Феодосьев В.И (Сопротивление материалов - В.И. Феодосьев - С возможностью поиска), страница 6

Это не исключает, понятно, одновремен­ной проверки системы на прочность по напряжениям.2*35Наряду с упомянутыми существуют многие другие мето­ды, связанные с качественно отличными явлениями, такимикак устойчивость, эффект повторных нагрузок, динамическоевоздействие и др.Курс сопротивления материалов не претендует на то, что­бы точно указать, где и когда следует пользоваться тем илииным из упомянутых методов расчета конкретных конструк­ций. Сопротивление материалов дает в основном только изло­жение практически приемлемых средств для решения вопро­сов, связанных с определением напряжений, деформаций, пе­ремещений, разрушающих нагрузок и пр. в типичных элемен­тах конструкции. Вопрос о степени надежности конструкциив конкретных условиях изучают в основном в курсах деталеймашин, прочности самолета, прочности корабля и т.д.Тем не менее, изучая сопротивление материалов, не сле­дует забывать, что определение напряжений и перемещений неявляется самоцелью и что за определением этих величин стоитнеизбежный вопрос о возможности использования полученныхрезультатов в оценке надежности конструкции.Глава 1РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ1.1.

Внутренние силы и напряжения,возникающие в поперечных сечениях стержняпри растяжении - сжатииПод растяжением понимается такой вид нагружения, прикотором в поперечных сечениях стержня возникают тольконормальные силы, а все прочие внутренние силовые факторы(поперечные силы, крутящий и изгибающий моменты) равнынулю.Обычным является растяжение стержня силами, прило­женными к его концам. Передача усилий к стержню можетбыть осуществлена различными способами, как это показанона рис. 1.1, а-в. Во всех случаях, однако, система внешнихсил образует равнодействующую Р, направленную вдоль осистержня.

Поэтому независимо от условий крепления растя­нутого стержня расчетная схема в рассматриваемых случаяхоказывается единой. Она показана на рис. 1.1, г.Если воспользоваться методом сечений, то становится оче­видным, что во всех поперечных сечениях стержня возникаютнормальные силы 7V, равные силе Р (рис. 1.2):N = Р.37Рис. 1.1Рис.

1.3Рис. 1.2Сжатие отличается от растяжения формально только зна­ком силы N. При растяжении нормальная сила N направленаот сечения, а при сжатии - к сечению. Таким образом, при ана­лизе внутренних сил сохраняется единство подхода к вопросамрастяжения и сжатия. Вместе с тем между этими двумя типа­ми нагружения могут обнаружиться и качественные различия,например при изучении процессов разрушения материалов илипри исследовании поведения длинных и тонких стержней, длякоторых сжатие сопровождается, как правило, изгибом.Рассмотрим напряжения, возникающие в поперечном се­чении растянутого стержня. Нормальная сила N является рав­нодействующей внутренних сил в сечении (рис.

1.3). Естест­венно предположить, что для однородного стержня внутренниесилы распределены по сечению равномерно. Тогда нормальноенапряжение для всех точек сечения будет одним и тем же:<- = у,где F - площадь поперечного сечения.38(ы)Понятно, что высказанное предположение о равномерномраспределении внутренних сил в поперечном сечении справед­ливо лишь постольку, поскольку из рассмотрения исключают­ся особенности конкретно взятого стержня в связи с условия­ми его закрепления на концах. Здесь руководствуются прави­лом, которое принято называть принципом Сен-Венана по име­ни известного французского ученого прошлого века. ПринципСен-Венана является общим, но применительно к стержням онможет быть сформулирован следующим образом: особенностиприложения внешних сил к растянутому стержню проявляют­ся, как правило, на расстояниях, не превышающих характер­ных размеров поперечного сечения стержня.

Это значит, чтопри изучении растянутого стержня достаточно принимать вовнимание только равнодействующую внешних сил Р, не инте­ресуясь особенностями приложения нагрузки. Для этого надоисключить из рассмотрения часть стержня, расположенную взоне приложения внешних сил. На рис. 1.1 это как раз и пока­зано.

Отбрасывая части стержня, примыкающие к его концам,получаем единую расчетную схему (см. рис. 1.1, а), независи­мо от способа приложения внешних сил.Приведенные рассуждения могут быть отнесены также и кособым участкам стержня, содержащим резкое изменение гео­метрических форм.

Например, для ступенчатого бруса, пока­занного на рис. 1.4, следует исключить из рассмотрения зонускачкообразного перехода от одного диаметра к другому и зо­ны, примыкающие к отверстиям. Во всех остальных участкахнапряжения в поперечных сечениях будут распределены рав­номерно и их можно определить по формуле (1.1).ИсключаемыеучасткиРис. 1.439Для нагруженного по концам растянутого однородногостержня напряжения остаются постоянными как по сечению,так и по длине, т.е. сохраняются неизменными для всех то­чек объема, занимаемого телом.

Такое напряженное состояниеназывается однородным. При однородном напряженном состо­янии все точки тела находятся в одинаковых условиях.Понятие однородного напряженного состояния тесно свя­зано с понятием сплошной среды. Ясно, что распределениевнутренних сил в реальных условиях не может быть равно­мерным из-за неоднородности кристаллических зерен металлаи молекулярного строения вещества. Поэтому, когда говорят оравномерном распределении внутренних сил по сечению, име­ют в виду распределение без микроскопической детализации впределах площадок, существенно превышающих размеры се­чений кристаллических зерен.

Сделанная оговорка относитсяне только к растяжению и сжатию, но и ко всем другим видамнагружения, которые будут рассмотрены в дальнейшем.ниин♦ЛСилытяжестиРис. 1.5При растяжении, однако, не всегда возникает однородноенапряженное состояние. Например, у стержня с переменнойплощадью поперечного сечения (рис. 1.5, а) напряжения меня­ются по длине и напряженное состояние неоднородно. То жесамое имеет место и для стержня, нагруженного собственнымвесом (рис. 1.5, б).401.2. Удлинения стержня и закон Гука.Уравнения равновесияРазмеры растянутого стержня меняются в зависимости отвеличины приложенных сил.

Если до нагружения стержня егодлина была равна /, то после нагружения она станет равнойI + Д/ (рис. 1.6). Величину Д/ называют абсолютным удлине­нием стержня.Будем считать, что абсолютное удлинение и деформациисвязаны только с напряжениями, возникающими в стержне. Вдействительности имеются и другие факторы, влияющие надеформации. Так, деформации зависят от температуры и вре­мени действия нагрузки.

Неупругие деформации зависят от“истории” нагружения, т.е. от порядка возрастания и убыва­ния внешних сил. Пока, однако, этих вопросов мы касаться небудем.Если стержень нагружен только силой Р, то напряжен­ное состояние является однородным и все участки растянуто­го стержня находятся в одинаковых условиях; деформация е пооси стержня остается одной и той же, равной своему среднемузначению по длине I:Эта величина называется относительным удлинением стерж­ня.Если стержень нагружен сосредоточенной силой Р и рас­пределенными силами q2 (наиболее общий случай), то относи­тельное удлинение е не будет постоянным по длине стержня.Получим выражение для относительного удлинения стержня,рассматривая элемент стержня между плоскостями АА и ВВ41до и после нагружения (см.

рис. 1.6). Если обозначить переме­щение плоскости А А элемента стержня через и, то плоскостьВВ будет иметь перемещение, равное и + du, где du = A(ds) дополнительное перемещение из-за растяжения элемента dzстержня. Тогда относительное удлинение элемента будет рав­нои + du — и _ du(1.3)dzdzЗаметим, что вследствие равномерного распределения на­пряжений по сечению удлинения для всех элементарных от­резков (см.

рис. 1.6), взятых на участке dz, оказываются оди­наковыми. Следовательно, если концы отрезков до нагруже­ния образуют плоскость, то и после нагружения стержня ониобразуют плоскость, но смещенную вдоль оси стержня. Этоположение может быть взято в основу толкования механизмарастяжения и сжатия и трактуется как гипотеза плоских се­чений (гипотеза Бернулли). Если эту гипотезу принять какосновную, то тогда из нее, уже как следствие, вытекает вы­сказанное ранее предположение о равномерности распределе­ния напряжений в поперечном сечении.В пределах малых удлинений для подавляющего большин­ства материалов справедлив закон Гука, который устанавли­вает прямую пропорциональность между напряжениями и де­формациями:ст = Ее.(1.4)Величина Е представляет собой коэффициент пропорцио­нальности, называемый модулем упругости первого рода.

Мо­дуль упругости является физической константой материала иопределяется экспериментально. Величина Е измеряется в техже единицах, что и ст, т.е. в мегапаскалях. Вместе с тем, по­скольку модуль упругости может иметь довольно большие чи­словые значения, его предпочтительнее измерять не в мега-, ав гигапаскалях: 1 ГПа=1000 МПа.Для наиболее часто применяемых материалов модуль уп­ругости Е имеет следующие значения, ГПа:42Сталь........................................................................................Медь.........................................................................................Латунь............................Алюминий и алюминиево-магниевые сплавы............Бериллий................................................................................Вольфрам................................................................................Молибден................................................................................Титан.....................................................................................Алмаз........................................................................................Дерево вдоль волокон.........................................................Стекловолокно...............................

......................................Кварцевое волокно...............................................................Бороволокно...........................................................................Карбидное волокно..............................................................Промышленное углеродное волокновысокомодульное..................................................................Промышленное углеродное волокновысокопрочное...........

.. ........................................................Эпоксидные смолы...............................................................Усы (нитевидные кристаллы):Графит.........................................................................Сапфир (AlaОз)...............................................................Асбест................................................................................190-200120100-12070-8024041033010010508-1270-8570430430310-345220-2502-3< 690< 530170Закон Гука представляет собой простейшую и очевиднуюаппроксимацию наблюдаемой в опытах зависимости удлине­ния от напряжения. Естественно, что точность этой аппрок­симации определяется в первую очередь тем, сколь широкийдиапазон изменения напряжения имеется в виду.

Всегда мож­но подобрать достаточно малый интервал напряжений, чтобыв его пределах функцию £ = f(a) можно было бы с задан­ной точностью рассматривать как линейную. И конечно, дляразных материалов это выглядит по-разному. Для некоторыхматериалов, таких как, например, сталь, закон Гука соблюда­ется с высокой степенью точности в широких пределах изме­нения напряжений. Для отожженной меди, для чугуна этотинтервал изменения напряжений существенно меньше. В техслучаях, когда закон Гука явно не соблюдается, деформациюзалают в виде некоторой нелинейной функции от напряженияе = /(а) с таким расчетом, чтобы эта функция отвечала кри­вой, полученной при испытании материала.43Вернемся к выражению (1.4) и заменим в нем ст на N/F,а £ на du/dz.