Феодосьев В.И (Сопротивление материалов - В.И. Феодосьев - С возможностью поиска), страница 8

Такие системы называют­ся статически неопределимыми.Рис. 1.12На рис. 1.12, а показан обычный кронштейн, состоящий издвух стержней. Усилия в стержнях легко определить из усло­вий равновесия узла А. Если конструкцию кронштейна услож­нить, добавив еще один стержень (рис. 1.12, б), то усилия в51стержнях прежним способом уже найдены быть не могут: дляузла А может быть по-прежнему составлено только два уравне­ния равновесия, а число неизвестных сил равно трем.

В такихслучаях говорят, что система один раз статически неопреде­лима. Усложняя конструкцию дальше и вводя новые стержни,можно получить два (рис. 1.12, в), три и т.д. раза статическинеопределимые системы. На рис. 1.13 показано еще три систе­мы. Первая из них статически определимая, вторая и третья соответственно один и два раза статически неопределимые.Рис. 1.13Для всех вариантов конструкций, показанных на рис.

1.13,можно получить только два независимых уравнения равнове­сия. Для варианта а этих уравнений достаточно, чтобы одно­значно определить силы в двух стержнях; для вариантов бивчисло сил в стержнях больше числа уравнений, поэтому опре­делить три (случай б) или четыре (случай в) силы из двухуравнений невозможно. В теоретической механике подобныезадачи определенного решения не имеют, в то время как этонаиболее распространненый случай в технике.Если стержни, например в варианте в, прикрепить к ди­намометрам, то при нагружении силой Р они покажут, какиесилы в них возникли.

Причем сколько бы раз стержни не на­гружали силой Р, возникающие в них силы будут одни и теже. Определить их в так называемых статически неопредели­мых задачах можно только с учетом реальных свойств элемен­тов конструкций. В этом принципиальное отличие теоретиче­ской механики от сопротивления материалов. Учет реальныхсвойств материалов позволяет рассчитывать любые конструк­ции, когда число связей в системе превышает число независи­мых уравнений статики.52Можно сказать, что под п раз статически неопределимойсистемой понимается такая, в которой число связей превышаетчисло независимых уравнений статики на п единиц. Определе­ние всех неизвестных сил, или, как говорят, раскрытие стати­ческой неопределимости, возможно только путем составленияуравнений, дополняющих число уравнений статики до числанеизвестных. Эти дополнительные уравнения отражают осо­бенности геометрических связей, наложенных на деформируе­мые системы, и условно называются уравнениями перемеще­ний.

Для стержневых систем, показанных на рис. 1.12, уравне­ния перемещений должны выразить тот факт, что узел А де­формированной системы должен быть общим для всех стерж­ней. В примере, показанном на рис. 1.13, уравнения перемеще­ний в случае, если брус АВ ~ жесткий, должны показать, чтовсе нижние концы тяг после нагружения остаются на однойпрямой и т.п.Рассмотрим принципы составления уравнений перемеще­ний на простейших примерах раскрытия статической неопре­делимости систем.Пример 1.5. Прямой однородный стержень (рис.

1.14) жесткозакреплен по концам и нагружен продольной силой Р, приложенной нарасстоянии одной трети длины от верхней заделки. Требуется определитьнаибольшие напряжения, возникающие в стержне.53Система, очевидно, один раз статически неопределима, посколькудве реакции опор Яд и Яв не могут быть определены из одного уравненияравновесия Яд + Яв = Р.Уравнение перемещений должно выразить тот факт, что общая дли­на стержня не меняется. На сколько удлинится верхняя часть, на столькоже сократится нижняя. Следовательно, |Д/дс| = |Д/вс|. Выражая удли­нения через силы, получимEFEF ’илиЯд = 2ЯВ.Решая это уравнение совместно с уравнением равновесия, находим: Яд == 2/ЗР, Яв = 1/ЗР.

Наибольшее напряжение o-max = 2P/(3F).Пример 1.6.Система трех стержней одинаковых сечений(рис. 1.15, а) нагружена вертикальной силой Р. Определить усилия встержнях.Рис. 1.15При составлении уравнений равновесия узла А (рис. 1.15, б) восполь­зуемся принципом неизменности начальных размеров. Поскольку под дей­ствием силы Р угол а меняется незначительно, будем считать его неиз­менным. Тогда имеемNi = /Уз;2М cos а 4- № = Р.Полученныхуравненийнедостаточнодляопределениявсех сил. Необходимо составить дополнительно одно уравнение пере­мещений. Для этого сопоставим форму узла А до и после нагружения(рис. 1.15, б). Отрезок ЛА1 представляет собой вертикальное перемещениеузла А. Оно равно, очевидно, удлинению среднего стержня: АА*= Д/а.Из точки А проводим дугу окружности АВ с центром в точке С.

ОтрезокА1 В представляет собой удлинение бокового стержня: А*В~ ДЛ 54Вследствие малости перемещений дугу АВ можно принять за от­резок, перпендикулярный прямой Л'С, и тогда, учитывая, что угол а врезультате удлинений стержней меняется незначительно, получимД/1 = ДЬ cos а.Это и есть искомое уравнение перемещений. Выразим удлинения черезА/NilA?силы: A/i = „, ЛЬ = -=■=; тогда£/ г соя аЬгN\ =cos2 а.Решая это уравнение совместно с уравнением равновесия, получимкткт/V; = #з =? C°S2 а■—------—;14-2 cos3 atктРTV2 = , ■ -----3—•14-2 cos3 atПример 1.7.

Жесткая невесомая балка шарнирно закрепленав точке О и связана с двумя одинаковыми упругими тягами (рис. 1.16, а).Определить усилия, возникающие в тягах, при нагреве их на Д/°.Рис. 1.16Разрезаем тяги и вводим силы Ni и N? (рис. 1.16, 6). Далее, прирав­нивая нулю сумму моментов сил относительно шарнира О, получимNia 4- 2Waa = 0.55Положим, далее, что в результате иагрева стержней жесткая бал­ка повернется и займет положение А*В(см. рис. 1.16, б). Из подобиятреугольников ОАА*и ОВВ1 получаем Д/з = 2Д/1 или, согласно формуле(1-7),^ + iaAt = 2(^ + /aAt),откуда— 2?Vi — EFa^t.Решая полученное уравнение совместно с уравнением равновесия,найдемМ = - (2/5)EFatt; № = (l/5)EFaAt.Знак минус перед Ni указывает на то, что первый стержень не рас­тянут, как это предполагалось ранее, а сжат.Пример 1.8.При сборке стержневой системы (рис.

1.17, а)было обнаружено несоответствие длин стержней (см. узел Л). Сборкабыла произведена путем принудительного совмещения шарниров А и С.Определить усилия в стержнях после сборки.аРис. 1-17Имеем пять стержней и, следовательно, пять искомых сил. Для узловА и В может быть составлено четыре уравнения равновесия, по два накаждый узел. Следовательно, система один раз статически неопределима.Из условий равновесия узлов А и В (рис.

1.17, бив) получаемМ = N2 = 7V3;56№ = №;№ + 2/V4 cos30° = 0.Положим, что после сборки шарнир А сместился вниз на величинуиА и занял положение А1, а шарнир В сместился вверх на ив (рис. 1.17, ги <?). Тогда, очевидно,Д/i = ил sin 30°;ДЦ = — ив cos 30°.Удлинение среднего стержняД/з — Д — ид —Исключая из этих выражений иА и «в, получим уравнение перемещенийД/з = Д - 2Д/1 + -Д= Д/4.V3Преобразуем это уравнение, выразив удлинения через силы,2Ni - 2^4 + N3=j EF.После совместного решения уравнения перемещении с уравнениями рав*новесия получим= № = ^з = ■ - -- ф EF;2 + 3V3 I= 7VS =--------Ц= v EF.2 + 3V3 IРассмотренные примеры уже дают достаточное предста­вление о принципиальной стороне приемов, используемых прираскрытии статической неопределимости.

Прочное овладениеэтими приемами может быть достигнуто при решении доста­точно большого числа задач.Более общий метод раскрытия статической неопределимо­сти будет рассмотрен в гл. 6.В заключение необходимо обратить внимание на два по­следних примера. В одном определялись температурные, а вдругом - монтажные усилия. И те и другие могут возникатьтолько в статически неопределимых системах, и это достаточ­но очевидно.

Температурные и монтажные деформации при­нимаются в расчет только при составлении уравнений дефор­маций. А для статически определимых систем в этих уравне­ниях нет никакой надобности.571.5. Напряженное и деформированноесостояния при растяжении - сжатииРассмотрим более детально особенности напряженного со­стояния, возникающего в однородном растянутом стержне.Рис. 1.18Определим сначала напряжения в некоторой наклонной пло­щадке, составляющей угол а с плоскостью нормального се­чения (рис.

1.18). Полное напряжение р на этой площадке,согласно условию однородности напряженного состояния длявсех точек площадки, будет одним и тем же. Равнодействую­щая же внутренних сил в сечении должна быть направлена пооси стержня и равна растягивающей силе aF, т.е.pFa = aF,где Fa - площадь косого сечения, Fa = F/ cos а. Таким образом, полное напряжение на наклонной площадкер — a cos а.Раскладывая это напряжение по нормали и по касательнойк наклонной площадке (рис.

1.18, б), находим<уа — р cos а;та = р sin а,или<та — <т cos2 а;та = l/2asin2a.58Как видим, для одной и той же точки растянутого стерж­ня значения возникающих в сечении напряжений оказываютсяразличными в зависимости от ориентации секущей площадки.Поэтому, в частности, неточным было бы утверждение, чтопри растяжении возникают только нормальные напряжения.Это верно только для площадок, нормальных к оси стержня.Если положить а = 0, то из выражений (1-10) и (1-11) мыполучим напряжения в поперечном сечении стержня, т.е.O'qj —ст\= 0.При а = 90°, т.е. в продольных сечениях, аа = та = 0.Это значит, что продольные слои растянутого стержня не име­ют между собой силового взаимодействия по боковым поверх­ностям. В этом смысле растяжение стержня можно уподобитьрастяжению пучка не связанных между собой параллельныхнитей.Касательное напряжение та, обращаясь в нуль в продоль­ных и поперечных сечениях, имеет наибольшее значение наплощадках, наклоненных под углом 45° к оси растянутогостержня:^гпах = Я"/2.Если из растянутой полосы мы выделим прямоугольник(рис.

1.19, а), то на его гранях АВ и CD следует приложить на­пряжения аа и та, определяемые выражениями (1.10) и (1.11).Рис. 1.1050На рис. 1.19, 6 эти напряжения отмечены сверху штрихом. Награнях ВС и AD напряжения вычисляют также по форму­лам (1.10), (1.11), в которых только угол а заменяют углома + тг/2. Эти напряжения отмечены двумя штрихами.