1611676862-172a5a147b9d016b74aff99cd33d80d5 (Несобственный интеграл Римана)

Несобственный интеграл.Опр. Пусть f определена на промежутке [a, +∞), причем f ∈ Rim[a; b] для каждого b ∈∫b(a, +∞). Тогда предел lim f (x)dx называют несобственным интегралом функции f от ab→+∞ a+∞∫до +∞ и обозначают черезf (x)dx. В случае если этот предел конечен, то говорят, что функ-aция f интегрируема (в несобственном смысле) на промежутке [a, +∞) или интеграл+∞∫сходится, иначе f неинтегрируема на промежутке [a, +∞) или интеграл∫bАналогично определяется несобственный интеграл∫cсуммуf (x)dx +−∞+∞∫f (x)dx, а−∞+∞∫+∞∫f (x)dxaf (x)dx расходится.af (x)dx определим как−∞f (x)dx, где c – произвольное вещественное число.cОпр.

Пусть f неограничена на отрезке [a, b], причем f ∈ Rim[a, c] для каждого c ∈ (a, b). Тогда∫cпредел lim f (x)dx называют несобственным интегралом функции f от a до b и обозначаютчерез∫bc→+b af (x)dx. В случае если этот предел конечен, то говорят, что функция f интегрируема (вaнесобственном смысле) на отрезке [a, b] или интегрална отрезке [a, b] или интеграл∫b∫bf (x)dx сходится, иначе f неинтегрируемаaf (x)dx расходится.aАналогично определяется несобственный интеграл∫bf (x)dx, где f неограничена на отрезкеa[a, b], причем f ∈ Rim[c, b] для каждого c ∈ (a, b).Пусть f неограничена на отрезке [a, b]. Тогда если f ∈ Rim[c, c′ ] для каждого [c, c′ ] ∈ (a; b),∫b∫c∫bто f (x)dx определим как сумму f (x)dx + f (x)dx, где c – произвольное вещественное числоaacиз (a, b); если f ∈ Rim[a, c], Rim[c′ , b] для любых c ∈ (a, d), c′ ∈ (d, b), где d некоторая точка из∫b∫d∫b(a, b), то f (x)dx определим как сумму f (x)dx + f (x)dx.aadДалее, достаточно рассмотреть несобственные интегралы двух типов по одной схеме.

Пустьфункция f определена [a, ω) и реализуется одна из следующих ситуаций:1. ω = +∞;2. ω ∈ (a, +∞), ∀c ∈ (a; ω) функция f ограничена на [a, c] и неограничена на [c, ω].∫ωТогда мы будем говорить о несобственном интеграле f (x)dxaОсновные свойства:Теорема. Пусть b ∈ (a, ω). Если∫ωf (x)dx сходится, то сходится такжеaПри этомb∫ω∫bf (x)dx =aТеорема. Если∫ωa∫ω∫ωf (x)dx +af (x)dx сходится, то limf (x)dx.b∫ωc→ω−0 cf (x)dx = 0.f (x)dx, и наоборот.Теорема. Если∫ω∫ωf (x)dx,a∫ωg(x)dx сходятся, то сходится также (αf (x) + βg(x))dx.

При этомaa∫ω∫ω(αf (x) + βg(x))dx = αa∫ωf (x)dx + βag(x)dx.aТеорема (формула Ньютона-Лейбница). Пусть функция f интегрируема на [a, b] для каждого∫ωb ∈ [a, ω) и имеет первообразную F на (a, ω). Тогда f (x)dx сходится тогда и только тогда,aкогда F (ω − 0) ∈ R. При этом∫ωf (x)dx = F (ω − 0) − F (a + 0).aТеорема (формула интегрирования по частям). Пусть функции f, g дифференцируемы на[a, ω).

Тогда из существования и конечности двух из трех выражений∫ω∫ω′f (x)g (x)dx,lim f (x)g(x),x→ω−0af ′ (x)g(x)dxaследует существование третьего и справедливость равенства∫ωf (x)g ′ (x)dx = lim f (x)g(x) − f (a)g(a) −∫ωx→ω−0af ′ (x)g(x)dx.aТеорема. (о замене переменной) Пусть функция f (x) непрерывна промежутке [a, ω) и функцияφ(t) непрерывно дифференцируема на промежутке с концами α, β и отображает этот промежуток на [a, ω), причем φ(α) = a, lim φ(x) = ω. Тогда интегралыx→β∫ω∫βf (x)dx,af (φ(x))φ′ (x)dxαсходятся или расходятся одновременно, причем в случае сходимости они совпадают.Сходимость интеграла в случае неотрицательной функции:∫bТеорема Если f : [a, ω) неотрицательна и функция F (b) = f (x)dx ограничена сверху на(a, ω), то∫ωaf (x)dx сходится.aТеорема (Признак сравнения). Пусть 0 ≤ f ≤ g на [a, ω).

Тогда∫ω∫ω1. если g(x)dx сходится, то сходится f (x)dx;a2. если∫ωaf (x)dx расходится, то расходитсяa∫ωg(x)dx.aСледствие Пусть функции f, g ≥ 0 на [a, ω). Если lim f (x)/g(x) = K ∈ (0, +∞), то∫ωx→ω−0∫ωf (x)dx,ag(x)dx сходятся или расходятся одновременно, причем если K = 0, то из сходимости второгоaинтеграла следует сходимость первого, а если K = +∞, то из расходимости второго интеграласледует расходимость первого.Сходимость интеграла в общем случае:Теорема (Критерий Коши). Пусть f ∈ Rim[a, b] для каждого b ∈ (a, ω). Для того, чтобы∫ωинтеграл f (x)dx сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовалоa∫b2такое число b ∈ (a, ω), что для любых b1 , b2 ∈ (b, ω) имело место | f (x)dx| < ε.b1Теорема (Признак Абеля) Пусть f, g ∈ Rim[a, b] для каждого b ∈ (a, ω).

Если интегралсходится, а функция g монотонна и ограничена на [a, ω), то∫ω∫ωf (x)dxaf (x)g(x)dx сходится.aТеорема (Признак Дирехле) Пусть f, g ∈ Rim[a, b] для каждого b ∈ (a, ω). Если функция∫bF (b) = f (x)dx ограничена на (a, ω), а функция g(x) монотонно стремится к нулю при x →aω − 0, то∫ωf (x)g(x)dx сходится.aАбсолютная сходимость интеграла:Опр.

Говорят, что несобственный интеграл∫ωf (x)dx сходится абсолютно, если сходитсяa∫ω|f (x)|dx.aГоворят, что несобственный интеграл сходится условно, если он сходится, но не сходится абсолютно.Теорема Если∫ω∫ω∫ωf (x)dx сходится абсолютно, то он сходится, причем | f (x)dx| ≤ |f (x)|dx.aТеорема Пусть f, g ∈ Rim[a, b] для каждого b ∈ (a, ω). Еслифункция |g(x)| ≤ L на [a, ω), несобственный интеграл∫ω∫ωaaf (x)dx сходится абсолютно, аaf (x)g(x)dx сходится абсолютно, причемa∫ω∫ω|f (x)g(x)|dx ≤ La|f (x)|dx.aСходимость интеграла в смысле главного значения:Опр. Пусть f определена на всем R, причем f ∈ Rim[a, b] для каждого [a, b] ⊂ R. Тогда+∞∫c∫предел limf (x)dx называют главным значением несобственного интегралаf (x)dx иc→+∞ −cобозначают через v.p.+∞∫−∞f (x)dx. В случае если этот предел конечен, то говорят, что функция f−∞интегрируема в смысле главного значения на всем R или интеграл+∞∫f (x)dx сходится в смысле−∞главного значения, иначе f неинтегрируема в смысле главного значения на всем R.Опр.

Пусть f определена на [a, b], причем f ∈ Rim[a, c], Rim[c′ , b] для всех ∈ [a, d), c′ ∈ (d, b],( d−c)∫∫bf (x)dx +где d некоторая точка из (a, b). Тогда предел limf (x)dx называют главнымc→0+значением несобственного интеграла∫baad+c∫bf (x)dx и обозначают через v.p. f (x)dx. В случае еслиaэтот предел конечен, то говорят, что функция f интегрируема в смысле главного значения на∫b[a, b] или интеграл f (x)dx сходится в смысле главного значения, иначе f неинтегрируема вaсмысле главного значения на [a, b]..