Васинева И.В., Козлов А.В. Определение траектории по показаниям инерц. датчиков (2015) (Васинева И.В., Козлов А.В. Определение траектории по показаниям инерциальных датчиков (2015)), страница 2

Тангаж θ — угол между продольной осью M z2 и горизонтальной плоскостью M x1 x2 , отсчитываемый от этой плоскости вверх. Крен γ — угол поворотаплоскости M z2 z3 вокруг оси M z2 в положительном направлении относительно плоскостиM x3 z2 . Угол крена также не определён, когда продольная ось самолёта совпадает с географической вертикалью. Таким образом введённые углы Эйлера определяют следующуюпоследовательность поворотов:ψθγ312→ →− →− M z,Mx −где для каждого поворота над стрелкой указан угол, а под стрелкой — ось, вокруг которойпроисходит поворот. Для определённости примем−π < ψ 6 +π,−π/2 6 θ 6 +π/2,−π < γ 6 +π.52 Навигационная модель Земли и системы координатМатрица ориентацииL. Введем матрицу, определяющую ориентацию трехгранникаM z относительно трехгранника M x так, чтобы для любого вектора ˉl, заданного в приборных и географических осях тройками координат lz и lx соответственно, было бы выполненоlz = L l x :L=cos ψ cos γ − sin ψ sin θ sin γ sin ψ cos γ + cos ψ sin θ sin γ − cos θ sin γ− sin ψ cos θcos ψ cos θsin θcos ψ sin γ + sin ψ sin θ cos γ sin ψ sin γ − cos ψ sin θ cos γcos θ cos γ.(2.2)Очевидно, при ψ = 0, θ = 0, γ = 0 имеем L = E и два трёхгранника (приборныйи географический) совпадают.

Из определения углов ориентации и выражения (2.2) дляматрицы L обратный переход от матрицы к углам производится исходя из следующихсоотношений:sin γL13,=−L33cos γsin θLL23p 23=,=p 2cos θL21 + L222L213 + L233sin ψL21.=−L22cos ψ(2.3)Значения углов можно получить взятием арктангенсов от правых частей с учётом знаковчислителя и знаменателя, а также возможного равенства нулю знаменателя.

Для этого вбольшинстве программных пакетов существуют функция atan2(s,c) с двумя аргументами — числителем и знаменателем дробей в формулах (2.3).63 Решение навигационной задачи3.1 Приборная основа инерциальной навигацииИнерциальная навигационная система состоит из:— трёх ньютонометров с взаимно перпендикулярными осями чувствительности; считаем их совпадающими с приборными осями M z1 , M z2 , M z3 ; каждый из ньютонометров измеряет соответствующую проекцию удельной силы реакции чувствительноймассы, действующей на неё со стороны других тел; например, для неподвижного относительно Земли самолёта удельная сила реакции противоположна ускорению силытяжести;— трёх датчиков угловой скорости (ДУС) с взаимно перпендикулярными осями чувствительности, также совпадающими с приборными осями; ДУС измеряют проекцииасболютной угловой скорости самолёта на свои оси чувствительности;— бортового вычислителя, решающего навигационную задачу.В составе ИНС, конечно, имеется и другая вспомогательная аппаратура, но для настоящейработы это несущественно.

Исторически первые инерциальные навигационные системыстроились на базе гиростабилизированной платформы в кардановом подвесе. Однако современные системы такой платформы не содержат и называются бескарданными (БИНС).Как упоминалось во введении, с помощью показаний инерциальных датчиков в бортовом вычислителе необходимо решить следующие задачи:— определение начальных условий для уравнений движения, а именно начальной ориентации объекта относительно Земли (задача начальной выставки);— определение ориентации объекта относительно Земли в процессе движения ( счисление ориентации);— определение координат и вектора скорости объекта в процессе движения (интегрирование динамических уравнений движения).Рассмотрим перечисленные задачи по очереди.73 Решение навигационной задачи3.2 Начальная выставкаПеред началом движения самолёт некоторое время неподвижен.

Это значит, в частности, что приборный трехгранник M z неподвижен относительно вращающейся Земли.Также известны начальные значения ϕ0 , λ0 , h0 — широты, долготы и высоты точки M .При этом ньютонометры измеряют силу реакции опоры, компенсирующую силу тяжести.Реакция опоры и гравитационное ускорение в сумме дают круговое движение объекта вместе с Землёй вокруг её оси вращения, что и означает неподвижность относительно Земли.Сила реакции опоры измеряется в проекциях на приборные оси M z.

Обозначим тройкуизмерений ньютонометров fz . Имеем fz = −gz , где gz — вектор силы тяжести в проекцияхна оси приборного трехгранника.Датчиками угловой скорости измеряется абсолютная угловая скорость ωz в проекцияхна оси трехгранника M z. Очевидно, что во время начальной выставки ωz = uz , где uz —вектор угловой скорости Земли, записанный в проекциях на оси приборного трёхгранника.Координаты тех же самых векторов известны в географическом трёхграннике. Еслитолько эти векторы не коллинеарны, то такой информации достаточно для восстановленияматрицы ориентации одной системы координат относительно другой. Выведем необходимые соотношения. Здесь также необходимо учитывать, что сигналы с ньютонометров иДУС, помимо полезного сигнала (измеряемой величины) содержат ещё и случайные погрешности.

Для хорошо откалиброванных датчиков среднее значение погрешности близкок нулю, и тем ближе, чем больше измерений используется при осреднении. Обычная длительность начальной выставки составляет 3–5 минут.Пусть ũz и f˜z — результат осреднения измерений ωz и fz за время начальной выставки.Тогда для матрицы ориентации L(0) в начальный момент времени имеем уравненияũz = L(0)ux ,f˜z = L(0)fx .(3.1)Поскольку fx = (0, 0, +g)T , то можно определить третий столбец матрицы L(0):Li3 (0) =f˜i,g(3.2)i = 1, 2, 3.После определения третьего столбца L(0) можно при необходимости найти начальные углы крена и тангажа самолёта, исходя из (2.2). Далее из выражения для ux = (0, u cos ϕ, u sin ϕ)Tопределяется второй столбец матрицы L(0):Li2 (0) =ũi − Li3 (0)u sin ϕ,u cos ϕi = 1, 2, 3.(3.3)Наконец, первый столбец определяется из условия ортогональности ко второму и третьему— как их векторное произведение.

При необходимости вычисляется угол истинного курса.Итак, начальная матрица ориентации получена.83.3 Счисление ориентации3.3 Счисление ориентацииМатрица Az ориентации приборного трёхгранника относительно инерциальной системы отсчёта подчиняется так называемому0 +ω3 −ω2Ȧz = ω̂z Az , ω̂z = 0 +ω1 −ω3+ω2 −ω10кинематическому уравнению Пуассона:,(3.4)где ω1 , ω2 , ω3 — компоненты вектора абсолютной угловой скорости приборного трёхгранника в подвижной системе координат. Аналогичное утверждение верно для любого трёхгранника (см.

Приложение). Это уравнение равносильно определению угловой скорости иформуле для поля скоростей точек твёрдого тела, так как умножение матрицы ω̂z на координатный орт есть векторное произведение угловой скорости на него с обратным знаком.Для матрицы ориентации Ax географического трёхгранника относительно инерциальной системы отсчёта, учитывая формулу сложения угловых скоростей, аналогично выполнено(3.5)Ȧx = (Ω̂x + ûx )Ax ,где Ωx — вектор угловой скорости географического трёхгранника относительно Земли.При движении самолёта вдоль поверхности Земли имеемΩ1 =−V2,RN + hΩ2 =V1,RE + hΩ3 =V1 tg ϕRE + h(3.6)где Vi — компоненты вектора скорости самолёта относительно Земли в географическихосях, а радиусы кривизны RN и RE соответствующих сечений модельного эллипсоидаЗемли равныaRE = p1 − e2 sin2 ϕ,a(1 − e2 )R N = p3 .1 − e2 sin2 ϕ(3.7)При этом, очевидно, что L = Az ATx .

Т.е. зная матрицы Az и Ax всегда можно вычислить матрицу ориентации приборного трёхгранника относительно Земли, а значит принеобходимости и углы ориентации самолёта — истинный курс, тангаж, крен.В качестве инерциальной системы отсчёта при решении навигационной задачи можнопринять начальное положение географического трёхгранника. В этом случае Ax (0) = E,Az (0) = L(0). Далее необходимо проинтегрировать дифференциальные уравнения (3.4)и (3.5) с этими начальными условиями. Однако здесь имеется особенность, делающаянежелательным применение стандартных численных методов интегрирования.Дело в том, что матрицы ориентации в процессе вычислений должны оставаться ортогональными.

Однако стандартные методы численного интегрирования — это приближённые методы, которые не гарантируют ортогональности матриц. Поэтому в инерциальной93 Решение навигационной задачинавигационной системе при счислении ориентации следует воспользоваться тем, что дифференциальные уравнения имеют специальный вид, а именно:Ȧ = ω̂A,(3.8)A(0) = A0 .Предположим, что матрица ориентации A(ti ) уже известна, требуется найти матрицуA(ti+1 ), и при этом координаты вектора угловой скорости ω в подвижной системе координат не изменяются на интервале времени [ti , ti+1 ]. Обычно в инерциальных навигационныхсистемах показания датчиков считываются с частотой 100–500 Гц, т.е.