Васинева И.В., Козлов А.В. Определение траектории по показаниям инерц. датчиков (2015) (Васинева И.В., Козлов А.В. Определение траектории по показаниям инерциальных датчиков (2015))

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М.В. ЛомоносоваМеханико-математический факультетКафедра прикладной механики и управленияЛаборатория управления и навигацииИ.В. Васинёва, А.В. Козлов,под ред. А.А. ГолованаКомпьютерный практикум по прикладной механикеОпределение траекториипо показаниям инерциальных датчиковMocква – 20151 Инерциальная навигация«Когда человек не знает, к какой пристани он держитпуть, для него ни один ветер не будет попутным»СенекаТермин «навигация» (от латинского nˉavigˉo — плыву на корабле) может быть переведенкак искусство кораблевождения 1 .

Важность дальних плаваний для человечества когда-товыразил римский полководец Помпей, отправляясь в морской поход в сильную бурю, словами «Nˉavigˉare necesse est, vˉıvˉere nˉon est necesse!», что в переводе значит «Плыть необходимо, а жить — нет!» Навигационные приборы, то есть устройства, которые используютсядля определения координат и направления движения, создавались и совершенствовалисьвместе с развитием нашей цивилизации.Каждому из нас приходилось в своей жизни неоднократно решать старые как мир вопросы: «Где я нахожусь?» и «Куда я направляюсь?» Наверное, каждому знакомо неприятное чувство страха и неуверенности, когда, очутившись в неизвестном месте, вдруг начинаешь понимать, что сбился с пути, заблудился и не знаешь, в какую сторону нужнодвигаться.

Из-за многочисленных аномалий магнитного поля Земли и магнитных бурьмагнитный компас является весьма капризным устройством, а звезды и Солнце в любоймомент могут спрятаться в густом тумане или за черными тучами штормового неба.Долгое время отсутствие точной информации о местоположении было серьёзным препятствием на пути развития авиации. Многие поколения моряков и летчиков мечтали онавигационной системе, которая бы не зависела от видимости звезд и земных ориентиров,от капризов погоды и искусства штурмана, и действительно могла бы быть путеводнойзвездой, «светящей в тумане».Становилось все более очевидным, что решение навигационных задач не менее важнодля современных подвижных объектов, чем вопросы создания новых конструкций, двигателей и тому подобных.

Создание автономной навигационной аппаратуры стало одним изважнейших направлений в развитии авиационной и космической техники, при созданииподводного флота.В настоящее время, когда стали широко доступны средства спутниковой навигации,инерциальные навигационные системы (ИНС) всё равно остаются актуальными там, где1Здесь и далее текст введения частично приведён по статье д.ф.-м.н., профессора Ю.Г. Мартыненко«Инерциальная навигация», Соросовский образовательный журнал, №8, 1998 г.11 Инерциальная навигациятребуется определять не только координаты объекта, но и его ориентацию в пространстве;там, где невозможен приём спутниковых навигационных сигналов, а также в случаях,когда навигационное решение не должно зависеть от работоспособности навигационныхспутников:— авиация,— подводный флот,— космос,— нефте- и газопроводы, подземные туннели,— робототехника,и в некоторых других областях.Автономное счисление траектории возможно благодаря наличию в составе ИНС двухтипов инерциальных датчиков:1) ньютонометров (акселерометров), измеряющих проекции удельной (на единицу массы)силы реакции, действующей на объект со стороны других тел, на оси чувствительностидатчиков;2) датчиков угловой скорости (ДУС), часто называемых гироскопами, измеряющих проекции вектора абсолютной угловой скорости объекта на оси чувствительности датчиков.Имея уравнения движения и указанные измерения можно было бы далее численноинтегрировать их, вычисляя ориентацию, вектор скорости и положение объекта в каждыймомент времени.

Однако, дело обстоит не так просто.Существенной особенностью измерений ньютонометров является тот факт, что ими измеряются только силы реакции со стороны других тел. Между тем на движение объектавлияют, например, и гравитационные силы, которые ньютонометрами не измеряются.

Поэтому в инерциальной навигации приходится дополнительно вводить в уравнения модельгравитационного поля Земли.Второй особенностью инерциальной навигации является отсутствие полного набораначальных условий для уравнений движения. Если координаты точки начала движения,как правило, известны, то ориентацию требуется определять автономно по показаниям всётех же инерциальных датчиков.Здесь и далее под решением навигационной задачи будем понимать определение координат, вектора скорости и ориентации объекта, движущегося вблизи поверхности Земли,по показаниям ньютонометров и датчиков угловой скорости при известных координатахточки начала движения. Данный компьютерный практикум состоит в имитации полёта воздушного судна, получении модельных показаний инерциальных датчиков во времяэтого полёта, и решении навигационной задачи по ним.22 Навигационная модель Земли исистемы координатДля околоземной навигации в качестве навигационной модели формы Земли используется эллипсоид вращения, малая ось которого совпадает с осью вращения Земли.

Параметры наиболее широко используемого в мире модельного эллипсоида WGS-84 таковы:a = 6 378 137 м — большая полуось,e2 = (a2 − b2 )/a2 = 6.6943799901413 ∙ 10−3 — квадрат эксцентриситета,b ≈ 6 356 752 м — малая полуось.Следует отметить, что эксцентриситет эллипсоида Земли невелик (её форма действительно близка к шару), однако разница в длине полуосей составляет примерно 22 км — величину, которую нельзя не учитывать при решении современных навигационных задач.С модельным эллипсоидом Земли и с объектом, для которого решается навигационнаязадача, связаны системы координат: инерциальная Oξ, географическая Ox, приборнаяM z, а также географические координаты.Инерциальная система координатOξ1 ξ2 ξ3 .

Начало O — геометрический центр эллип-соида Земли. Ось Oξ3 направлена по оси вращения Земли к северному полюсу. Ось Oξ1лежит в плоскости Земного экватора и сонаправлена с вектором, соединяющим точкиосеннего и весеннего равноденствия. Ось Oξ2 дополняет систему координат до правой ортогональной.32 Навигационная модель Земли и системы координатГеографический трёхгранникM x1 x2 x3 (Ox1 x2 x3 ).

Пусть объект, для которого реша-ется навигационная задача, расположен в точке M . Кратчайшая нормаль к поверхностиэллипсоида, проходящая через точку M , называется географической вертикалью.Введём трёхгранник M x1 x2 x3 таким образом, чтобы ось M x3 совпадала с географической вертикалью (в направлении от центра Земли).

Ось M x2 направим касательно кповерхности эллипсоида на Север, M x1 — на Восток. На полюсах Земли эта система координат не определена.Одновременно с трёхгранником M x рассмотрим систему координат Ox с началом вточке О, оси которой параллельны соответствующим осям трёхгранника M x. Систему Oxназовем системой, связанной с географической вертикалью. Она изменяет свою ориентацию (вращается) относительно Земли при движении точки M .Декартовы координатыξ1 , ξ2 , ξ3 и x1 , x2 , x3 .

Положение точки M относительно трёх-гранников Oξ и Ox будем задавать тройками координат — столбцами ξ = (ξ1 , ξ2 , ξ3 )T ,x = (x1 , x2 , x3 )T .Географические координатыϕ, λ, h. Исторически для точек вблизи поверхности Зем-ли приняты географические координаты: северная широта ϕ — угол между географической вертикалью и плоскостью экватора; восточная долгота λ — угол между проекциейгеографической вертикали на плоскость экватора и плоскостью нулевого меридиана (сечения эллипса, проходящего через ось вращения и Гринвичскую обсерваторию в Великобритании); географическая высота h — координата вдоль географической вертикали,измеряемая от поверхности эллипсоида.Модель силы тяжестиgˉ.

В географических осях проще всего записать модель силытяжести Земли. По построению модельного эллипсоида Земли модельная сила тяжестинаправлена перпендикулярно его поверхности, т.е. вдоль географической вертикали. Этозначит, что в географическом трёхграннике так называемое нормальное (без учёта аномалий) поле удельной силы тяжести (т.е. ускорения силы тяжести) есть gx = (0, 0, −g)T .Модуль g ускорения силы тяжести определяется, например, по формуле Гельмертаh 3g = ge (1 − 2 + e2 sin2 ϕ), ge = 9.78030м/c2 .(2.1)a 4Приборный трехгранникM z.

Пусть удельная сила реакции, измеряемая ньютономет-рами, и вектор абсолютной угловой скорости, измеряемый датчиками угловой скорости,измеряются в проекциях на оси правого ортогонального трёхгранника M z1 z2 z3 , жесткосвязанного с самолётом и называемого приборным. Без ограничения общности для определённости будем рассматривать решение навигационной задачи для самолёта со следующим расположением приборных осей. Ось M z2 направлена от хвоста к носу и является4пересечением плоскости симметрии самолёта и плоскости крыльев.

Ось M z3 перпендикулярна плоскости крыльев и направлена вверх для самолёта, стоящего на Земле. Ось M z1перпендикулярна первым двум и направлена в сторону правого крыла. Для самолёта, стоящего на поверхности Земли строго горизонтально и направленного на Север («нулевойкурс»), такая приборная система координат совпадает с географической.Углы ориентацииψ, θ, γ.

Ориентацию трёхгранника M z относительно трехгранникаM x зададим тремя углами Эйлера — истинного курса ψ, тангажа θ и крена γ. Угломистинного курса ψ назовем угол между осью M x2 (направлением на Север) и проекцией продольной оси M z2 летательного аппарата на горизонтальную плоскость M x1 x2 , отсчитываемый к Западу. Истинный курс не определён, когда продольная ось совпадает сгеографической вертикалью.