Описание напряженного состояния (Лекции)

ОПИСАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯНапряженное состояние в каждой точке сплошной средыхарактеризуется всей совокупностью напряжений, действующих в даннойFточке, т.е. множеством векторов напряжений  n  lim Sn для всех плоскихSn 0 S nсечений, проведенных через точку. В выражении для напряжения  n индексn указывает направление сечения, определяемое нормалью n , FSn равнодействующая сил, действующих на произвольную односвязнуюплощадку S n (секущую площадку) в этом сечении, включающуюрассматриваемую точку (рис. 1), а S n  0 означает, что пределрассматривается при «стягивании» этой площадки в рассматриваемую точку.Напряжения называют также поверхностной плотностью сил.

В общемслучае направления напряжений не совпадают с нормалями.nnSnРисунок 1Другим способом определения напряженного состояния в точке являетсявыделение около нее произвольного односвязного выпуклого объема среды ирассмотрения сил, действующих на каждый участок поверхностивыделенного объема, т.е. - поверхностных сил (рис.2). Пусть длярассматриваемой среды эти поверхностные силы в каждой точке целикомопределяются направлением касательной плоскости к этой поверхности, т.е.- не зависят, например, от кривизны поверхности. Тогда при «стягивании»объема в точку и выполнении указанного выше предельного перехода отповерхностных сил к напряжениям для каждого участка поверхности (такжестягиваемого в точку), множество получаемых векторов напряжений такжебудет характеризовать напряженное состояние.Следует обратить внимание, что напряженное состояние для точки,находящейся внутри среды, целиком определяется так называемыми1внутренними силами, хотя зависит от всей системы взаимодействийрассматриваемой среды, проявляющейся через эти внутренние силы.FSnSn0Рисунок 2Для внутренних сил в сплошной среде справедливо все то, что присущеим в любой механической системе, в частности - независимость от системыотсчета и противоположность для двух сторон любой секущей площадки.Очевидно, что это же справедливо и для напряжений.Если взаимодействие между частицами среды носит только контактныйхарактер (отсутствует так называемое «дальнодействие»), то напряженноесостояние в точке можно полностью определить по трем напряжениям,действующим в трех взаимно перпендикулярных направлениях.Чтобы убедится в этом, достаточно рассмотреть условия равновесияпроизвольного элементарного объема в виде прямоугольного тетраэдра(рис.3).Так как объем выбран произвольно, то без потери общности системукоординат можно выбрать так, чтобы вершина тетраэдра, в которой гранисходятся под прямыми углами, находилась в начале координат (точка О нарис.3), а три ребра, сходящиеся в этой вершине - вдоль осей этой системы.Нормали трех граней параллельны соответствующим осям системыкоординат, а углы между нормалью n четвертой грани и координатнымиосямиобозначеныnx ,ny , nz .Здесьn  nxnynzT  cos nxcos nycos nzT- орт нормали четвертойграни, h – расстояние от вершины в начале координат до грани Sn (высотатетраэдра).2zn nyn nxx nzyРисунок 3Рассмотрение условий равновесия не ограничивает общностирассмотрения, если в эти условия включить так называемые силы инерции,возникающие при движении выделенного объема с ускорением.На рассматриваемый объем действуют поверхностные силы на егогранях и массовые (объемные) силы по его объему.Поверхностные внутренние силы на гранях тетраэдра определяютсяcpcpcpвыражениями n ds  n Sn ,   x ds   x S x ,   y ds   y S y ,Sn  z ds   zcp S z ,SxSyгде x ,  y , z , n - напряжения в точках площадок сSzнормалями, направленными вдоль осей x, y и z (в положительномнаправлении этих осей), и площадки с нормалью n соответственно, Sn ,Sx  Sn cos  nx  Sn n x , S y  Sn cos  ny  Sn n y , Sz  Sn cos nz  Sn n z - площадиграней тетраэдра, а ncp ,  xcp ,  ycp ,  zcp - средние напряжения на граняхтетраэдра.

Знаки минус объясняются тем, что внешние нормали граней S x ,S y и S z направлены в отрицательном направлении соответствующихкоординатных осей.3Массовые силы (к которым относятся и инерционные) принятоописывать интенсивностью, или объемной плотностью сил, которая дляFкаждой точки определяется выражением f m  lim m , где v - элементарныйv0 vобъем вокруг точки, Fm - действующая на этот объем суммарная массоваясила,  - плотность среды в этой точке.

Поэтому суммарную массовую силу,действующую на рассматриваемый тетраэдр, можно представить в виде1 cp cpcp cpcpcp f m dv  f m  v   3 f m  Sn h , где f m и  - средние значенияv1интенсивности массовых сил и плотности в объеме тетраэдра, v   S n h 3объем тетраэдра.В этих обозначениях условия равновесия для сил примут видncp S n  xcp S x  ycp S y  zcp S z  f mcp v   0 , или1 cp  cpcpcpcp n  x n x  y n y  z n z  f m h S n  0 , откуда31ncp  xcp n x  ycp n y  zcp n z  f mcp h .3При «стягивании» объема в начало координат с сохранением ориентациивсех граней, т.е.

при h0, средние напряжения становятся равныминапряжениям в точке О по соответствующим направлениям no , xo ,  yo , zo ,1 cpfm h обращается в ноль (массовые силы оказываются3бесконечно малыми величинами более высокого порядка по сравнению споверхностными силами). Следовательно,no  xo n x  yo n y  zo n z  xo cos nx   yo cos ny  zo cos nz .а слагаемоеТак как точка О и направление площадки выбраны произвольно, тоданный вывод пригоден для напряжения в любом направлении любой точки,т.е.n  x n x   y n y  z n z   x cos  nx   y cos  ny  z cos nz .Полученное выражение можно записать в скалярном виде, выразивTпроекции напряжения  n   nx  ny  nz  через проекции напряжений  x ,y ,  z nx   xx n x   yx n y   zx n z ; ny   xy n x   yy n y   zy n z ; nz   xz n x   yz n y   zz n z ,или в векторно-матричном виде  n   xy z n  n ,4  xx  yx  zx где     xy  yy  zy  , а ij - проекция на ось j напряжения на площадке,xzyzzzнормальной оси i, для i, j  x , y, z .Таким образом, для определения напряжения n  nx ny nz T влюбом направлении n достаточно знать напряжения  x ,  y ,  z в трехвзаимно перпендикулярных направлениях, или матрицу  , котораяназывается тензором напряжений.Очевидно, что диагональные элементы тензора напряженийпредставляют собой нормальные, а внедиагональные - касательныенапряжения на соответствующих площадках.

Принято нормальныенапряжения обозначать литерой p, т.е.  ii  p ii для i  x, y , z , и называтьнапряжениями растяжения-сжатия, или давления, а касательные –литерой , т.е.  ij   ij при i  j для i, j  x , y, z , и называть их напряжениямисдвига, или трения. Аналогичные названия – силы давления и силы трения,используются и для соответствующих проекций внутренних сил. p xxВ этих обозначениях тензор напряжений     xy xz nx yxp yy yz zx  zy  .p zz Если внедиагональные элементы матрицы  равны нулю, то  xx n x ;  ny   yy n y ;  nz   zz n z . Так как при отсутствии касательныхнапряжений полное напряжение является нормальным, то  nx   n n x ; ny   n n y ;  nz   n n z . Следовательно  xx   yy   zz   n . Другимисловами, при отсутствии касательных напряжений вектора напряжения влюбом направлении являются нормальными и одинаковыми по величине, т.е.напряженное состояние описывается множеством одинаковых по величиневекторов нормальных напряжений.

Используя введенные обозначения длянормальных напряжений последнее соотношение можно записать также ввиде p n  p xx  p yy  p zz  p .Касательные напряжения будут отсутствовать, если частицы жидкостине перемещаются относительно друг друга, т.е. – в статическом состоянии.Поэтому полученный результат является формальной записью известногозакона Паскаля для гидростатики, а величина p называетсягидростатическим давлением.Касательные напряжения будут отсутствовать также и в идеальнойжидкости даже при относительном движении ее частиц из-за отсутствиятрения между ними.

Для таких жидкостей также удобно использоватьпонятие давления, которое совпадает с гидростатическим.5В общем случае движения реальной жидкости касательные напряженияне нулевые, а нормальные – различные в различных направлениях. Есливзаимодействие между частицами среды носит только контактный характер,то матрица  является симметричной, т.е.

 yx   xy ,  zx   xz ,  zy   yz .Эта симметрия следует из того, что равновесие любого элементарногообъема (с учетом инерционных сил) обеспечивается не толькорассмотренным выше равенством сил, но и равенством моментов.Для доказательства симметричности удобно рассмотреть элементарныйобъем в виде прямоугольного параллелепипеда с одной из вершин в началекоординат и ребрами dx, dy, dz, ориентированными параллельно осямсистемы координат (рис.

4). yx yz xy zy zx xzРисунок 4Из всех действующих на этот объем сил момент относительно оси хсоздают лишь проекции  yz и  zy напряжений  y и z на соответствующихплощадках. Так как площади этих площадок равны dxdz и dxdy, то проекциисил равны  yz dxdz и  zy dxdy . Плечи этих сил относительно оси х равны dy иdz, следовательно, создаваемые ими моменты равны yz dxdzdyи zy dxdydz , а условие равновесия  yz dxdzdy   zy dxdydz , откуда следует, что zy   yz , или  zy   yz .Рассмотрев моменты относительно осей y и z, аналогичным образомможно получить остальные равенства касательных напряжений  yx   xy , или yx   xyи zx   xz ,или zx   xz ,т.е.равенств,показывающихсимметричность матрицы  .В общем случае величину нормального напряжения pn (напряжениядавления) в произвольном направлении, очевидно, можно найти из6соотношенияp n   nx n x   ny n y   nz n z   nx cos  nx   ny cos ny   nz cos nz ,p n  n T n  n T n ,n  nxnynz аучитываявыражениядляпроекцийиливектораTp n   xx n 2x   yx n y n x   zx n z n x   xy n x n y   yy n 2y   zy n z n y   xz n x n z   yz n y n z   zz n 2z   xx n 2x   yy n 2y   zz n 2z  ( yx   xy )n y n x  ( zx   xz )n z n x  ( zy   yz )n z n y   xx cos 2  nx   yy cos 2  ny   zz cos 2  nz  ( yx   xy ) cos  nx cos  ny  ( zx   xz ) cos  nx cos  nz  ( zy   yz ) cos  ny cos  nz .Отсюда видно (всем тем, кто знает линейную алгебру илианалитическую геометрию), что при симметричности матрицы  , т.е.при yx   xy , zx   xz , zy   yz ,концывсехвекторовn1n x n y n z T , исходящих из рассматриваемой точки, образуютpnpnэллипсоид с центром в этой точке.

Известно также, что полуоси этого1эллипсоида имеют длину, где  i - собственные значения матрицы  .iВыражение для pn, являющееся квадратичной формой, может бытьпреобразовано в сумму квадратов0 1 0 1 0p n  n T  n  n T Q T  0  2 0 Qn  n~ T  0  20 0  0 0300  n~   1 n ~x2   2 n ~y2   3 n~z2 , 3 где  1 ,  1 ,  1 - собственные числа матрицы  . Это преобразованиеtсоответствует повороту системы координат от Oxyz к Ox~y~z с помощьюматрицы поворотаQ , называемой матрицей перехода или матрицейtнаправляющих косинусов. Вектор n  Qn  n ~x n ~y n~z T представляет собойtединичную нормаль в повернутой системе координат Ox~y~z . Длясуществования такого преобразования достаточно, чтобы все собственныезначения матрицы  были действительными, что выполняется, так как этаматрицы является симметричной.0 1 0Матрица  0  2 0  , очевидно, является тензором напряжений,00  3 tпостроенным для системы координат Ox~y~z .

Для направлений, совпадающих сосями ~x , ~y и ~z , соотношение для нормальных напряжений, очевидно,7приводит к равенствам p ~x  1 , p ~y   2 , p ~z   3 , что и следовало ожидать,так как диагональность тензора напряжений как раз и означает отсутствиекасательных напряжений, т.е. - совпадение полных напряжений по осям снормальными. Эти напряжения называют главными напряжениями, оси ~x ,~y и ~z - главными осями, а элементарные площадки, нормальные к ним –главными площадками напряженного состояния в рассматриваемой точке.Смысл этих названий становится очевидным, если через главные напряжениязаписать проекции напряжения в произвольном направлении n~x  1n ~x ; n~y   2 n ~y ; n~z   3n ~z , n~y n~x ~; n ~y ; n ~z  n z ,123и учесть, что сумма квадратов направляющих косинусов равна 1, т.е.2 n2~x  n~y  2n~z 2  2  1 .