Упрощенные уравнения движения ЛА (Лекции)
Описание файла
PDF-файл из архива "Лекции", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "механика полета аэродинамических летательных аппаратов" из 8 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
УПРОЩЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЛАДля целей упрощения уравнения пространственногоаэродинамического ЛА удобно представить в следующей форме& V sin ,x& g Vk cos cos ,Hz& g Vk cos sin ,kFyk& Fxk ,V,& kmVkm& y sin z cos ,& движенияFzk,mVk cos 1( y cos z sin ) ,cos sin (y cos z sin ) ,& x cos & x J y J z y z M Fx / J x ,& & y J z J x z x M Fy / J y ,& z J x J y x y M Fz / J z ,Wxg Vkx Wxg Vx Vk V Vy Dgсв Dgk 0 Dgсв Wyg Vky Dgсв Wyg , Wzg Vkz Wzg Vz 0 12 2zV ( V V V ) , arctg2x2yVyVx, arcsinVz.VПри этом ЛА рассматривается как твердое тело постоянной массы,движущееся относительно плоской и неподвижной Земли в стандартнойатмосфере, а оси связанной СК являются главными центральными осямиинерции.В этих уравнениях F и M F - суммарные сила и момент, действующие наЛА.
С учетом сделанных допущений действующие на ЛА силы - это силатяжести ЛА G mg , тяга P , и результирующая аэродинамическая сила R a ,т.е.F Ra P G R G ,составляющиеобычногдеRx R Ry R z-естественнымрезультирующаяобразом Xa соответственно в скоростной R a Ya , связанной Z a 0 G mg 0 сила.Этипредставляются Px P Py и нормальнойP zсистемах координат, поэтому используемые в уравненияхпроекции на оси траекторной системы Fxk R xk mg sin Fyk R yk mg cos F R 0 zk zk 1 Xa Px mg sin gсв D ( , )D ( , , )D ( , ) Ya D k ( , )Dg ( , , ) Py mg cos . Z P 0 a z gkсвgaсвСуммарныймоментскладываетсяизрезультирующегоаэродинамического M , момента тяги M P (если вектор тяги не проходит черезцентр масс ЛА) и гироскопического M Г , причем в качестве последнего принеобходимости рассматриваются лишь гироскопический момент отвращающихся частей двигателей, который в проекциях на оси связанной СКимеет вид 0 M г L дв z .
Здесь L дв y - суммарный момент количествадвижения всех вращающихся частей двигателя, а ось вращения принимаетсяпараллельной продольной оси ЛА.Если можно пренебречь ветром, т.е. считать, что V Vk , торассматриваемую систему уравнений можно заметно упростить.Предположение об отсутствии ветра существенно упрощает выражениядля проекций сил на оси траекторной СК, так как в этом случае оси ха и хkсовпадают и траекторная СК отличается от скоростной от лишь одним углом– скоростным углом крена а (чтобы избежать путаницы этот угол приотсутствии ветра часто обозначают с ,т.е., с - это а при W 0 ).Поэтому Fxk Fxa , Fyk Fya cos a Fza sin a , Fzk Fya sin a Fza cos a , илиFxk R xa mg sin , Fyk R ya cos a R za sin a mg cos , Fzk R ya sin a R za cos a R zk ,где Fxa R xa 0 R xa sin g Fya R ya Da ( , , a ) mg R ya mg cos cos a ,F R 0 R cos sin a za za za R xa X a Px свg R ya Ya Da ( , ) Py , Da ( , , a ) - матрица перехода от нормальной СКR Z P za a zк скоростной при a , a , и уравнения динамики движения центра масспринимают видFya cos a Fza sin aF sin a Fza cos a, & ya,& mVmV cos R cos a R za sin a gR& R ya sin a R za cos a .или V& xa g sin , & ya cos , mmVVmV cos & Fxa ,VmПри отсутствии ветра можно также упростить соотношения длявычисления углов атаки и скольжения, от которых зависят аэродинамическиесилы и моменты:sin cos sin( ) cos sin cos cos( ) cos cos sin ,cos cos cos( ) sin sin arcsin(cos cos sin( ) sin sin cos cos( ) sin cos sin ) . arctg2Кроме того, можно получить уравнения, непосредственно описывающиеизменения углов атаки и скольжения:& z ( x cos y sin ) tg FyamV cos ,F& x sin y cos za .mVДве первых формулы получаются непосредственно из общих выраженийдля этих углов, если учесть, что при W 0Vx V V Dg D k 0 св g y Vz 0 cos cos sin sin cos cos cos sin sin cos cos sin cos cos sin cos cos sin sin * V * sin cos sin sin cos sin sin cos cos cos sin sin sin cos sin cos cos cos( ) sin sin V * sin cos sin( ) cos sin cos cos( ) cos cos sin , cos cos sin( ) sin sin cos cos( ) sin cos sin откуда следуют вышеприведенные формулы для углов атаки и скольжения.Уравнения для производных углов атаки и скольжения можно получить,исходя из того, что углы атаки и скольжения описывают поворот связаннойсистемы координат относительно скоростной.
Если угловую скоростьсвязанной СК относительноyayскоростной обозначить , тов проекциях на оси скоростнойПлоскость симметрии ЛАСК'=yayazaxz'=z axa & sin & , & cos а на оси & sin связанной СК & cos , & т.е. & z , а & ya .VОтносительноеугловоеперемещение этих системzaможнопредставитькакzразность вращений связаннойи скоростной систем координат относительно нормальной СК, т.е.
в видеразности векторов a , где - угловая скорость связанной СКотносительно нормальной, а a – угловая скорость скоростной СКотносительно той же нормальной СК. Отсюда, воспользовавшись матрицамиперехода от скоростной системы к связанной и обратно, можно получить& z axa sin aza cos , & x sin y cos aya ,xa3где x , y , z , - проекции угловой скорости связанной СК относительнонормальной на оси связанной СК, а axa , aya , aza – проекции угловойскорости a скоростной СК относительно нормальной в скоростной СК.Если предположить отсутствие ветра, т.е.
совпадение земной ивоздушной скорости, то нужные проекции угловой скорости a можнополучить, составив уравнения динамики поступательного движения на осискоростной СК& VFyaF, aya za .m V aza Fa , или aza mVmV V aya Следует заметить, что эти уравнения имеют смысл лишь при отсутствииветра, так как только в этом случае вектор V определяет движениескоростной СК относительно нормальной земной СК.Недостающую проекцию axa можно определить непосредственно изопределения скоростной СК, так как именно она соответствует поворотувокруг вектора скорости, обеспечивающему нахождение оси уа в плоскостисимметрии ЛА при любом угловом движении аппарата.
Очевидно, чтоплоскости симметрии ЛА будетусловие принадлежности оси уавыполняться, если проекция axa на плоскость симметрии равна суммепроекций всех остальных угловых скоростей, «участвующих» вотносительном угловом движении скорости и плоскости симметрии(поворачивающих плоскость симметрии и меняющих направление скорости) axa cos x cos y sin aza sin , откуда axa x cos y sin / cos FyamVtg .Выполнив соответствующие преобразования,вышеприведенные выражения для & и & :можнополучить& z axa sin aza cos z x cos y sin tg z ( x cos y sin ) tg Fyatg sin mVFyamV cos FyamVcos ,F& x sin y cos aya x sin y cos za .mVДля определения угла а можно использовать равенство проекциискорости axa и проекций скоростей изменения углов между скоростной инормальной СК& a sin a . axa & a Так как при отсутствии ветра a , a , то4& sin cos sin / cos Fya tg Fzk tg & a axa xymVmVFF sin a Fza cos a x cos y sin / cos ya tg yatg mVmV1Fya ( tg sin a tg) Fza cos a tg . x cos y sin / cos mVСледует отметить, что хотя при учете ветра полученные соотношения невыполняются, уравнения относительно производных углов атаки, скольжения искоростного крена могут быть получены и в этом случае.
Однако эти уравнения будутсвязывать указанные производные с остальными производными скоростных углов.Действительно, используя углы между скоростной и нормальной СК и записав всепроекции a на оси скоростной СК, получают следующую систему уравнений& a sin a ; axa & a aya & a cos a cos a & a sin a ;& a cos a sin a & a cos a . aza С другой стороны a , т.е. axa x & sin cos cos sin cos sin x & sin & свcos 0 y & aya D a y sin & cos cos sin sin sin cos & cos aza z z x cos cos y sin cos z sin & sin x sin y cos &. cos sin sin sin cos & cos xyzПоэтому& a & a sin a x cos cos y sin cos z sin & sin ;& a cos a cos a & a sin a x sin y cos & ; & a cos a sin a & a cos a x cos sin y sin sin z cos & cos ,откуда& a cos a sin a & a cos a & z y sin x cos tg 1;cos & a cos a cos a & a sin a ;& y cos x sin & a x cos y sin 1& a cos a sin a tg sin a & a cos a tg .cos Действительно& a sin a & a x cos cos y sin cos z sin & sin y sin x cos cos z & sin & a sin a y sin x cos cos 1 & a cos a sin a & a cos a & a sin a y sin x cos tg sin cos 5 y sin x cos cos y sin x cos tg sin & a cos a sin a & a cos a tg & a sin a x cos y sin 1 & a cos a sin a tg sin a & a cos a tg .cos Очевидно, что аналогичным образом, т.е., приравнивая проекции угловой скоростиa , можно вывести ранее полученные выражения для & , & и & a для случая, когда ветеротсутствует.
При этом нет необходимости выражать проекции aya и aza через& a и & a , так как при отсутствии ветра aya производные скоростных углов aza FyamVFza,mV.При отсутствии ветра относительно простые соотношения дляопределения скоростного угла крена могут быть получены и в конечнойформе (т.е. - в виде алгебраического соотношения, а не дифференциальногоуравнения).В общем случае для этого надо решать систему уравненийaDag ( a , a , a ) Dсвg ( , , ) Dсв ( , ) .При отсутствии ветра, т.е.
когда a , a , в этой системеaDag ( , , a ) Dсвg ( , , ) Dсв ( , ) остается одно неизвестное. Так какDag ( , , a ) cos cos sin a sin cos a cos sin cos a sin sin a cos sin sin a cos sin cos a cos , sin cos sin cos cos sin sin cos cos sin sin sin aaaaто для определения a достаточно найти лишь один из элементов (второйили третий) второй строки произведения матрицaD ñâg ( , , ) D ñâ ( , ) cos cos sin sin cos cos cos * sin cos sin sin sin cos cos sin cos sin sin cos sin cos cos sin cos *sin cos cos sin sin cos cos sin sin sin cos sin cos sin sin .0cos sin Таким образом, скоростной угол крена a при отсутствии ветра можнонайти из равенстваcos a cos sin sin cos cos cos ,или sin a cos sin cos sin cos cos sin sin sin cos cos .Итак, если не учитывать ветер, то полная система уравненийпространственного движения ЛА приобретает вид6x& g V cos cos ,& V sin ,Hz& g V cos sin ,& R xa g sin ,VmRgya cos a R za sin a cos ,& mVV& R ya sin a R za cos a ,mV cos & y sin z cos ,1( y cos z sin ) ,cos sin (y cos z sin ) ,& x cos & x J y J z y z M Fx / J x ,& & y J z J x z x M Fy / J y ,& z J x J y x y M Fz / J z ,где нужные для нахождения сил и их проекций углы атаки и скольжения искоростной угол крена определяются из соотношений& z ( x cos y sin ) tg FyamV cos ,F& x sin y cos za ,mV& a x cos y sin / cos 1Fya ( tg sin a tg) Fza cos a tg ,mVилиsin cos sin( ) cos sin cos cos( ) cos cos sin ,cos cos cos( ) sin sin arcsin(cos cos sin( ) sin sin cos cos( ) sin cos sin ) ,sin cos sin cos cos sin sin sin cos cos , a arcsincos sin sin cos cos cos или a arccos,cos где Fya R ya mg cos cos a , Fza R za mg cos sin a . arctgСПОСОБЫ УПРОЩЕНИЯ1.