Феодосьев В.И (Сопротивление материалов - В.И. Феодосьев - С возможностью поиска), страница 4

Если в поперечном сечении возникает толькомомент Mz = AfKj то в данном сечении стержень испытываеткручение. Наконец, в случае, если внешние силы приложенытаким образом, что в поперечных сечениях возникает толькоизгибающий момент Мх (или Му), имеет место чистый изгиб23в плоскости zOy (или zOx}. Обычно в поперечном сечениинаряду с изгибающим моментом (например, Мх) действует ипоперечная сила Qy. Такой случай нагружения называется по­перечным изгибом (в плоскости zOy). Возможны случаи на­грузок, когда стержень работает на кручение, изгиб и растя­жение (сжатие) одновременно.В4.НапряженияЧтобы характеризовать распределение внутренних сил посечению, необходимо ввести для них числовую меру. За такуюмеру принимается напряжение.Рис.

В15Рассмотрим сечение А некоторого тела (рис. В15). Вокрестности точки К выделим элементарную площадку ДГ1,в пределах которой выявлена внутренняя сила Дф. За среднеенапряжение на площадке ДТ* 1 принимаем отношение AQ/AF == рСр- Будем уменьшать площадку ДТ* 1, стягивая ее в точкуК.

Поскольку среда непрерывна, возможен предельный пере­ход при &F —► 0. В пределе получаемВекторная величина р представляет собой полное напряжениев точке К сечения А.В Международной системе единиц (СИ) напряжение изме­ряется в паскалях (Па).Полное напряжение р может быть разложено на три со­ставляющие: по нормали к плоскости сечения и по двум осям24Рис.

В16в плоскости сечения (рис. В16). Составляющую вектора пол­ного напряжения по нормали обозначают через а и называютнормальным напряжением. Составляющие в плоскости сече­ния называются касательными напряжениями и обозначаютсячерез г. В зависимости от расположения и наименования осейобозначения а и т снабжают системой индексов, порядок кото­рых будет установлен в дальнейшем.Если через точку К в теле провести другую секущую пло­щадку, напряжение р в той же точке будет, вообще говоря,другим.

Совокупность напряжений для всего множества пло­щадок, проходящих через точку, образует напряженное состо­яние в точке.Напряженное состояние, как мы узнаем в дальнейшем,определяется шестью числовыми величинами и является в со­противлении материалов одним из наиболее важных понятий.Оно будет подробно рассмотрено в гл. 7. Начало же курса свя­зано с рассмотрением наиболее простых и часто встречающих­ся частных случаев напряженного состояния.В5.Перемещения и деформацииНи один из существующих в природе материалов не явля­ется абсолютно твердым; под действием внешних сил все телав той или иной мере меняют свою форму (деформируются).Изменение формы напряженного тела существенно влияет нараспределение в нем внутренних сил, хотя само по себе этоизменение формы является, как правило, незначительным иобнаруживается в большинстве случаев только при помощичувствительных инструментов.25Под действием внешних сил точки тела меняют свое по­ложение в пространстве.

Вектор, имеющий начало в точкенедеформированного тела, а конец - в соответствующей точкедеформированного, называется вектором полного перемещенияточки. Его проекции на оси координат носят название пере­мещений по осям. Они обозначаются через u, v и w соответ­ственно осям х, у и z (рис. В17).Рис. В17Кроме линейного перемещения, введем понятие угловогоперемещения. Если рассмотреть отрезок прямой между двумяблизкими точками до и после изменения формы тела, то легкоустановить, что этот отрезок поворачивается в пространствена некоторый угол.

Этот угол поворота также характеризует­ся вектором, который может быть разложен по осям х, у и z.Если на систему наложены связи, достаточные для того,чтобы исключить ее перемещение в пространстве как жестко­го целого, то система называется кинематически неизменяе­мой. Именно такие системы и рассматривают, как правило, всопротивлении материалов. В противном случае из перемеще­ний всех точек исключают слагающую переноса тела как абсо­лютно жесткого и сохраняют ту часть, которая характеризуеттолько изменение формы. Тогда для большинства рассматри­ваемых в сопротивлении материалов систем перемещения u, vи w любой точки являются малыми по сравнению с геометри­ческими размерами тела.На основе малости перемещений в сопротивлении матери­алов в методику анализа внутренних сил вводят упрощения,26носящие принципиальный характер.

Одно из них носит назва­ние принципа начальных размеров. Согласно этому принци­пу, при составлении уравнений статики (уравнений равнове­сия) тело рассматривают как недеформированное, имеющее теже геометрические размеры, какие оно имело до нагружениявнешними силами.Так, если в точке А системы, показанной на рис. В18, а,приложить некоторую силу Р, то канат АВ удлинится, стер­жень АС несколько укоротится, да и вообще система изме­нится (рис.

В18, б). Для определения внутренних сил в канатеи стержне надо воспользоваться методом сечений и составитьуравнения равновесия для отсеченного деформированного узлаА (рис. В18, в). Здесь, однако, возникает затруднение, связан­ное с тем, что новые геометрические размеры системы оста­ются неизвестными, пока не определены внутренние силы, за­висящие, в свою очередь, от геометрических размеров. Прималых перемещениях указанным обстоятельством можно пре­небречь, поскольку деформированная система мало отличаетсяот недеформированной.

В этом случае в соответствии с прин­ципом начальных размеров уравнения равновесия составляютдля недеформированного узла (рис. В18, г), и тогда TVj = Р\/2;■A^2 = -Р.Рис. В18Понятно, что изложенный принцип нельзя применять вслучае больших перемещений. Кроме того, принцип началь­ных размеров может оказаться неприемлемым и при малыхперемещениях, если при этом форма системы меняется качест вен но. Например, для двух шарнирно связанных стержней,27расположенных на одной прямой, условия равновесия узла А(рис.

В19) следует составлять обязательно с учетом угла на­клона а, возникающего вследствие удлинения стержней.Системы подобного рода называются мгновенными меха­низмами, Это означает, что в какой-то момент система явля­ется кинематически изменяемой, т.е. допускает перемещенияэлементов, не сопровождающиеся деформациями. В данномслучае кинематическая изменяемость имеет место в окрестно­сти исходного положения, в котором три шарнира находятсяна одной прямой. В отличие от мгновенного обычный меха­низм обладает кинематической изменяемостью независимо отвзаимного расположения составляющих элементов.Особый класс задач, где, по существу, необходимо от­ступить от принципа начальных размеров, образуют задачиустойчивости, приведенные в гл.

13.Для того чтобы характеризовать интенсивность измене­ния формы и размеров, рассмотрим точки А и В недеформированного тела, расположенные одна относительно другой нарасстоянии 5 (рис. В20). Пусть в результате изменения формытела это расстояние увеличится на Ал. Отношение прираще­ния длины отрезка Аз к его начальной длине назовем среднимРис. В2028удлинением на отрезке з: Аз/з = £ср.

Будем, далее, умень­шать отрезок з, приближая точку В к точке А. В пределеполучимlim Дз/з =з—>0величина Еав называется линейной деформацией (или простодеформацией} в точке А по направлению АВ. В той же точке вдругом направлении деформация, вообще говоря, будет другой.Если рассматривают деформации в направлении координат­ных осей х, у и 2, в обозначение £ вводятся соответствующиеиндексы.

Тогда имеем £х, еу иСледует подчеркнуть, что слово “деформация” имеет дво­який смысл. В обиходном языке под деформацией понимает­ся вообще всякое изменение формы без количественной оцен­ки. В сопротивлении материалов и в теории упругости де­формация имеет данное выше строгое определение и являет­ся количественной мерой изменения геометрических размеровв окрестности точки. Деформация является безразмерной ве­личиной (ее измеряют также в процентах Дз по отношениюк з).

Поскольку форма тела меняется незначительно, дефор­мации также имеют малую величину. Для конструкционныхматериалов, в частности, деформации лежат в пределах долейпроцента.Кроме линейной деформации введем понятие угловой де­формации. Рассмотрим прямой угол, образованный в недеформированном теле двумя отрезками OD и ОС (см. рис. В20).После нагружения тела внешними силами этот угол изменит­ся и станет равным ^О1 D1.