Васинева И.В., Козлов А.В. Определение траектории по показаниям инерц. датчиков (2015) (1245765), страница 3
Текст из файла (страница 3)
достаточно часто(ti+1 − ti = Δt 6 0.01 сек), и предположение о постоянстве вектора угловой скорости настоль коротком интервале времени близко к истине. В этом случае уравнение (3.8) яв-ляется линейным диференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, и егорешение может быть записано как матричная экспонента:A(ti+1 ) = eω̂Δt A(ti ) =∞X1 k kE+ω̂ Δtk!k=1!A(ti ).(3.9)Данная формула бесполезна для практического вычисления, так как содержит бесконечную сумму матриц. Однако можно заметить, что для степеней матрицы ω̂ выполненоследующее:∀k > 3 ω̂ k = −||ω||2 ω̂ k−2 .(3.10)Сгруппировав слагаемые с чётными и нечётными степенями ω̂, получим∞ω̂ X (−1)m (||ω||Δt)2m+1A(ti+1 ) = E +−||ω|| m=0(2m + 1)!!∞ω̂ 2 X (−1)m (||ω||Δt)2mA(ti ).−||ω||2 m=1(2m)!(3.11)Бесконечные суммы в скобках есть ряды Тейлора-Маклорена для функций sin(||ω||Δt) иcos(||ω||Δt) − 1. Заменив ряды на тригонометрические функции, окончательно получимA(ti+1 ) =sin(||ω||Δt)1 − cos(||ω||Δt) 2E+ω̂ A(ti ).ω̂ +||ω||||ω||2(3.12)Теперь ясно, что необходимо при помощи полученной формулы 1 численно интегрировать уравнения (3.4), (3.5) с указанными выше начальными условиями, а затем вычислятьискомую матрицу L.
Такой способ гарантирует её ортогональность, и кроме того будетаналитически точным при постоянной угловой скорости 2 .12При ω ≈ 0 следует умножать матрицу ориентации на матрицу поворота на углы ωj Δt.На самом деле аналитически точным это решение будет и в более общем случае — всегда, когда векторабсолютной угловой скорости не меняет своего направления в приборных осях.103.4 Динамические уравнения движения3.4 Динамические уравнения движенияВ инерциальном пространстве уравнения движения точки M имеют вид:ξ˙ = vξ ,ξ(0) = ξ0 ,v̇ξ = gξ0 + fξ ,(3.13)vξ (0) = v0 ,где в правой части второго уравнения специально выделены два слагаемых — вектор gξ0гравитационного ускорения (не следует путать его с ускорением силы тяжести 3 ), не измеряемого ньютонометрами, и вектор fξ удельной силы реакции, действующей на объект состороны других тел и измеряемой ньютонометрами.Так как при решении навигационной задачи требуется описать движение самолёта относительно Земли, то, переходя в подвижные географические оси для координат x ивектора скорости Vx самолёта относительно Земли 4 , записанного в проекциях на оси географического трёхгранника, а также учитывая, что удельная сила реакции измеряетсяньютонометрами в приборных осях и в начале движения самолёт неподвижен для начальной выставки, получим следующую систему уравнений:ẋ = Vx + Ω̂x x,V̇x = (Ω̂x + 2ûx )Vx + gx + LT fz ,x(0) = x0 ,V (0) = 0.(3.14)Теперь, чтобы не приходилось вычислять достаточно абстрактные координаты точкиM в системе координат Ox, будет удобнее заменить первое уравнение в системе (3.14) науравнения для географических координат:V2,RN + hϕ(0) = ϕ0 ,ϕ̇ =V1, ḣ = V3 ,(RE + h) cos ϕλ(0) = λ0 ,h(0) = h0 .λ̇ =(3.15)Уравнения (3.15), совместно со вторым уравнением системы (3.14) теперь можно численно интегрировать.
Поскольку правая часть уравнения может быть вычислена только вдискретные моменты времени t0 , t1 , . . . , в которые поступает информация от инерциальных датчиков, а вычисления необходимо производить в реальном времени, не дожидаясьпоступления следующих показаний датчиков, то здесь допустимо применить самый простой одношаговый метод Эйлера (см. Приложение).34Ускорение силы тяжести отличается от гравитационного ускорения центростремительным слагаемым,которое в инерциальном трёхграннике можно записать в виде û2ξ ξ.Не следует путать скорость относительно Земли со скоростью относительно географической системыкоординат, которая сама является подвижной относительно Земли.113 Решение навигационной задачиПриложение АВывод кинематического уравнения ПуассонаВектор абсолютной угловой скоростинекоторого трёхгранника Os относительно инерциального трёхгранника Oξ, записанныйв подвижных осях, обозначим через ωsωˉ = ωs1 s1 + ωs2 s2 + ωs3 s3 .ˉ Введем вектор угУгловую скорость трёхгранника Os относительно Земли обозначим Ω.ˉ + uˉ.
Обозначим через vˉ векторловой скорости Земли uˉ. Очевидно соотношение ωˉ = Ωабсолютной линейной скорости. Имеемvˉ = vξ1 ξ1 + vξ2 ξ2 + vξ3 ξ3 = vs1 s1 + vs2 s2 + vs3 s3 .Очевидны соотношения vs = As vξ , s = As ξ, ξ = ATs s, где As — матрица перехода отсистемы координат Oξ к системе координат Os. По формуле сложения скоростейvs = ṡ + ω̂s T s.TПо правилам дифференцирования произведения vξ = ξ˙ = ATs ṡ+ Ȧs s. Умножим последнееравенство слева на матрицу As , получимTvs = ṡ + As Ȧs s.Следовательноω̂s = Ȧs ATs⇒Ȧs = ω̂s AsПриложение БМетод Эйлера численного интегрированияПусть задана система обыкновенных диф-ференциальных уравнений в форме Коши:ẋ = f (t, x),x(0) = x0 ,x ∈ Rn ,и требуется построить её приближённое численное решение на заданной равномерной сеткевремениt0 = 0,t1 = Δt,...,ti = iΔt,...,tN = N Δt.Аппроксимируя значение производной ẋ конечной разностьюẋ(ti ) ≈x(ti+1 ) − x(ti ),Δti = 0, 1, .
. . , N − 1,получаем формулу для вычисления искомого приближённого решения на следующем шагепо значению на предыдущем:x(ti+1 ) ≈ x(ti ) + f (ti , x(ti )) Δt,12i = 0, 1, . . . , N − 1.4 Выполнение практикумаВыполнение практикума состоит из нескольких этапов: имитация полёта самолёта сзаписью показаний инерциальных датчиков, построение траектории самолёта по записямпоказаний инерциальных датчиков, сравнение их с исходной траекторией и зачёт.4.1 Имитация полёта самолётаПосле запуска имитатора на экране появляются панель управления самолётом и окнотрёхмерной анимации FlightGear.134 Выполнение практикумаУправление обзором1. Переключение камер в окне FlightGear — клавиша «V».2.
Изменение направления обзора:- нажимать клавишу «TAB» до появления надписи «Now mouse is controlling viewdirection»- мышью отрегулировать направление,- нажать снова «TAB»ВзлётПоследовательность действий при взлёте следующая:1) начальная выставка — 3 минуты неподвижности (или больше);2) увеличить тягу до 95%;3) установить руль высоты на +5 градусов;4) выключить тормоз на шасси;5) сразу после отрыва от земли установить руль высоты на 0;6) контролировать тангаж рулём высоты —- в пределах от 2 до 8 градусов;7) уменьшить тягу до 40–60%, контролируя вертикальную скорость.Рекомендации по управлению в полёте1.
Элероны управляют моментом вокруг продольной оси самолёта:- вращение останавливается за счёт аэродинамического трения не сразу, поэтомувращение продолжается некоторое время после установки элеронов в нулевоеположение;- рекомендуемые углы установки элеронов для управления углом крена — 5–15градусов.2. Руль высоты управляет моментом вокруг оси крыльев:- так как сила создаётся на хвостовом оперении, её плечо велико, и руль высотырекомендуется отклонять только кратковременно (на 1–3 секунды);- увеличение тангажа происходит за счёт отрицательной подъёмной силы на хвостовом оперении, из-за чего общая подъёмная сила снижается и требуется контроль вертикальной скорости;144.2 Показания инерциальных датчиков- углы тангажа больше 15 градусов крайне опасны для стабильности полёта.3. Руль направления создаёт момент главным образом вокруг оси, перпендикулярной плоскости крыльев, а также вокруг других осей:- так как сила создаётся на хвостовом оперении, её плечо велико, и руль направления рекомендуется отклонять только кратковременно (на 1–2 секунды);- из-за наличия моментов по всем трём осям, при использовании руля направления требуется контролировать все три угла ориентации, и, как следствие, вертикальную скорость;- как правило, для сохранения контролируемого полёта при отклонении руля направления на 5 градусов требуется отклонять элероны с противоположным знаком на 5–15 градусов (зависит от ветра).4.
Тяга всегда направлена вдоль продольной оси вперёд:- тяги недостаточно, чтобы компенсировать вес самолёта; вес самолёта компенсируется главным образом подъёмной силой, а значит если направить самолётносом вверх, он упадёт вниз;- достаточная подъёмная сила имеется только при скоростях около 70–90 м/с(значение зависит от ветра);- подъёмная сила направлена перпендикулярно плоскости крыльев;- возможен режим планирования, когда тяга отключена, а подъёмная сила создаётся за счёт ветра и разгона самолёта силой тяжести.4.2 Показания инерциальных датчиковПосле завершения полёта в папке с программой компьютерного практикума появляетсяфайл, содержащий записи инерциальных датчиков БИНС во время начальной выставкии полёта.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
