3.8. Граничные условия (Математическое моделирование задач газодинамики и тепло-массообмена. Молчанов А.М. 2013)

8. Граничные условияЗадание граничных условий для уравнений Навье-Стокса представляетсобой отнюдь не тривиальную задачу. Даже более того. С теоретическойточки зрения это наиболее сложная часть рассматриваемой в данной главепроблемы.На первый взгляд, кажется, что с точки зрения пространственныхпеременных мы имеем дело с типичной краевой задачей, и для ее решениянеобходимо задавать все газодинамические параметры на всей границерасчетной области.На самом деле, это не так.Рассмотрим в качестве примера движение потока сжимаемой жидкостивдоль оси x слева направо со скоростью u.В параграфе 5 показано, что любая точка потока может распространятьсвое воздействие на окружающее пространство следующим образом:• со скоростью u за счет перемещения самого потока -вниз попотоку;• со скоростью u+a за счет перемещения самого потока ираспространения звуковых колебаний - вниз по потоку;• со скоростью u-a за счет распространения звуковых колебаний; еслискорость u превышает скорость звука a, это воздействие сноситсявниз и воздействие вверх по потоку отсутствуетТаким образом, в случае сверхзвукового течения правая границарасчетной области никак не может влиять вверх по потоку, и задание на нейграничных условий противоречит физическому смыслу.Если же скорость на выходе из расчетной области дозвуковая, тораспространений воздействия вверх по потоку возможно вследствиераспространения звуковых колебаний, и на этой границе требуется задаватькакие-то граничные условия.Какие же граничные условия необходимо задать на различных типахграниц расчетной области?Ответ на этот вопрос связан с так называемыми характеристиками.8.1.Характеристики.

Инварианты Римана.Предполагается, что на границах расчетной области можно пренебречьвлиянием вязкости. ( Это предположение справедливо для многих типовграниц, за исключением случаев, когда границей является стенка илиплоскость (линия) симметрии.)Уравнения динами невязкой жидкости или уравнения Эйлера относятся куравнениям гиперболического типа.В общем случае уравнения гиперболического типа описывают процессы,в которых происходит распространение информации с конечной скоростью.Простейшим гиперболическим уравнением является уравнение переноса∂u∂u+ a (u )= 0, u ( 0, x ) = φ ( x ) , − ∞ < x < ∞∂t∂xназываетсяХарактеристикамикривыев(8.1)пространствеx−t ,определяемые уравнениемdx ( t )dt(= a u (t, x (t )))(8.2)Если решение u ( t , x ) дифференцируемо, то оно постоянно вдольхарактеристики. Действительноdu ( t , x ( t ) )dtРассмотримтеперь=∂u ∂u dx ( t ) ∂u∂u+=+ a (u )=0∂t ∂x dt∂t∂xодномернуюнестационарнуюсжимаемой невязкой жидкости вдоль оси x.Основные уравнения в этом случае имеют вид:(8.3)задачутечения∂ρ ∂+ ( ρu ) = 0∂t ∂x∂∂( ρu ) + ( ρu 2 + p ) = 0∂t∂x∂∂( ρ E ) + ( ρuE + up ) = 0∂t∂x(8.4)Это так называемая консервативная форма уравнений.

Неконсервативнаяформа получается вычитанием из второго и третьего уравнений системыуравнения неразрывности, умноженного на u и E соответственно:∂ρ∂ρ∂u+u+ρ=0∂t∂x∂x∂u∂u ∂p=0ρ + ρu +∂t∂x ∂x∂E∂E ∂+ ρu+ ( up ) = 0ρ∂t∂x ∂x(8.5)Полная внутренняя энергия E может быть выражена через давление искорость1p 1 2E = e + u2 =+ u ,2βρ 2(8.6)где β = γ − 1Отсюда:dE =dpβρ−pd ρβρ 2+ udu(8.7)Подставляя производные E в 3-е уравнение (8.5), получаем:1 ∂p u ∂pp  ∂ρ∂ρ ∂u ∂p ∂u ∂u+−+u+ ρu+ + p=0 + u ρ∂x ∂x ∂x ∂xβ ∂t β ∂x βρ  ∂t ∂tОтсюда(8.8)с учетом уравнения неразрывности и количества движенияполучаем уравнение энергии через давление:∂p∂u∂p+γ p +u=0∂t∂x∂x(8.9)Таким образом, рассматриваемую задачу решаем относительно вектораρ W = u  p Система уравнений в векторной форме имеет вид(8.10)∂W∂W+A= 0,∂t∂x(8.11)0 u ρA =  0 u 1/ ρ 0 γ pu (8.12)гдеСобственные значения этой матрицы равны λ1 = u, λ2 = u − a, λ3 = u + aИм соответствуют собственные векторы1   − ρ / a   ρ / a     0 , 1 , 1  0   −ρa   ρa    (8.13)Таким образом, в преобразовании подобия−1A = ( S A ) ΛS A(8.14)1 0−1 / a 2  1 −ρ / a ρ / a −11  , S A =  0 1/ 2 −1/ ( 2 ρ a ) ( S A ) =  0 1 0 1/ 2 1/ ( 2 ρ a ) ρ a  0 −ρa(8.15)матрицы равны−1(матрица ( S A ) составлена из собственных векторов, а S A находится какобратная ей)С учетом (8.14) векторное уравнение (8.11) преобразуется к видуSA∂W∂W+ ΛS A=0∂t∂x(8.16)Эта система допускает прямое интегрирование, если существует такойфактор интегрирования µ и такой вектор R, что выполняется условие3µi (W ) ∑ ( S A )ik dWk = dRi (W ) ,(8.17)k =1Ri - компоненты вектора R, называются инвариантами Римана.Здесь ( S A )ik компоненты матрицы S A .В этом случае уравнение (8.16) преобразуется к виду∂R∂R+Λ=0∂t∂x(8.18)В скалярной форме это векторное уравнение имеет вид простейшегоуравнения переноса∂Ri∂R+ λi i = 0, i = 1,2,3∂t∂x(8.19)Для него существует 3 характеристических линии в пространственновременной плоскости x - tdx ( t )dt= λi(8.20)Инварианты Римана Ri постоянны вдоль характеристических линий.Заметим, что эти линии не являются прямолинейными, т.к.

λi являетсяпеременной величиной.Т.к.21 0−1/ a 2   d ρ   d ρ − dp / aS A dW =  0 1/ 2 −1/ ( 2 ρ a )   du  =  du / 2 − dp / ( 2 ρ a )  ,  0 1/ 2 1/ ( 2 ρ a )   dp   du / 2 + dp / ( 2 ρ a ) (8.21)то для рассматриваемой задачи инварианты Римана можно определитьинтегрированием соотношенийd ρ − dp / a 2 , du − dp / ( ρ a ) , du + dp / ( ρ a )(8.22)Первый дифференциал легко интегрируется; фактор интегрированияравен1ρ1ρ⋅ dρ −1ρ⋅ dp / a 2 =dρρ−  ρ dp= d ( ln ρ ) − d ( ln p1/ γ ) = d  ln  1/ γ  γp  p (8.23)Следовательно, инвариант, соответствующий собственному значениюλ1 = u , равен ρ R1 = ln  1/ γ  .

Это говорит о том, что вдоль траектории частицp сохраняется постоянным комплексρи, следовательно, комплекс S = p / ρ γp1/ γДля того, чтобы проинтегрировать следующие соотношения, выразим ρчерез константу S и давление p:γ +1du ∓−1/ γdpdp= du ∓= du ∓ p 2γ dp S / γ =ρaγ pρ γ −1 S 1/γ2γ= du ∓d  p 2γ−1γγ( )  γ2−γ12γ = du ∓d pγ − 1) (γpp1/ γ 2 = d u ∓=γρ ( γ − 1) ρ 2a = d u ∓( γ − 1) Следовательно, инвариантами Римана будутR2,3 = u ∓2a( γ − 1)(8.24)Рассматриваемая задача легко обобщается на трехмерный случай. Легкопоказать, что тогда появляются еще 2 характеристики, определяемыеуравнениемdx ( t )dt=u,(8.25)и им соответствуют инварианты РиманаR4 = v, R5 = w8.2.(8.26)Типы граничных условийГраничные условия, как правило, делятся на 5 типов.1) ВХОД – граница, на которой вектор скорости направлен внутрьрасчетной области2) ВЫХОД – граница, на которой вектор скорости направлен наружу израсчетной области3) ГРАНИЦА СО СВОБОДНЫМ ПОТОКОМ – граница междурасчетнойобластьюивнешнимпространством; направлениепотокомилинеподвижнымвектора скорости здесь заранеенеизвестно4) СТЕНКА – непроницаемая поверхность5) ПЛОСКОСТЬ (ЛИНИЯ) СИММЕТРИИ – граница, относительнокоторой все параметры течения симметричны.Рассмотрим подробнее эти случаи.1) ВХОДПредположим, что эта граница расположена перпендикулярно оси x, т.е.находится в плоскости 0yz .Возможны два варианта.Если составляющая скорости u больше скорости звука, все собственныезначения матрицы, определяющей конвективный перенос через границуλ1 = u , λ2 = u + a, λ3 = u , λ4 = u , λ5 = u − a , имеют положительный знак.

Т.е. все 5характеристик направлены внутрь расчетной области, и распространениевоздействия направлено только от границы внутрь.С этом случае граница называется СВЕРХЗВУКОВОЙ ВХОД, инеобходимо задавать на ней все 5 параметров течения. Чаще всего, это 3компоненты скорости, температура и давление (или плотность)При сверхзвуковом входе проблем с заданием граничных условий обычноне возникает.Более сложным представляется вариант, когдаu < a.В это случае только4 характеристики направлены внутрь расчетной области, а одна – извнутренней части расчетной области на границу.Такая граница называется ДОЗВУКОВОЙ ВХОД, и на ней задается 4параметра течения.

Пятый параметр определяется экстраполяцией извнутренней части расчетной области.Тут возможны различные варианты, зависящие от конкретной задачи.Например, при решении задачи течения в трубе или задачи истеченияструи из дозвукового сопла чаще всего на входе задаются 3 компонентыскорости и температура.Давление на входе определяется из условия постоянства инварианта,связанного с собственным значением λ = u − a , т.е. из условия:du − dp / ( ρ a ) = 0(8.27)Для этого берется внутренняя точка, ближайшая к рассматриваемойграничной точке, в ней определяются полученные в ходе расчета скорость идавление, а далее, в результате решения разностного аналога уравнения(8.27), получается давление в граничной точке.Более подробно этот процесс выглядит так. Предположим, что на n-омшаге по времени все параметры течения известны.

Требуется определитьдавление на границе на (n+1)-ом шаге по времени. Обозначим параметры награнице индексом b , а параметры ближайшей внутренней точки – индексомi . Из уравнения (8.27) получаем:pb n +1 = pi n + ( ρ a ) ( ub n +1 − ui n )(8.28)Коэффициент ( ρ a ) берется средним между двумя точками и можетнаходится итеративно ( достаточно 2-х итераций).Рассмотрим другой пример.