1611689565-9240426777aee54e360d867563371446 (Бельхеева Преобразование Фурье в примерах и задачах)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФНОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙУНИВЕРСИТЕТФизический факультетР. К. БельхееваПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕВ ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХУчебное пособиеНовосибирск2014УДК 517.443ББК В161.911Б44Рецензентканд. физ.-мат. наук., доцент И. В. ПодвигинИздание подготовлено в рамках реализации Программыразвития государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Новосибирскийгосударственный университет» на 2009–2018 годы.Б 44Бельхеева, Р. К.Преобразование Фурье в примерах и задачах : учебное пособие / Р.

К. Бельхеева ; Новосиб. гос. ун-т. — Новосибирск :РИЦ НГУ, — 2014. 81 с.ISBN 978-5-4437-0290-2В учебном пособии излагаются основные сведения о преобразовании Фурье, приведены примеры на каждую изучаемую тему.Детально разобран пример применения метода Фурье к решениюзадачи о поперечных колебаниях струны. Приведен иллюстративный материал, имеются задачи для самостоятельного решения.Предназначено для студентов и преподавателей физическогофакультета НГУ.Печатается по решению методической комиссии физического факультета НГУ.ISBN 978-5-4437-0290-2УДК 517.443ББК В161.911c Новосибирский государственныйуниверситет, 2014c Р. К.

Бельхеева, 20141. Интеграл ФурьеИзучая тему «Ряды Фурье», кусочно-гладкую функцию,заданную на промежутке [−l, l], мы разлагали в ряд «гармонических колебаний», частоты которых образуют дискретную последовательность. При переходе к функции, заданнойна всей оси x или на полуоси x, происходит качественныйскачок: ряд Фурье превращается в интеграл Фурье, которыйпредставляет собой сумму «гармонических колебаний», частоты которых непрерывно заполняют действительную полуось. Рассмотрим предельный переход от ряда Фурье к интегралу Фурье.1.1. Интеграл Фурье как предельная форма рядаФурьеПусть f (x) : R → R — непрерывно дифференцируемаяфункция.

На основании теоремы о представимости функциив точке своим рядом Фурье мы можем для любого l > 0разложить f в ряд Фурье в промежутке [−l, l]:f (x) =a0 X πnxπnx ,+an cos+ bn sin2lln=1∞(1)где коэффициенты an , bn вычисляются по формулам:1an =lZlf (t) cosπntdt,ln = 0, 1, . . . ,(2)Zlf (t) sinπntdt,ln = 1, 2, . . .

.(3)−l1bn =l−l3Подставив в (1) вместо коэффициентов an и bn их выражения(2) и (3), после преобразований получим:1f (x) =2lZl1 lf (t) dt + ·l π−lZl−lf (t)∞Xn=1cos[yn (t − x)]4yn dt,ππnи 4yn = yn+1 − yn = .llПерейдем в этом равенстве к пределу при l → +∞. ПредZ+∞положив, что интеграл|f (t)| dt сходится, и заменив бесгде yn =−∞конечный ряд интегралом, получим +∞Z+∞Z1f (t)  cos y(t − x) dy  dt.f (x) =π−∞0Меняя порядок интегрирования и разлагая косинус разностипо известной тригонометрической формуле, получаемZ+∞Z+∞ Z+∞1 f (x) =f (t) cos yt dt · cos yx + f (t) sin yt dt · sin yxdyπ0или−∞−∞Z+∞f (x) =[a(y) cos yx + b(y) sin yx] dy,(4)0где1a(y) =πZ+∞f (t) cos ty dt,(5)Z+∞f (t) sin ty dt.(6)−∞1b(y) =π−∞4Отметим, что при наших предположениях о функции fинтегралы в (5) и (6) сходятся, а интеграл в (4), во всякомслучае, не является интегралом, расходимость которого бросалась бы в глаза.

Формула (4) справедлива на всей числовойпрямой и играет такую же роль, как разложение функции вряд Фурье.Определения. Правая часть формулы (4) называетсяинтегралом Фурье, а сама формула (4) — интегральной формулой Фурье. Функция a : R → R, определенная формулой (5), называется косинус-преобразованием Фурье функцииf . Функция b : R → R, определенная формулой (6), называется синус-преобразованием Фурье функции f .1.2. Теорема о представимости функции в точкесвоим интегралом ФурьеНапомним определение.

Функция f : R → R называетсяабсолютно интегрируемой на [a, b], a, b ∈ R, если интегралZb|f (t)| dt сходится. Если (a, b) = (−∞, +∞), то f называетсяaпросто абсолютно интегрируемой.Лемма (Римана—Лебега для бесконечного промежутка).Пусть a ∈ R и f : (a, +∞) → R абсолютно интегрируема на(a, +∞).

ТогдаZ+∞Z+∞limf (x) cos px dx = limf (x) sin px dx = 0.p→+∞p→+∞aaОпределение. Функцию f : R → R будем называтькусочно-гладкой, если она является кусочно-гладкой на любом конечном промежутке [a, b], т. е. если в [a, b] найдетсяконечное число точек a = x0 < x1 < . . . < xn = b таких,что в каждом открытом промежутке (xj , xj+1) функция f (x)5непрерывно дифференцируема, а в каждой точке xj у f существуют конечные пределы слева и справа:f (xj − 0) = lim f (xj − h), f (xj + 0) = lim f (xj + h),h→+0h→+0а также существуют и конечны следующие пределы, похожиена левую и правую производные:f (xj + h) − f (xj + 0).h→+0hf (xj − h) − f (xj − 0),h→+0−hlimlimТеорема (о представимости кусочно-гладкой функции вточке своим интегралом Фурье). Пусть f (x) : R → R кусочногладкая абсолютно интегрируемая функция.

Тогда длялюбого x ∈ R справедливо равенствоZ+∞1[a(y) cos yx + b(y) sin yx] dy = [f (x + 0) + f (x − 0)] ,20где1a(y) =πZ+∞f (t) cos ty dt,1b(y) =π−∞Z+∞f (t) sin ty dt.−∞1.3. Различные виды формулы ФурьеЗапишем формулу (4) в виде1f (x) =πZ+∞Z+∞f (t) cos ty dt +cos yx−∞01+πZ+∞Z+∞sin yxf (t) sin ty dt dy.0−∞6Если f (x) есть четная функция, тоZ+∞Z+∞f (t) cos ty dt = 2f (t) cos ty dt dy = 2a(y),−∞0Z+∞f (t) sin ty dt = 0−∞и мы получим упрощенную формулу интеграла Фурье, содержащую лишь косинусы:2f (x) =πZ+∞a(y) cos yx dy.(7)0Аналогично в случае нечетной функции f (x) мы приходим кформуле, содержащей лишь синусы:2f (x) =πZ+∞b(y) sin yx dy.0Функция a(y), построенная по формуле2a(y) =πZ+∞f (t) cos ty dt,0называется обратным косинус-преобразованием Фурье.А функция b(y), построенная по формуле2b(y) =πZ+∞f (t) sin ty dt,0называется обратным синус-преобразованием Фурье.7(8)В примере 1 и 2 установите формулу, считая параметр aположительным.ПРИМЕР 1. π, если | x |< a,2+∞Zsin ayπcos yx dy =, если | x |= a,y400, если | x |> a.Решение.

Интеграл, стоящий в левой части уравнения,представляет интеграл Фурье, который содержит только косинусы. Здесь роль функции, являющейся прямым косинусsin ayпреобразованием, играет функция a(y) =. Как следуyет из пункта 1.3., в этом виде представимы четные функции.Убедимся, что к четной функции π, если | x |< a,2π(9)f (x) =, если | x |= a,40, если | x |> aможно применить теорему о представимости кусочно-гладкойфункции в точке своим интегралом Фурье. На рис. 1 представлен график этой функции.Очевидно,что функция являетсяабсолютно интегрируе +∞Zмой  |f (t)| dt = πa < +∞ и кусочно-гладкой: функция−∞претерпевает конечное число разрывов; на каждом из промежутков (−∞, −a), (−a, a), (a, +∞) она непрерывно дифференцируема; в точках разрыва x = ±a существуют конечные8пределы:f (−a − 0) = lim f (−a − h) = 0,h→+0f (−a + 0) = lim f (−a + h) =h→+0π,2π,h→+02f (a + 0) = lim f (a + h) = 0;f (a − 0) = lim f (a − h) =h→+0также существуют и конечны пределы, похожие на левую иправую производные:limh→+0f (−a − h) − f (−a − 0)= 0,−hf (−a + h) − f (−a + 0)= 0,h→+0−hf (a − h) − f (a − 0)= 0,limh→+0hf (a + h) − f (a + 0)lim= 0.h→+0hlimРис.

1. График функции f (x)9В силу теории интеграла Фурье мы не будем вычислять инZ+∞sin ayтегралcos yx dy, а вычислим интегралyZ+∞01f (t) cos ty dt.a(y) =π−∞Так как функция, заданная соотношением (9), является четной, то, подставив в формулу (7) выражение f (x), получимZ+∞Za22 πa(y) =f (t) cos ty dt = ·cos ty dt =ππ 200t=asin aysin ty ==.yyt=0+∞R sin aycos yx dy совпадаетyс функцией f (x), заданной уравнением (9).

На рис. 2 представлен график косинус-преобразования Фурье a(y) функцииf (x).Это доказывает, что интеграл0Рис. 2. График функции a(y)10ПРИМЕР 2.Z+∞0 π sin x, если | x |≤ π,sin πy2sin yx dy =21−y0, если | x |> π.Решение. Интеграл, стоящий в левой части уравнения представляет интеграл Фурье, содержащий только синусы. Здесьроль функции, являющейся прямым синус-преобразованием,sin πy. Как следует из пункта 1.3., виграет функция b(y) =1 − y2этом виде представимы нечетные функции.

Убедимся, что кнечетной функции π sin x, если | x |≤ π,2f (x) =(10)0, если | x |> πможно применить теорему о представимости кусочно-гладкойфункции в точке своим интегралом Фурье. На рис. 3 представлен график этой функции.Рис. 3. График функции f (x)11Очевидно, что функция является абсолютно интегрируемойи кусочно-гладкой:Z+∞|f (t)| dt = 2π < +∞;−∞функция непрерывна; на каждом из промежутков (−∞, −π),(−π, π), (π, +∞) она непрерывно дифференцируема; также вточках x = ±π существуют и конечны пределы, похожие налевую и правую производные:f (−π − h) − f (−π − 0)= 0,h→+0−hf (−π + h) − f (−π + 0)πlim=− ,h→+0−h2πf (π − h) − f (π − 0)= ,limh→+0h2f (π + h) − f (π + 0)= 0.limh→+0hВ силу теории интеграла Фурье мы не будем вычислять интегралZ+∞sin πysin yx dy,1 − y2limа вычислим интеграл01b(y) =πZ+∞f (t) sin ty dt.−∞Так как функция, заданная соотношением (10), является нечетной, то, подставив в формулу (8) выражение f (x), получим2b(y) =πZ+∞Zπ2 πf (t) sin ty dt = ·sin t sin ty dt =π 201201=2Zπ01=2(cos(t(1 − y)) − cos(t(1 + y))) dt =sin t(1 − y) sin t(1 + y)−1−y1+y t=πsin πy=.1 − y2t=0Z+∞sin πyЭто доказывает, что интегралsin yx dy совпадает с1 − y20функцией f (x), заданной уравнением (10).