Феодосьев В.И (Сопротивление материалов - В.И. Феодосьев - С возможностью поиска), страница 5

Будем уменьшать отрезки ОС иОDy приближая точки С и D к точке О и оставляя при этомугол COD прямым. Предел разности углов COD и С^О**Dicon = lim (COD - CW?ос—о\JOD-+Qназывается угловой деформацией, или углом сдвига в точке Ов плоскости COD. В координатных плоскостях углы сдвигаобозначают черези уху.Совокупность линейных деформаций по различным напра­влениям и угловых деформаций в различных плоскостях для29одной точки образует деформированное состояние в точке. Де­формированное состояние, так же как и напряженное состоя­ние, определяется шестью числовыми величинами.

Более по­дробно этот вопрос будет рассмотрен в гл. 7.Рис. В21Следует четко различать понятия деформации и переме­щения и не допускать довольно распространенной ошибки, ко­гда абсолютное удлинение стержня или осадку витой пружиныназывают деформацией. Это - не деформации, а перемещения.Заметим также, что если какой-то участок стержня перемеща­ется, то это вовсе не значит, что он деформируется. Нагляд­ный тому пример показан на рис. В21.

Участок стержня ВСполучает перемещения вследствие деформации участка АД, носам не деформируется.В6.Закон Гука и принципнезависимости действия силМногочисленные наблюдения за поведением твердых телпоказывают, что в большинстве случаев перемещения в опре­деленных пределах пропорциональны действующим силам.Эта закономерность была дана Гуком в 1660 г. в формули­ровке ‘‘каково удлинение, такова сила”, что по латыни звучало“ut tensio sic vis”. Но закон был опубликован только в 1676 г.

ввиде анаграммы “ceiiinosssttuv”. Так выглядела приоритетнаязаявка того времени.Если рассмотреть перемещение произвольно взятой точкиА (см. рис. В17) по некоторому направлению, например пооси т, тоUA = 6ХР,(В12)где Р - сила, под действием которой происходит перемещениеДд, а- коэффициент пропорциональности между силой иперемещением.30Очевидно, этот коэффициент зависит как от физическихсвойств материала, так и от взаимного расположения точкиА и точки приложения силы и вообще от геометрических осо­бенностей системы. Таким образом, выражение (В12) следуетрассматривать как закон Гука для системы,В современной трактовке закон Гука определяет линей­ную зависимость между напряжением и деформацией, а немежду силой и перемещением.

При этом устанавливаютсялинейные зависимости, свойственные состоянию материала вточке.Коэффициенты пропорциональности в этом случае пред­ставляют собой физические константы материала и уже не свя­заны с геометрическими особенностями системы в целом. За­кон, таким образом, выражает свойства самого материала.

Наоснове такой формулировки закона Гука могут быть получе­ны линейные зависимости типа (В12) между перемещениямии силами для конкретных систем. Физические константы ма­териала будут введены в последующих главах при рассмотре­нии частных случаев напряженного и деформированного состо­яний. В обобщенной трактовке закон Гука будет сформулиро­ван в гл.

7. Пока же для выявления основных свойств напря­женных тел ограничимся рассмотрением соотношения (В 12),типичного для подавляющего большинства систем.Заметим сразу, что принятая линейная зависимость меж­ду перемещениями и силами сохраняется как при возраста­нии, так и при убывании сил и предопределяет, следовательно,упругие свойства системы. Это же подтверждается и опытом,который показывает, что в случае указанной линейной зависи­мости твердое тело полностью восстанавливает свои первона­чальные размеры и форму после устранения внешних сил.Системы, для которых соблюдается условие пропорцио­нальности между перемещениями и внешними силами, назы­ваются линейными и подчиняются принципу суперпозиции,или принципу независимости действия сил. В соответствиис этим принципом перемещения и внутренние силы, возника­ющие в упругом теле, считаются не зависящими от порядкаприложения внешних сил: если к системе приложено несколь­ко сил, то можно определить внутренние силы, напряжения,31перемещения и деформации от каждой силы в отдельности, азатем результат действия всех сил получить как сумму дей­ствий каждой силы.Положим, что к некоторой системе приложена сила Pi.Перемещение, которое вызовет эта сила в произвольной точкеА по направлению, например, оси я, будет, согласно выраже­нию (В 12), следующим:— &Х1Р1-(В13?Примем теперь, что сила Р\ снята и в некоторой другойточке упругого тела приложена сила Р3.

Перемещение, кото­рое вызовет эта сила в точке А, будет таким:«л2 = 4t2p2-(В14)Коэффициенты пропорциональностии 6Х2 будут различны­ми, поскольку силы Pi и Р2 приложены в разных точках тела.Рассмотрим теперь совместное действие сил Pi и Р3. Прило­жим сначала силу Pi, а затем, не снимая ее, силу Р3. Тогдаперемещение, которое получит точка А, можно представитьследующим выражением:«л = «х1Р1+42^(В15)Коэффициентбудет тем же, что и в формуле (В13),поскольку силу Pi прикладывали к ненагруженной системе.Коэффициент жев отличие от формулы (В14), помеченштрихом, так как силу Р3 прикладывали не к свободной си­стеме, а к системе, предварительно нагруженной силой РрЕсли коэффициенты i'X2 и дХ2 различны, то следует при­знать, что 6Х2 зависит от силы Pi.

Но это противоречит при­нятому предположению о линейной зависимости перемещенийот действующих сил. Следовательно, 6Х2 от сил не зависит.Выражение (В15) при Pi = 0 должно переходить в выражение(В14). Поэтому 6Х2 = 6Х2, и тогдаиА = ^1Р1 + 6* 2Р2‘(В16)Таким образом, перемещение определяется как сумма ре­зультатов независимых действий сил Р\ и Р3. Если изменить32порядок приложения сил, то можно путем аналогичных рассу­ждений прийти к тому же выражению (В15). Следовательно,результат действия сил не зависит от порядка их приложения.Это положение легко обобщается и на случай любого числасил.Итак, в основе принципа независимости действия сил ле­жит предположение о линейной зависимости между перемеще­ниями и силами, а также связанное с ним предположение обОбратимости процессов нагрузки и разгрузки.

Системы, неподчиняющиеся изложенному в предыдущем параграфе прин­ципу начальных размеров, обнаруживают нелинейные зависи­мости между силами и перемещениями, поэтому к таким систе­мам неприменим также и принцип независимости действия сил(см., например, систему, представленную на рис. В19). Вместес тем не всякая система, подчиняющаяся принципу начальныхразмеров, будет подчиняться и принципу независимости дей­ствия сил. Если при малых перемещениях сами свойства ма­териала таковы, что перемещения зависят от сил нелинейно,то такая система, подчиняясь первому принципу, не подчиня­ется второму. Принцип независимости действия сил являетсяосновным при решении большинства линейных задач сопроти­вления материалов.В7.

Общие принципы расчетаэлементов конструкцииВ результате расчета нужно получить ответ на вопрос,удовлетворяет или нет конструкция тем требованиям надеж­ности, которые к ней предъявляют. Для этого необходимопрежде всего сформулировать те принципы, которые должныбыть положены в основу оценки условий достаточной надеж­ности. Без этого анализ конкретной конструкции сам по себене может иметь целевого назначения. Так, если в конструкцииопределяются напряжения, надо предварительно четко пред­ставить себе, зачем это нужно и что с найденными напряже­ниями надлежит делать в дальнейшем.

Точно так же, еслиопределяется форма деформированного тела, надо заранее на­метить путь дальнейшего использования полученного резуль­тата в оценке надежности конструкции. Все эти вопросы на­ходят свое решение в выборе общего метода расчета.2 В И Феодосьев33Наиболее распространенным методом расчета деталей ма­шин и элементов сооружений на прочность является расчетпо напряжениям. В основу этого метода положено предполо­жение, что критерием надежности конструкции является на­пряжение или, точнее говоря, напряженное состояние в точке.Последовательность расчета при этом выглядит следующимобразом.На основании анализа конструкции выявляют ту точкув теле, где возникают наибольшие напряжения.

Найденноезначение напряжений в этой точке сопоставляют с предель­ным значением для данного материала, полученным на основепредварительных лабораторных испытаний. Из сопоставле­ния найденных расчетных и предельных напряжений делаютзаключение о прочности конструкции.Этот метод используется при решении большинства прак­тических задач. Вместе с тем не следует думать, что та­кой подход является единственно возможным. В ряде случа­ев быстрее приводят к цели другие методы. Бывает и так,что расчет по напряжениям оказывается попросту неприемле­мым, например при проверке некоторых конструкций, находя­щихся под действием высоких перепадов температур (оболочкажидкостного ракетного двигателя и др.).В ряде случаев основная концепция изложенного метода,по которой напряжения в одной точке можно рассматриватькак определяющий фактор в оценке надежности всей конструк­ции, не всегда оказывается правильной.В качестве наиболее простого примера, иллюстрирующегосказанное, рассмотрим стержень с выточкой, представленныйна рис.

В22 ,а. Можно показать, что при растяжении тако­го стержня напряжения в точках А, расположенных у верши­ны выточки, будут заметно больше, чем для гладкого стерж­ня, растянутого теми же силами (рис. В22, б). Если исходитьиз метода напряжений, то следует сделать вывод, что стер­жень с выточкой менее прочен, т.е. способен выдержать на­грузку меньшую, чем гладкий стержень. Однако это не все­гда так. Для некоторых материалов, таких как высокоугле­родистая сталь, стекло, камень и другие им подобные, стер­жень, имеющий выточку, действительно оказывается менее34Рис. В22прочным, чем гладкий. В случае, если оба стержня изготов­лены из малоуглеродистой стали, меди, бронзы или алюми­ния, стержень с выточкой, вопреки ожиданиям, выдерживаетне меньшую, а большую нагрузку. Таким образом, напряже­ния в точке не всегда и не полностью характеризуют условияразрушения конструкции.В связи со сказанным в некоторых случаях используютметод расчета по разрушающим нагрузкам.

В этом методепутем расчета определяют не напряжения, а находят предель­ную нагрузку, которую может выдержать конструкция, не раз­рушаясь или не изменяя существенно свою форму. Предельную(разрушающую) нагрузку сопоставляют с рабочей, и на осно­вании этого делают выводы о степени прочности конструкциив рабочих условиях. Этот метод обладает тем недостатком,что расчетное определение разрушающей нагрузки возможнотолько в наиболее простых конструктивных схемах.Методы расчета выбирают в зависимости от условий ра­боты конструкции и требований, которые к ней предъявляют.Если необходимо добиться наименьших изменений формы кон­струкции, например при проектировании отражателя прожек­тора или системы зеркал астрономического прибора, проводятрасчет по допускаемым перемещениям, или, как говорят, рас­чет на жесткость.