды и результаты курса могут быть эффективно использованы для проведения фундаментальных исследований в области аналитической теории чисел, теории дифференциальных уравнений с частными производными, гидродинамики и механики жидкостей игазов, а также в других областях естественных наук.2.

Место дисциплины в структуре ООП бакалавриатаДисциплина «Теория функций комплексного переменного» входит в Базовую частьПрофессионального цикла ООП по направлению подготовки «0101400 – и информатика»,все профили подготовки.Дисциплина «Теория функций комплексного переменного» опирается на следующие дисциплины данной ООП:Математический анализ (множества на евклидовой плоскости, свойства непрерывных функций, дифференцирование и интегрирование, функции многих переменных, функциональные ряды, несобственные интегралы).Алгебра (свойства линейных отображений между конечномерными пространствами - основа для изучения свойств ограниченных операторов, теория евклидовыхпространств, теория групп);Аналитическая геометрия (кривые и поверхности второго порядка);Дифференциальные уравнения;Результаты освоения дисциплины «Ошибка! Источник ссылки не найден.» используются в следующих дисциплинах данной ООП:Функциональный анализ;Уравнения математической физики;Вычислительная математика;Теоретическая механика;Гидродинамика;Механика сплошной среды;Теория упругости;Теория вероятности и математическая статистика.3.

Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины«0101400 – »:общекультурные компетенции: ОК-7, ОК-10, ОК-14, ОК-15;профессиональные компетенции: ПК-2 – ПК-10, ПК-13, ПК-14, ПК-16, ПК-26, ПК27, ПК-29.В результате освоения дисциплины обучающийся должен:иметь современное представление о месте комплексного анализа среди различныхобластей математики;знать определения используемых понятий, формулировки теорем и формулы этойдисциплины, постановки краевых задач теории функций и их решения;уметь доказывать все теоремы и выводить формулы курса, находить радиус сходимости степенного ряда, строить ветви простейших многозначных функций по соответствующим начальным данным, конформно отображать на канонические областинекоторые области с помощью дробно-линейных, степенных (с положительнымпоказателем) и экспоненциальной функций, функции Жуковского и косинуса; спомощью теории вычетов вычислять различные контурные интегралы, а также несобственные интегралы и интегралы в смысле главного значения по Коши;владеть основными приемами разложения функции в степенные ряды Тейлора иЛорана, эффективно применяя при этом общедоступные компьютерные программы.4.

Структура и содержание дисциплиныОбщая трудоемкость дисциплины составляет 7 зачетных единиц, 244 часа.4.34.44.54.64.712224222243243442234520146243472852Зачет4Контр. работаСамост. работа4.2СеминарКомплексные числа и основные операциинад ними.

Геометрическое изображениекомплексных чисел. Комплексная плоскость. Интерпретация Римана комплексныхчисел и расширенная комплексная плоскость.Множества точек на расширенной комплексной плоскости. Понятие области.Последовательность комплексных чисел иее предел. Критерий Коши. Ряды комплексных чисел. Абсолютно схоящиеся ряды.Понятие функции комплексного переменного. Предел функции в точке, непрерывность функции в точке, равномерная непрерывность функции на множестве. Свойстванепрерывной на компактном множествефункции.Функциональный ряд.

Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда. Непрерывность суммыравномерно сходящегося ряда непрерывных функций. Степенной ряд. ТеоремаКоши-Адамара. Радиус сходимости степенного ряда.Первая и вторая теоремы Абеля. Определение некоторых элементарных функций спомощью степенных рядов. Кривая Жордана. Гладкая и кусочно-гладкая кривыеЖордана. Существование у замкнутойгладкой кривой Жордана стандартного радиуса.Моногенность. Условия Коши-Римана.Формальные производные. Определениеаналитической функции.

Аналитичностьсуммы степенного ряда.Однолистные функции. Обращение функции комплексного переменного. Геометри-Лекция4.1Неделя семестраРаздел дисциплиныСеместр№ п/пВиды учебной работы,включая самостоятельнуюработу студентов итрудоемкостьФормы текущего контроля(в часах)успеваемости(по неделям семестра)Форма промежуточнойаттестации(по семестрам)Контрольная работаческий смысл модуля и аргумента производной.

Конформное отображение. Конформность отображения, осуществляемогооднолистной аналитической функцией.Области однолистности и обращение сте- 44.8пенной и экспоненциальной функций. Понятие точки ветвления многозначной функции. Римановы поверхности корня и логарифма.Дробно-линейное отображение и его4.94свойства. Общий вид дробно-линейногоотображения верхней полуплоскости наедичный круг и единичного круга на себя.4.104.114.124.134.144.154.165.15.25.35.45.55.682229222Определение криволинейных интеграловпервого и второго рода.

Понятие интегралаот функции комплексного переменного покривой и его основные свойства. ЛеммаГурса. Теорема Коши.Обобщенная теорема Коши для односвязной и многосвязной области. Интегральнаяформула Коши.Интеграл типа Коши. Существование уаналитической функции производной любого порядка. Теорема Морера. Понятиенеопределенного интеграла и формулаНьютона-Лейбница.Теорема Тейлора о разложении аналитической функции в степенной ряд. Внутренняя теорема единственности аналитическойфункции. Принцип максимума модуляаналитической функции. Нули аналитической функции. Неравенства Коши итеорема Лиувилля.Первая и вторая теоремы Вейерштрасса орядах аналитических функций.