В.Н. Нефедов - Алгебра множеств, бинарные отношения в примерах и задачах, страница 13

,a 2  0, a 21a 22 a 23 ... ,a3  0, a31a32 a33 ... ,.......... .......... .......77Введем в рассмотрение десятичное число b  0, b1b2 b3 ... . Пустьi N bi {1,..., 9} \ {aii } . Тогда b  [0;1], но b  {an | n  N } , т.е.пришли к противоречию с возможностью занумеровать числа из [0;1] .Задача 5.21. Доказать, что множество всех иррациональных чиселконтинуально.Решение. Это следует из утверждений задач 5.7, 5.9(б).Задача 5.22. Доказать, что объединение конечного или счетногочисла континуальных множеств Ai , i  I , континуально.Решение. Обозначим A   Ai . Рассмотрим случай, когда I  NiI(случай, когда I – конечное множество, рассматривается аналогично).Пусть  : R  (0;1) – биекция (см.

задачу 5.17),  i – биекции вида i : Ai  (0;1), i  N ( Ai R (0;1) ); см. задачу 5.17). Введем, крометого, a R отображение a : (0;1)  (a, a  1), действующее согласноформуле x  (0;1)  a ( x)  x  a . Очевидно, что  a – биекция. Пусть i 1 A1  A1 , Ai  Ai \   A j  , i  {2,3,...} .

Тогда A   Ai, Ai  Aj  iN j 1 при i  j . Введем отображение  : A  R следующим образом. Заметим, что x  A i(x)  N: x  Ai( x ) . Положим  ( x)   i ( x ) ( i ( x ) ( x)) .Очевидно, что  – инъективное отображение. Построение инъективного отображения из R в A очевидно (например, 11 : R  A1  A ).Далее, в силу теоремы Кантора-Бернштейна, получаем справедливостьдоказываемого утверждения.NЗадача 5.23. Доказать, что множество N всех счетных последовательностей натуральных чисел континуально.Решение.

Опишем инъективное отображение последовательностей a1 , a2 ,...  N N в (0;1) :  a1 , a 2 ,...  0, 0...010...01... . Обратно, люa1a2бое действительное число из (0;1) имеет десятичное представлениеa  0, a1 a 2 ... (однозначное с учетом предположения, сделанного при78решении задачи 5.18), и ему инъективно соответствует последовательность  1,...,1,2,1,...,1,2,...  N N .

Таким образом, в силу теоремы Канa1a2тора-Бернштейна, N ∼ (0;1) ∼ R (см. задачу 5.17).NЗадача 5.24. Доказать, что множество {0;1}N всех счетных последовательностей, составленных из 0 и 1, континуально.Решение. Опишем инъективное отображение последовательности a1 , a2 ,... {0;1}N в (0;1) :  a1 , a 2 ,...  0, 0...010...01... .

Обратно,a1a2любое действительное число из (0;1) имеет десятичное представлениеa  0, a1 a 2 ... (однозначное с учетом замечания, сделанного при решении задачи 5.18), и ему инъективно соответствует последовательность 0,...,0,1, 0,...,0,1,... {0;1}N . Таким образом, в силу теоремы Кантора- a1a2Бернштейна, {0;1}N ∼ (0;1) ∼ R (см.

задачу 5.17).Задача 5.25. Доказать, что множество 2 N всех подмножеств натурального ряда континуально.Решение. Опишем инъективное отображение множеств A  2 N в(0;1) . Пусть A  {n1 , n2 ,...}  2 N , и при этом для определенности элементы множества A пронумерованы таким образом, что n1  n2  ... .Тогда отображение A  {n1 , n2 ,...}  0, 0...010...01...  (0;1) инъективn1n2но. Обратно, любое действительное число a  (0;1) имеет десятичноепредставление a  0, a1 a 2 ... (однозначное с учетом замечания, сделанного при решении задачи 5.18), и ему инъективно соответствует множество A  {n1 , n2 ,...}  2 N , где n1  a1  1, ni 1  ni  ai 1  1, i  N .

Например, число 0,01203… отобразится в множество {1,3,6,7,11,...}  2 N .При этом n1  n2  ... , a1  n1  1, ai 1  ni 1  ni  1, i  N, т.е. членыдесятичного разложения числа a однозначно определяются множест-79вом A, что и доказывает инъективность отображения.

Таким образом, всилу теоремы Кантора-Бернштейна, 2 N ∼ (0;1) ∼ R (см. задачу 5.17).Задача 5.26. Доказать, что, если все множества A1 ,..., An континуальны, то множество A1      An континуально.Решение. Пусть  i : Ai  [0;1] – биекция ( Ai(0;1) [0;1] ; см.задачи 5.16, 5.17), i  1,2,..., n . Тогда отображение  : A1      An  [0;1]n , действующее согласно формуле  ( a1 ,..., an )  1 (a1 ),...,  n (an )  также, очевидно является биекцией. При этом[0;1]n ∼ [0;1] ∼ (0;1) ∼ R (см.

задачи 5.16–19).Задача 5.27. Доказать, что, если множества Ai , i  N, континуальны, то множество A   Ai континуально.iNРешение. Опишем инъективное отображение  : A  (0;1) . Пустьi N  i : Ai  (0;1) – биекция ( Ai(0;1) ; см. задачу 5.17). Тогдапоследовательность  a1 , a2 ,...

 A , с учетом однозначности десятичного представления чисел из (0;1) (см. решение задачи 5.18), инъективно отображается в последовательность действительных чисел: 1 (a1 )  0, a11a12a13... ,  2 (a2 )  0, a21a22a23... ,  3 (a3 )  0, a31a32a33... и т.д.,которая в свою очередь инъективно отображается в десятичное число (a )  0, a11a12a21a31a22a13...

. Последовательность десятичных чисел внем составлена в соответствии с рис. 5.2.Инъективное отображение  : (0;1)  A очевидно. Например,x  (0;1)  ( x)  11 ( x), a2 , a3 ,... , где a i – произвольный фиксированный элемент из Ai , i  2,3,... .

Таким образом, в силу теоремы Кантора-Бернштейна, A ∼ (0;1) ∼ R (см. задачу 5.17).Задача 5.28. Доказать, что, множество R N всех счетных последовательностей действительных чисел континуально.80Решение. Следует из предыдущей задачи. Полагаем Ai  R ,i  N.Задача 5.29. Доказать, что, множество всех непрерывных функций,заданных на действительной прямой, континуально.Решение. Используем теорему Кантора-Бернштейна. Любую непрерывную функцию f можно отобразить в последовательность еезначений на множестве рациональных чисел Q={ qi | i  N}, т.е. f  f (q1 ), f (q2 ),...

RN (см. задачу 5.9 (б)). Очевидно, что значениенепрерывной функции f на любом действительном числе a  a0 , a1a2 ... , где a 0 – целая часть числа a и a1 , a2 ,... – элементы десятичного разложения числа a , однозначно определяется значениямиэтой функции на последовательности рациональных чисел a(n)  a0 , a1a2 ...an , n  N, а следовательно, отображение f   f (q1 ),f (q2 ),...  инъективно. Далее воспользуемся тем, что RN(см. зада-чу 5.28), а также тем, что, любое действительное число является непрерывной функцией на действительной прямой.Задача 5.30. Доказать, что, множество всех монотонных функций,заданных на действительной прямой, континуально.Решение.

Используем теорему Кантора-Бернштейна. Любая монотонная функция инъективно задается последовательностью точек разрыва (которая является конечной или счетной; см. задачу 5.15), последовательностью значений в точках разрыва и последовательностью значений этой функции на множестве рациональных чисел Q={ qi | i  N}(см. задачу 5.9 (б)).

Таким образом, множество монотонных функций сбесконечным числом точек разрыва задается тремя бесконечными последовательностями действительных чисел, т.е. элементом множества[RN]3, эквивалентного R (см. задачи 5.26, 5.28). Случай с конечнымчислом точек разрыва рассматривается аналогично (можно, например,добавить счетное множество фиктивных точек разрыва). Обратно, любое действительное число является монотонной функцией на действительной прямой.81Задача 5.31. Пусть A – счетное множество на множестве действительных чисел R . Доказать, что всегда можно выбрать a  R так, чтобы {x  a | x  A}  A   .Решение. Докажем, что B  {x  y | x, y  A} – счетное множество.Действительно, пусть A  { a n | n N}, Ai  A  ai  {an  ai | n  N},i  N . Тогда Ai , i  N , – счетные множества, B   Ai , а следоваiNтельно (см.

задачу 5.5 (г)), является счетным множеством. Но тогдаR \ B   . Пусть a – произвольная точка из R \ B . Покажем, что{x  a | x  A}  A   . Предположим противное. Тогда a1 , a2  A :a1  a  a2 , откуда a  a1  a2  B, что противоречит условиюaR \ B.Задача 5.32. Доказать, что R [ 0;1] – множество действительныхфункций, заданных на [0;1] , не эквивалентно [0;1] (т.е. | [0;1] || R || R [0;1] | ; см. задачи 5.16, 5.17).Решение. Пусть существует биекция  : [0;1]  R [ 0;1] . Положимf ( x)  ( ( x))( x)  1, где x  [0;1] . Тогда f  R [ 0;1] и f   ( x0 ) длянекоторого x0  [0;1] (в силу сюръективности  ).