Уравнения для пограничного слоя

Уравнения для пограничного слояВ качестве толщины пограничного слоя ( x ) в нормальном к поверхностисечении на расстоянии x от передней точки поверхности принимается расстояние y отповерхности, на котором скорость можно считать равной скорости свободного потока втом же сечении V ( x ) . С учетом вытеснения свободного потока от тела, эта скоростьотличается от той, которая определена в том же сечении для обтекания поверхностиидеальной жидкостью. Но, если толщину пограничного слоя можно принять малой посравнению со всей толщиной возмущенного течения, то в качестве V ( x ) можнорассматривать именно соответствующую скорость идеальной среды. В частности, дляy0xбесконечно тонкой пластины эту скорость можно принимать совпадающей со скоростьюневозмущенного потока V .При плоском течении для вычисления толщины пограничного слоя ( x ) всечении x надо задаться точностью, с которой скорость можно считать равной скоростисвободного потока u ( y) y    V , например u ( y) y    0,99 V , а также знать распределение(эпюру) скоростей в этом слое u( x, y )  u x ( x, y) для рассматриваемого сечения.

Изравенства массовых расходов (для простоты –для несжимаемой жидкости, когдапостоянство массовых расходов эквивалентны постоянству расходов) для сечений,ограниченных одной и той же линией тока, в невозмущенной части потока и наy0расстоянии х от начала пластины Vdy   u0y 0  *y 0  *x( y )dy , или Vy 0 ux( y )dy , где  -00разница между положением линии тока в невозмущенном и возмущенном движении(    ( x ) ), которую называют толщиной вытеснения. Толщина вытесненияпоказывает, насколько расширился слой жидкости из-за торможения.Если эпюра u x ( y ) - известная функция, то толщину пограничного слоя можнонайтиизсоотношенийVy 0   u x ( y)dy0иu( y ) y   V .Таккак   dy ,то0 u     y 0   1  x dy .

Для тел конечной толщины, сравнивая массовые расходы вV0невозмущенной части потока и при обтекании реальной и идеальной жидкостью, u u x dy , где  и    y 0   1  x dy , для сжимаемой жидкости     y 0   1 V   V 00 - плотности среды при соответствующих скоростях.Найти распределение скоростей в пограничном слое можно из уравнения НавьеСтокса, которое для случая плоского движения является системой из двух уравнений1(плюс - уравнение неразрывности). Для ламинарного установившегося потоканесжимаемой среды, пренебрегая внешними массовыми силами, Прандтль упростил этусистему внутри пограничного слоя толщиной  ( x) до следующего вида (для простотыуравнения приведены для несжимаемой среды, хотя легко обобщаются и для сжимаемыхгазов), называемого уравнениями Прандтляuu1 p 2uux x  uy x    2x (в направлении течения);xyy xp 0 (в направлении, перпендикулярном течению);yu x u y 0 (уравнение неразрывности).xy( x )В основе упрощения лежит предположение о малости отношениядля всех хxв пограничном слое, а само упрощение состоит в сравнении порядка малости слагаемых,входящих в уравнение Навье-Стокса при этом предположении, и отбрасывании слагаемых 2u xпо сравнению сс более высоким порядком малости.

По сути, малыми оказалисьx 2 2u x, а также - все изменения скорости u y и связанные с этими изменениями касательныеy 2напряжения в поперечном направлении.pУравнение 0 , по существу означает, что изменением давления вyпограничном слое можно пренебречь, т.е.

в каждом сечении пограничного слояp( y)  p   const , где p  - давление на границе свободного течения и пограничногослоя. Другими словами, давление на поверхности твердого тела совпадает с давлением нанижней границе свободного возмущенного течения. Таким образом, все возмущенноедвижение делится на два слоя, в одном из которых, пограничном, достаточно учитыватьлишь сопротивление трения, а в другом, свободном – только силы давления. Этотрезультат позволяет применять теорию подъемной силы Жуковского не только дляидеальных, но и для вязких жидкостей.

Строго говоря, эту теорию надо применять длятела той формы, которую оно имеет вместе с пограничным слоем, но, учитываяпредположение о малости этой толщины, соответствующим изменением формы частоможно пренебречь.Для выявления условий, при которых выполняется гипотеза малости отношения( x ), можно использовать прием, аналогичный применяемому в методе подобия, т.е.xвыбрать подходящий набор характерных величин и выразить через них все входящие вуравнение Прандтля и уравнение неразрывности слагаемые.

«Подходящий» в данномслучае означает, что этот набор должен включать интересующие переменные  и х. Вкачестве характерной скорости в направлении движения удобно взять скоростьневозмущенного потока V, а в перпендикулярном - среднюю скорость расширенияпограничного слоя Vy . Входящие в уравнение слагаемые, зависящие от вязкости,V2Vпропорциональны 2 , а приравниваемые им конвективных ускорения - отношениюxVVy(вторая составляющая конвективного ускорения пропорциональна, но из уравнения2V( x )).

При 0 эти отношения должны бытьxxV2constconstVxVпропорциональны, т.е. 2  const, откуда, где Re x - числоxxVx Re xРейнольдса. Отсюда видно, что гипотеза будет тем более обоснованной (и системаупрощенных уравнений для пограничного слоя будет тем точнее), чем больше числоРейнольдса. Так как вывод сделан для ламинарного течения, то – чем ближе ккритической точке (точке перехода).Используя уравнение Рейнольдса и понятие «турбулентной вязкости»,рассмотренный результат был формально обобщен и на случай турбулентногопограничного слоя для осредненных скоростей.Следуя той же логике, можно показать, что уравнение Прандля и следующие изнего выводы справедливы и для сжимаемых жидкостей, и не только для прямолинейныхповерхностей, но и для всех тех, вдоль которых течение можно считатьpплавноменяющимся, а изменения давления- плавными и ограниченными.xРешение уравнения Прандтля, т.е. эпюру скоростей в пограничном слое можнонайти, задавшись видом распределения скоростей по у, и определяя коэффициентысоответствующего распределения.

Для ламинарного течения – задаются распределением ввиде степенной функции (линейной, если расширение потока ограничено, квадратичной ит.д. – в общем случае). Для турбулентного потока Прандтль получил решение вдольтвердой стенки, задавшись логарифмическим законом распредения осредненныхскоростей u cpx  a ln y  b , принимая    T .неразрывностиVyпропорциональноПолученные результаты позволяют оценить величину потерь в пограничном слое,определяемую соответствующими касательными напряжениями. Действительно,uu1 p 2uуравнение Прандтля для плоского обтекания u x x  u y x    2x с учетомxyy xp  dp p 0 (т.е. p( y )  p  ,) и    можно записать в эквивалентном видеyxdx udpdp  2u xu u xu x   u    uy, или  u x x  u y x        x  , или2xy dxyxy dx y  y dpu xu  u y x     , (здесь    yx ).xy dx yИнтегрируя по у от 0 до  после преобразований с учетом уравнениянеразрывности и граничных условий - нулевых касательных напряжений на верхнейгранице пограничного слоя и  0  ( y  0) , т.е.

– на поверхности (правильно их назвать «приведенными к поверхности»),u y ( 0)  0u x (0)  0 ,u x ( )  Vполучим u x u xdV dp  du(Vu)dyudydy   0 .xxxdx 0dx 0dx 0Из уравнения Бернулли на границе пограничного слоя (в свободном течении)2Vdp    U  const при пренебрежении внешними массовыми силами после2dpdV1 dp дифференцирования V dV    , или. Подставив, получимdx  V dx3dp  du xu(Vu)dy(1 )dy   0 , илиxxdx 0dx 0  Vdpdu x ( V  u x )dy      0 .dx 0dxЛевуючастьэтогоуравнения u0x( V  u x )dy   ( V  u x )u x dyможно0трактовать как потерю импульса (расхода импульса) в поперечном сечении пограничногослоя (единичной «глубины») из-за торможения от V до u x . Эффект от торможенияможно представить как потерю части потока идеальной жидкости (вместо пограничногослоя).

Оценить толщину этой «потерянной» части можно, приравняв расход в идеальнойжидкоститолщинойполученномурасходувпограничномслоеu x  u x dy называется толщиной1   V2    ( V  u x )u x dy . Величина     V  V 00потери импульса (потраченного в пограничном слое).dp  Эта потеря уравновешивается напряжением трения 0 и - перепадомdxдавления на длине dx в потоке идеальной жидкости (с параметрами p  и V ) в слоеu x)dy - толщине вытеснения.  V0С использованием введеных понятий толщины потери импульса и толщиныdV dp  dвытеснения уравнениеu(Vu)dyudydy   0 приобретает видxxxdx 0dx 0dx 0толщиной     (1 d   V2  dp     0 (уравнение Кармана). Интегрируя по х от нуля до бесконечности,dxdxполучим сопротивление трения (для единичной «глубины» плоского сечения).

Разделивна скоростной напор – коэффициент силы трения.Обобщенное уравнение пограничного слоя. udpu Уравнение  u x x  u y x     легко обобщается на случайxy dx yобтекания тел вращения потоком, направленным вдоль оси вращения. В этом случаекартина обтекания одинакова для всех плоскостей, проходящих через ось вращения. Дляобобщения надо взять уравнение Навье-Стокса в цилиндрических координатах. Однако,при получении интегральных соотношений нельзя пользоваться толщиной dy, считая ееплощадью площадки с единичной глубиной.

Надо брать кольцо радиусом r от осивращенияитолщинойdr .ПоэтомудлятакихтелdV dp  d  ru x (V  u x )dr  dx  ru x dr  dx  rdr  r0 0 , где r0  r0 (x ) - радиус тела.dx 0004.