OMM_podgotovka_k_RK (Подготовка к РК1. Решение задач с семинаров. ФН2. 2020.)

Основы математического моделированияПодготовка к РКСеминар 2 (09.09.2020) Введение в теорию размерностей.Задача 1. Процесс течения жидкости в трубе характеризуется следующими параметрами: плотностью , динамической вязкостью , радиусом трубы , скоростьюжидкости , удельным перепадом давлений = (1 − 2 )/. Построить формальнуюзависимость , от всех параметров в случае, если нет скорости жидкости .Задача 2. Движение тела в жидкости характеризуется следующими параметрами:размером тела , скоростью тела в жидкости , углом , плотностью жидкости ,динамической вязкостью .

Найти формальную зависимость (размерность силыимеет) от остальных параметров в случае, когда нет динамической вязкости ; плотности жидкости ; тело имеет форму шара (т.е. нет угла ).Семинар 3 (16.09.2020) Применение Π – теоремы для построенияфункциональных зависимостей.Задача 1. Я выходил к доске на этой задаче, условие у меня не записано (там ещебыло очень много параметров).Задача 2. Некоторый процесс характеризуется следующими параметрами: длиной, плотностью , скоростью , температурой на бесконечности 0 , температурой ,вязкостью , коэффициентом теплопроводности , газовой постоянной , теплоемкостью , ускорением свободного падения .

Найти 6 безразмерных комбинаций.Семинар 4 (23.09.2020) Построение простейших ММ.Задача 1. Колебания шарика, прикрепленного на пружинке, описываются следующим дифференциальным уравнением ′′ + = 0, > 0 с начальными условиями(0) = 0 , ′ (0) = 0 . Найти соотношение между начальным положением 0 и скоростью шарика 0 , при котором максимальное отклонение max 6 .Задача 2. Получить уравнение движения шарика на пружине, используя закон сохранения энергии.Семинар 5 (30.09.2020) ММ популяций.

ММ электрических цепей.Задача 1. Выписать первый интеграл системы дифференциальных уравнений, которая описывает модель «хищник – жертва» :⎧⎪⎨= (1 − 1 ) ,⎪⎩ = (2 − 2 ) .Задача 2. Выписать первый интеграл системы дифференциальных уравнений, которая описывает модель «зарплата + занятость »:⎧⎪⎨ = −1 ( − 0 ) ,⎪⎩= 2 ( − 0 ) .1Задача 3.

Для приведенной схемы электрической цепи выписать уравнения. Найтиустановившееся решение.Задача 4. Для приведенной схемы электрической цепи выписать уравнения.Семинар 6 (07.10.2020) Уравнение переноса излучения. Уравнениягазовой динамики.Задача 1. Проверить формулу⎧⎫)︂(︂)︂(︂∫︁⎨⎬′′− − 0′′′′′exp − κ , − + = ,0 0 , −⎩⎭0⎧⎫(︂)︂(︂)︂∫︁0∫︁⎨⎬′′′−−′′′′′′′+ , κ , −exp − κ , − ′ . (1)⎩⎭′Указание – нужно подставить в уравнение для стационарного излучения (случай 2),при этом рассмотреть случай κ′ = const, тело ∈ (0, ∞), = const (не знаю, причемздесь температура), κ′ произвольное.

Найти при → ∞.Задача 2. Провести линеаризацию уравнений газовой динамики в лагранжевых массовых координатах.2Семинар 7 (14.10.2020) Уравнение Больцмана. Линейные уравнения вчастных производных.Задача 1. Досчитать до конца следующий интеграл:∫︁+∞{︁ }︁222( − ) exp( − ) .22−∞Задача 2. Найти функцию распределения (|⃗ |), исследовать функцию (, ) == ( − )(ln − ln ).Задача 3. Вычислить интеграл вида∫︁∫︁. . . (⃗ + ⃗1 ) ( ′ 1′ − 1 ) ⃗1 ⃗ .Задача 4. Построить функцию распределения () такую, что ⟨⟩ = 0, ⟨3 ⟩ ̸= 0.,функцию () искать в виде{︃ exp (− ( − 0 )) , > 0 , () =exp (− (0 − )) , 6 0 .Найти коэффициенты , , , 0 .

Не забыть про условие нормировки+∞∫︀ () = 1.−∞Задача 5. Определить тип уравнения в зависимости от параметра ( + ) + 2 − 2 = 0.Задача 6. Привести уравнения к каноническому виду + = 0, + = 0, + = 0, + = 0, + = 0.Семинар 8 (21.10.2020) Метод собственных функций решения уравненийв частных производных.Задача 1. Рассмотреть по материалам семинара одномерное уравнение Пуассона∆ = − с граничными условиями (0) = () = 0. Решение строится методом собственных функций.

С помощью непосредственного интегрирования найти ().Задача 2. Решить задачу в случае цилиндра 1 < < 2 .Задача 3. Рассмотреть по материалам семинара одномерное уравнение Пуассона в цилиндрическом и сферическом случаях.Решить задачи в случае цилиндра0 < < 2 и сферы 0 < < 2 , при этом потребовать от решения ограниченности.Задача 4. Решить задачу в декартовых координатах в нулевыми условиями Неймана.

Получить общее решение как обычным методом интегрирования ОДУ, так иметодом собственных функций.3Задача 5. Аналогично задаче 4, только рассмотреть на левом конце ГУ I рода, направом – III рода.Задача 6. Выписать методом собственных функций решение уравнения Пуассонав цилиндре (без дырки, т.е. 0 < < 2 ) с нулевыми ГУ на боковой поверхности иторцах.Семинар 9 (28.10.2020) Метод собственных функций и его применение крешению задач электромагнетизма.Задача 1. Рассмотреть задачу 3 из семинара (задача связана с электростатическимполе внутри бесконечной призмы). Выписать решение для функции и убедиться,что решения совпадают.Задача 2. Рассмотреть задачу 5 из семинара (задача связана с электростатическим полем внутри цилиндра, цилиндр бесконечный).

Провести выкладки и получить уравнение для ().Задача 3. Решить задачу = 2 , 0 < < , > 0, (, 0) = 0, (0, ) = 0 sin , (, ) = 0.Задача 4. Аналогично задаче 3, при этом > −∞ , начальных условий не задано.Семинар 10 (18.11.2020) Метод собственных функций и его применение крешению задач теплопроводности и колебаний.Задача 1.

Рассмотреть задачу 1 о теплопроводности в однородном стержне с заданными граничными условиями и начальными данными. Решить задачу без введенияфункций 0 , 00 . Сравнить полученное решение с полученным ранее.Задача 2. Рассмотреть задачу 3 о нахождении температуры однородного стержня(0, ) в точке 0 которого находится сосредоточенная теплоемкость 0 , начальнаятемпература произвольна, на концах нулевая температура. Убедиться в самосопряженности рассматриваемого дифференциального оператора относительно указанного скалярного произведения.Задача 3. Рассмотреть задачу 4 о колебании струны с подвижным концом. Сделатьзамену = 0 + , 0 = (). Убедиться, что получается то же самое решение.Задача 4. Рассмотреть случай () = sin для различных значений .Задача 5.

Рассматривается задача акустики о свободных колебаниях газа в закрытой тонкой трубке. Получить решение задачи = 2 , 0 < < , > 0, (, 0) = 0 () , (, 0) = 0 () , (0, ) = (, ) = 0.Задача 6. Рассматривается задача о распространении начального возмущения = 2 , − < < , > 0, (−, ) ={︃ (, ) = 0,1, −0 6 6 0 , (, 0) =, (, 0) = 0.0, < −0 , > 0 .Выписать решение в случаях: 0 < < ( − 0 )/ , ( − 0 ) < < 2/ , > 0.4Семинар 11 (25.11.2020) Применение интегральных преобразований.Задача 1. Найти решение задачи = 2 + (, ) , −∞ < < ∞, > 0, (, 0) = (, 0) = 0.c использованием преобразования Фурье и преобразования Лапласа.Задача 2.

Получить Фурье - образ решения задачи = + 2 , 0 < < ∞, > 0, (0, ) − ℎ (0, ) = κ () , || < ∞, (, 0) = (, 0) = 0.Для этого рассмотреть функцию = − ℎ.Задача 3. Аналогично задаче 2, но с использованием преобразования Лапласа.Задача 4. Рассмотреть задачу 7 из семинара. Решить ее c использованием преобразования Лапласа, когда (0, ) = 0 , (, 0) = 0.Задача 5. Доделать задачу 9.Задача 6. Решить задачу с использованием преобразования Лапласа = 2 + (, ) , 0 < < , > 0, (, 0) = 0, (0, ) = (, ) = 0.Семинар 12 (02.12.2020) Применение интегральных преобразований(продолжение).Задача 1. Рассмотреть задачу 2 о распространении электрических колебаний внеограниченном проводе при = – провод линии без искажений.

Пусть при<0:}︂{︂}︂ √︂{︂ ( + ) . = exp − ( + ) , = − exp − Решить задачу для случаев следующих граничных условий:(0 + )|=0 = 0 – заземление через сосредоточенную емкость.(0 + )|=0 = 0 – заземление через сосредоточенную индуктивность.Задача 2. С помощью интегрального преобразования Лапласа решить следующиезадачи для систем ОДУ:⎧ ′⎧ ′⎧ ′′⎪⎪⎪⎨ = 2,⎨ + = 0,⎨2 + − 3 = 0, ′ = 2, ′ − 2 − 2 = 0,′′ + ′ − 2 = 2 ,⎪⎪⎪⎩ (0) = 2, (0) = 2.⎩ (0) = (0) = 1.⎩ (0) = −1, ′ (0) = 1, (0) = 0.Задача 3.

С помощью интегрального преобразования Лапласа решить следующиеинтегральные уравнения:∫︁∫︁1 () = () + 1, () ( − )2 = 3 ,302 () =+2∫︁0( − ) −(−) () ,0∫︁05− () = sin .Семинар 13 (02.12.2020) Применение потенциалов при решении краевыхзадач (на примере уравнения Пуассона).Задача 1. Рассмотреть задачу 1 об объемном потенциале однородного шара. Вычислить скачки, если они есть.Задача 2. Вычислить потенциал круга с постоянной плотностью ∫︁=∫︁2 · ln01·.20Снова два случая:(︂)︂1 11 (︁ )︁2при > =ln , при 0 < < =− ln −.2 2 22 Задача 3.

Рассмотреть задачу 3 о вычислении потенциала простого слоя сферического радиуса . Вычислить разрыв нормальной производной.Задача 4. Вычислить потенциал двойного слоя сферы радиуса , плотность постоянна. (потенциал диполя)Задача 5. Сделать то же самое в двумерном случае:(︂)︂∫︁1 ln ,2 = −2 √︁2− 2 sin , = . = 2 + Задача 6. Найти решение первой краевой задачи:{︃∆ = 0, −∞ < < +∞, −∞ < < +∞, > 0,| = .Семинар 14 (09.12.2020). Применение потенциалов (продолжение)Задача 1. Рассмотреть задачу 5 о нахождении фундаментального решения волнового уравнения в сферическо симметричном случае (︀= 2 ∆)︀ + ( − 0 ) ( − 0 ). Ла1 2 пласиан в сферической системе координат ∆ = 2 . Сделаем замену = /,тогда ′ = ′ / − /2 , ′′ = ′′ / − 2 ′ /2 + 2/3 .