1611689220-1e5d12ed6413322f5f3df7230054db67 (Лекции Блохин)

Лекция_12Лекция_213Лекция_325Лекция_435Лекция_543Лекция_652Лекция_758Лекция_867Лекция_978Лекция_1087Лекция_1198Лекция_12104Лекция_13109Лекция_14120Лекция_15132Лекция_16144Лекция_17151Лекция_18158Лекция_19164Лекция_20167Лекция_21172§1. Предварительные сведенияИзвестно, что при математическом моделировании физических процессов в науке и технике возникают самые различныеобыкновенные дифференциальные уравнения.Теория дифференциальных уравнений - это раздел математики, который изучает математические модели различных физических (а, также, биологических, химических,геологических и т.д.) явлений.Теория обыкновенных дифференциальных уравнений это часть более общей математической дисциплины: теории дифференциальных уравнений.Для того, чтобы определиться с объектами, которые изучаютсяв нашем курсе, дадим следующее определение.Определение 1I.

Обыкновенным дифференциальным уравнением n-гопорядка называется соотношение видаF (t, y, y 0 , y 00 , ..., y (n) ) = 0(1)между независимой переменной t ∈ R1 , её функцией y(t),производными от этой функции (до порядка n включительно).II. Решением дифференциального уравнения n-го порядка (1) на (a, b) ((a, b) - интервал, принадлежащий R1 ) называется функция y = ϕ(t), определенная на интервале (a, b)вместе со своими производными до n-го порядка включительно, и, такая, что подстановка функции y = ϕ(t) в (1)превращает последнее в тождество по t на интервале (a, b).Простейшими примерами обыкновенных дифференциальных1Лекция №1, НГУ, ММФ, 20092уравнений (а, именно с этих примеров мы начнем изучение теории обыкновенных дифференциальных уравнений в нашем курсе)являются так называемые линейные уравнения с постоянными коэффициентами, т.е. когда в (1) функция F линейна поотношению к y, y 0 , ..., y (n) :Ly = y (n) + a1 y (n−1) + ... + an−1 y 0 + an y = 0,(2)причем коэффициенты a1 , ..., an - некоторые постоянные (вещественные или комплексные).

Кроме этого, мы обозначили в (2)через L дифференциальный операторdndn−1dL = n + a1 n−1 + ... + an−1 + an ,(3)dtdtdtдействующий на функцию y = y(t).Итак (2) - это линейное однородное обыкновенное дифференциальное уравнение порядка n с постоянными коэффициентами. Если вместо (2) мы рассматриваем уравнение справой частьюLy = f (t),(4)где f = f (t) - известная функция от t, то уравнение (4) - линейноенеоднородное.Пример 1. Найти такие кривые на плоскости (t, y), чтобы тангенс угла наклона касательной (по отношению к оси абсцисс) в любой точке этих кривых равнялся бы ординате y этой точки, умноженной на некоторое вещественное число a (см. Рис.

1). Посколькуtgα = y 0 , то функция y = y(t) удовлетворяет линейному однородному дифференциальному уравнению первого порядкаy 0 = ay.Это уравнение можно переписать так(e−at y)0 = 0,т.е.e−at y(t) = C,Лекция №1, НГУ, ММФ, 20093yy=y(t)y0t0t0Рис. 1:где C - произвольная вещественная постоянная. Следовательно,уравнение кривых с нужным для нас свойством записывается втаком виде:y = y(t) = Ceat .(5)Определение 2. Решение дифференциального уравненияn-го порядка (1), зависящее от n произвольных постоянныхCi , i = 1, n:y = ϕ(t, C1 , ..., Cn )называется общим решением этого уравнения.Следовательно в случае примера 1 формула (5) задает общеерешение уравнения y 0 = ay.Определение 3.

Задачей Коши для (1) называется задача о нахождении на интервале (a, b), так называемого частного решения y = ϕ(t) уравнения (1), удовлетворяющего nначальным условиям при t = t0 , t0 ∈ (a, b):ϕ(t0 ) = ϕ0 , ϕ0 (t0 ) = ϕ1 , ..., ϕ(n−1) (t0 ) = ϕn−1 ,Лекция №1, НГУ, ММФ, 20094где ϕ0 , ϕ1 , ..., ϕn−1 - некоторые заданные постоянные.Для уравнения y 0 = ay Задача Коши формулируется так(y 0 = ay, t ∈ (a, b),(З.К.)y(t0 ) = y0 , t0 ∈ (a, b),(6)где y0 - некоторая заданная постоянная.

Легко видеть, что имеяна руках формулу общего решения (5) уравнения y 0 = ay, можнорешить Задачу Коши (6). В самом деле, полагая в (5) t = t0 , мыполучаем, чтоC = y0 e−at0 ,т.е. искомое решение Задачи Коши (6) имеет следующий вид:y = y0 ea(t−t0 ) .(7)Геометрический смысл решения Задачи Коши (6) ясен: из всехкривых, описываемых формулой (5) надо выбрать такую, котораяпроходит через заданную точку (t0 , y0 ) (см.

формулу (7) и Рис.1). Заметим, что решение Задачи Коши (6) определено при всехt ∈ R1 , а также для любых t0 ∈ R1 , y0 ∈ R1 .Наряду с одним уравнением порядка n мы будем в нашем курсерассматривать и системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Мы не будем приводить здесь строгого определения таких систем, а ограничимся рассмотрением несколькихважных примеров систем дифференциальных уравнений.Пример 2.

Рассмотрим систему следующего вида:(y10 = −y2 ,(8)y20 = y1 .Здесь y1,2 = y1,2 (t) - неизвестные функции. Обозначим через y(t)вектор-функцию с компонентами y1,2 (t):!Ãy1 (t).y(t) =y2 (t)Лекция №1, НГУ, ММФ, 20095В таком случае (8) удобно переписать в так называемом векторном виде:Ã !0Ã ! Ã!Ã ! Ã!0y1y10 −1y10 −1dy=y0 ====y0dty2y21 0y21 0илиy 0 = Ay,Ã!0 −1где A =- квадратная матрица порядка 2.1 0В общем случае систему линейных уравнений с постояннымикоэффициентами для N неизвестных функций y1 (t), ..., yN (t) запишем в таком же векторном виде:y0 =гдеdy= Ay,dt(9)y1a11 . . . a1N y =  ...  , A = (aij ) = . .

. . . . . . . . . . . , i, j = 1, N ,aN 1 . . . aN NyNaij - элементы матрицы A, вещественные (или комплексные) числа. Покомпонентная запись системы (9) состоит, естественно, изN уравнений следующего вида:Ndyi X=aij yj , i = 1, N .dtj=1(90 )Понятно, что (90 ) - однородная система, система жеdy= Ay + f (t),dt(10)f1 (t)где f (t) =  ... - заданная вектор-функция, неоднородная.fN (t)Лекция №1, НГУ, ММФ, 20096Наконец, наряду с (9), (10) будем рассматривать так называемые матричные уравненияdY= AY,(11)dtгде неизвестные (искомые) функции объединены в матрицуy11 (t) . . .

y1N (t)Y = (yij ) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . , i, j = 1, N ,yN 1 (t) . . . yN N (t)при этом, по определению 00y11 . . . y1NdY= . . . . . . . . . . . . . , i, j = 1, N .dt00yN1 . . . yN NПокомпонентная запись системы (11) такова:Ndyir X=aij yjr , i, r = 1, N .dtj=1(110 )Из (110 ) следует, что на самом деле систему (11) можно переписатьв векторном виде. Действительно, обозначим через y [k] (t), k =1, N следующие вектор-функции:y11y1Ny [1] =  ...  , ..., y [N ] =  ....yN 1yN NТогда из (110 ) следует, что:илиdy [k]= Ay [k] , k = 1, Ndt y [1]y [1]A0 d . ..  =  . .

.   ...  ,dt [N ][N]0Ayy(1100 )Лекция №1, НГУ, ММФ, 20097т.е. вместо (11) мы получили вновь систему вида (9).Перейдем теперь к заключительной части этого параграфа, вкоторой приведем некоторые, необходимые нам в будущем, сведения из теории матриц. Пусть, как обычно, RN − N -мерное вещественное евклидово пространство, CN − N -мерное комплексноепространство. Далее, пусть мы имеем вектор-функциюy1 (t) ..y = . , причем при любом t ∈ R1 : y(t) ∈ RN (или CN ).yN (t)Как известно, для векторов из RN (или CN ) можно ввести длину (норму):vu NuXp||y|| = ||y(t)|| = (y, y) = t|yi |2 при любом t ∈ R1 . (12)i=1Здесь(y, x) =NXy i xi − скалярное произведение векторовi=1 x1y1  y =  ...  , x =  ...

 .yNxNЗаметим, что мы привели формулу для скалярного произведениявекторов в общем случае, когда x, y ∈ CN . Напомним, что скалярное произведение векторов x, y обладает следующими очевиднымисвойствами:а) (y, x) = (x, y), где черта сверху обозначает комплексное сопряжение;б) (αy, x) = α(y, x), α ∈ C1 ;в) (y, αx) = α(y, x), α ∈ C1 ;г) ||y|| = 0 ⇔ y = 0.Лекция №1, НГУ, ММФ, 20098В нашем курсе мы часто будем пользоваться известными неравенствами Куранта:λmin (B)||y||2 ≤ (By, y) ≤ λmax (B)||y||2 ,∗(13)∗где B = B - эрмитова матрица (B = (bij ), B = (bji ), i, j =1, N ), λmin (B), λmax (B) - наименьшее и наибольшее собственныечисла эрмитовой матрицы B. Заметим, что все собственные числаэрмитовой матрицы B вещественные.

Докажем неравенства (13).С этой целью вспомним известное утверждение из теории матрицо том, что любая эрмитова матрица B может быть приведена кдиагональному виду с помощью некоторого унитарного преобра∗∗зования U = U (B) (U −1 = U ): B = U DU, D = diag(λ1 , ..., λN ),где λi = λi (B), i = 1, N - собственные числа матрицы B, при∗чем λ1 = λmin (B), λN = λmax (B). Тогда (By, y) = (U DU y, y) =(DU y, U y) = λ1 |z1 |2 + ... + λN |zN |2 , где z1 z =  ...  = U y.zNС другой стороны2λ1 ||z|| ≤NXλi |zi |2 ≤ λN ||z||2(14)i=1(мы считаем, что диагональные элементы матрицы D расположены в порядке возрастания). Поскольку∗||z||2 = (z, z) = (U y, U y) = (U U y, y) = (y, y) = ||y||,то из (14) следуют неравенства (13), что и требовалось доказать.Кроме нормы (длины) вектора y ∈ RN (или CN ) можно ввести,также, норму матрицы A = (aij ), i, j = 1, N . В теории матрицдаются определения различных норм матрицы A.

Наиболее ходовыми являются: операторная и эвклидова нормы матрицы AЛекция №1, НГУ, ММФ, 20099(последняя называется еще Фробениусовой нормой матрицыA).Определение 4. Операторной нормой матрицы A называютвеличинуs||Ay||(Ay, Ay)||A|| = sup= sup.(15)(y, y)y6=0 ||y||y6=0Заметим однако, что исходя из определения 4 очень трудно вычислить норму конкретной матрицы A. С этой целью преобразуемправую часть формулы (15):ss∗(Ay, Ay)(A Ay, y) rsup= sup= max (A∗ Az, z) =(y, y)(y, y)||z||=1y6=0y6=0r= max (A∗ Ay, y).||y||=1В приведенной здесь цепочке преобразований мы вначале сделалиyзамену z =, а потом вернулись к прежнему обозначению:||y||∗∗y = z. Понятно, что матрица A A - эрмитова и A A ≥ 0, посколькуэрмитова форма(A∗ Ay, y) = (Ay, Ay) = ||Ay||2 ≥ 0.∗Заметим далее, что эрмитова форма (A Ay, y) - непрерывная функция от y, определенная на компакте ||y|| = 1.

Поэтому она достигает на этом множестве своего максимального и своего минимального значений. При этом в силу (13)max (A∗ Ay, y) = λmax (A∗ A) ≥ 0.||y||=1Таким образом, окончательно получаемp||A|| = λmax (A∗ A) ≥ 0.(16)В отличии от операторной нормы матрицы A Фробениусова нор-Лекция №1, НГУ, ММФ, 2009ма вводится так:10vu NuX|aij |2 .||A||E = t(17)i,j=1Покажем, что||A|| ≤ ||A||E .(18)С этой целью напомним вначале известное неравенствоБуняковского-Шварца:|(x, y)|2 ≤ (x, x)(y, y),(19)где x, y ∈ RN (или CN ). Далее, посколькуvu¯!2 vï N!à N!u N à NuXN¯X¯XXXuu¯¯||Ay|| = t|aij |2aij yj ¯ ≤ t|yj |2 =¯¯¯i=1j=1i=1j=1j=1||Ay||≤ ||A||E , что и требовалось доказать.||y||Наконец, в конце параграфа, в качестве упражнения докажемнеравенство:||AB|| ≤ ||A|| · ||B||,(20)= ||y|| · ||A||E , тогде A, B - квадратные матрицы порядка N .В самом деле:s(ABy, ABy) r||AB|| = sup= max (A∗ ABy, By) ≤2||y||||y||=1y6=0r≤ max {λmax (A∗ A)(By, By)} = ||A|| · ||B||.||y||=1Лекция №1, НГУ, ММФ, 200911Упражнения к §11.