Феодосьев В.И (Сопротивление материалов - В.И. Феодосьев - С возможностью поиска), страница 3

В2 штрихпунктирной линией, - больше двух других,характеризующих поперечное сечение стержня (на рис. В2 за­штриховано). Сечение стержня может быть как постоянным,так и переменным.На рис. ВЗ показана модель высотного здания, которое,например, при расчете на ветровую нагрузку (и при опреде­лении частот и форм колебаний) можно рассматривать как13Рис. ВЗРис. В4прямолинейный стержень переменного поперечного сечения.Поток воздуха приводит к появлению аэродинамических сил,действующих на стержень.

На участках I и III возникаютраспределенные аэродинамические силы да, на участке //, гдеимеется сосредоточенная масса М, появляется сосредоточен­ная аэродинамическая сила F&.Кроме того, стержневая модель высотного здания позво­ляет рассчитать (при v ~ 0) конструкцию и на распределенные(qz и др.), и на сосредоточенные (G и др.) нагрузки, т.е. коли­чественно оценить работоспособность конструкции. В гл. 13будет показано, что осевые (сжимающие) нагрузки могут при­вести к весьма неприятному явлению - потере устойчивости.На рис. В4 приведена спиральная пружина, широко ис­пользуемая в различных приборах, которую при расчетах рас14IРис. ВвРис.

B5сматривают как плоский криволинейный стержень. Спираль­ная пружина нагружена сосредоточенным моментом ЯЛ. Нарис. В5 изображено сверло (прямолинейный стержень), ко­торое при сверлении нагружается сжимающими силами Р икрутящим моментом ЯЛ. Стержневая модель крыла само­лета или лопатки двигателя (рис. В6) является упрощенноймоделью реального крыла, однако позволяет определить кри­тическую скорость полета, при превышении которой начина­ются нарастающие поперечные колебания крыла - флаттер одно из самых опасных явлений, ставших причиной многихкатастроф.На рис. В7 показан гибкий стержень (вал), находящийся вжестком канале, осевая линия которого, в общем случае, можетбыть пространственно-криволинейной.

Вал предназначен дляпередачи крутящего момента от точки 0 (вход) к точке К (вы­ход). Подобные стержневые элементы конструкции использу­ют в роботах и манипуляторах в производстве, имеющем делос радиоактивными веществами.Рис. В715Очень широкое распространение в технике (системыамортизации и виброзащиты) имеют различного типа пру­жины, в том числе, цилиндрические (рис. В8, а) и фасон­ные (рис. В8, б), математической моделью которых являетсяпространственно-криволинейный стержень.Рис.

В8Различного типа трубопроводы и шланги (рис. В9), пред­назначенные для транспортировки жидкостей, рассчитываютс использованием модели стержня.Рис. В9Элементы конструкций, которые рассчитывают с исполь­зованием математических моделей пластин и оболочек, рас­смотрены в гл.

10.Математическая модель включает силы, которые действу­ют на конструкцию; их особенности и характер поведения принагружении. Условно все нагрузки, действующие на реаль­ные конструкции, можно разделить на детерминированные, окоторых все известно, и случайные, поведение которых непред­сказуемо.16В курсе сопротивления материалов, также как и в курсетеоретической механики, рассматривают детерминированныенагрузки. Методы учета случайных нагрузок, действующихна конструкции, изучают в курсах статистической механики итеории надежности.I/Рис. В10В качестве примера на рис. В10 показано действие случай­ных сил на автомобиль, движущийся по дороге с неровностями(к сожалению, очень распространенный случай).

В результатевозникают случайные колебания подвесок, что может приве­сти к усталостному разрушению (более подробно об этом см.в гл. 12).ВЗ.Силы внешние и внутренние.Уравнения равновесия стержняСилы подразделяют на внешние, приложенные к кон­струкции, и внутренние^ возникающие в элементах конструк­ции. На рис. В2 показаны внешние силы, приложенные кстержню.Различают поверхностные^ как на рис.

В2, и объемныевнешние силы. Поверхностные силы могут быть приложены кмалым участкам поверхности (это сосредоточенные силы, на­пример Р\ и Рп на рис. В2) или к конечным участкам поверх­ности (это распределенные силы, например q ина рис. В2 иВЗ). Они характеризуют взаимодействие конструкции с дру­гими конструкциями или с внешней средой, например взаимо­действие конструкций с потоком воздуха (см. рис. ВЗ, В6) или17жидкости (см. рис. В9).

Объемные силы распределены по объ­ему тела (например, qx на рис. ВЗ). Это силы тяжести, маг­нитного притяжения, силы инерции при ускоренном движенииконструкции. К числу внешних относят не только заданныесилы, которые часто трактуют как первопричину возможно­го разрушения, но также и реакции связей (например, сила 72,показанная на рис. В9).Взаимодействие между частями рассматриваемого объек­та характеризуют внутренние силы. Они возникают не толь­ко между отдельными взаимодействующими узлами конструк­ции, но также и между всеми смежными частицами объектапри нагружении.Рассмотрим стержень, показанный на рис.

В11. Внутрен­ние силы в стержне можно наглядно представить, если мы­сленно рассечь его на две части. Такой прием выявлениявнутренних сил в сопротивлении материалов носит названиеметода сечений. Наиболее удобно рассматривать сечения,ортогональные осевой линии стержня.Рис. В11Метод сечений основан на следующем принципе: если кон­струкция под действием внешних сил находится в равновесии,то и любая ее часть находится в равновесии.

Этот принциппозволяет установить связь между внешними и внутреннимисилами.Так как связи между выделенными частями стержняустранены, необходимо действие правой части на левую и ле­вой на правую заменить системой сил в сечении, т.е. вве­сти систему внутренних сили Мд, где- вектор18внутренних сил; Мх - вектор внутренних моментов в сече­нии А стержня (см. рис. В11). Таким образом, внутренниесилы определяют взаимодействие между частицами тела, рас­положенными по разные стороны от мысленно проведенногосечения.В различных сечениях возникают, естественно, различ­ные внутренние силы.

Внутренние силы по принципу действияи противодействия всегда взаимны. Правая часть действуетна левую точно так же, как левая на правую, и система сил,возникающих в плоскости А^\ обратна по знаку системе сил,действующих в плоскости Aw. Внутренние силы распреде­ляются некоторым образом по поверхности проведенного сече­ния, но во всех случаях они должны быть такими, чтобы удо­влетворялись условия равновесия для правой и левой частейстержня в отдельности.Например, как следует из основных положений статики,для правой части стержня (см. рис. В11) систему простран­ственных сил и моментов можно привести к точке О1 сечения(центру тяжести сечения).

В результате получим главный век­тор сил М и главный момент ЯН. Опуская индекс “А”, запишемуравнения равновесия правой части стержня:Q + Р = 0;М + ЯП=0,(В1)(В2)где Q - вектор внутренних сил, приведенных к точке О - цен­тру тяжести сечения; М - вектор момента от внутренних силотносительно точки О1 (рис. В12). Каждое из векторных урав­нений (В1) и (В2) в проекциях на декартовы оси дает три19скалярные уравнения, позволяющие (если среди внешних силнет неизвестных реакций) определить три проекции векторавнутренних сил Q и три проекции вектора момента М как наоси z, у, х, так и на связанные с сечением осиу1, d.

Если,например, для проекций вектора сил Q и проекций векторамомента М в связанной системе zl, у\ х1 ввести соответствен­но обозначения Q2t, Qy4 Qx* иMxi, то векторы Q иМ для произвольного сечения можно представить так:Q - Qz,gi + Qy'&i + Qx/e3\М = M2/ei 4- MyfG2 4- Л/д./ез.(ВЗ)(В4)В сопротивлении материалов приняты следующие обозна­чения и определения для проекций векторов Q и М: Q2i = N осевая сила, направленная по касательной к осевой линиистержня;Qx> - перерезывающие силы; M2i = Л/к - крутя­щий момент] Myi и Мх/ - изгибающие моменты. Уравненияравновесия конечной части стержня позволяют наглядно пред­ставить связь между внешними и возникающими при нагру­жении внутренними силами.

Если считать стержень (в болееобщем случае конструкцию) абсолютно жестким и прочным,как это принято в теоретической механике, то внутренние си­лы особого интереса не представляют. Считая конструкциюабсолютно жесткой ( не деформируется) и абсолютно прочной(не разрушается), предполагают, что конструкция может вы­держать любые нагрузки.Однако опыт показывает, что это, к сожалению, дале­ко не так. Реальные конструкции под действием внутреннихсил деформируются и при превышении определенных значенийвнутренних сил становятся неработоспособными.

Поэтому вмеханике сплошной среды основное внимание уделяется ана­лизу внутренних сил, что можно сделать, если рассматриватьравновесие не конечной части стержня, пластины или оболоч­ки, а бесконечно малого их элемента (это основной метод ис­следования в механике сплошной среды).Недостатком уравнений равновесия (Bl), (В2) является,как уже говорилось выше, то, что использовать их можно толь­ко тогда, когда все внешние силы, приложенные к отсеченной20части стержня, известны. Но если на стержень наложены ло­кальные связи (например, шарнирное закрепление, как пока­зано на рис. В9), то эти уравнения малополезны.

Кроме того,получить из этих уравнений зависимость внутренних сил, на­пример, от осевой координаты 5 (см. рис. В11) практическиневозможно.Поэтому рассмотрим общий метод, позволяющий иссле­довать внутренние силы, возникающие в стержне при лю­бых внешних силах и условиях его закрепления. Рассмотримэлемент стержня бесконечно малой длины ds, показанный нарис. В13.

Элемент находится в равновесии, так как стерженьв целом находится в равновесии. Поэтому внешние нагрузки,действующие на элемент стержня (распределенные сила q имомент д), и внутренние сила Q и момент М должны бытьуравновешены. Считается, что линии действия распределен­ной силы q проходят через осевую линию стержня. Внутрен­ние сила Q и момент М в общем случае изменяются по длинестержня, поэтому в правом и левом сечении они отличаютсямежду собой на бесконечно малые приращения dQ и dM.Элемент стержня находится в равновесии, поэтому суммасил равна нулю:(Q + dQ) — Q + qds = О,21+ q = 0.(В5)dsСумма моментов от распределенных и сосредоточенныхсил и моментов, например, относительно точки О (см.рис. В13) - центра тяжести левого сечения - должна быть рав­на нулю, т.е.(М + dM) - М + д ds + ds [ei х (Q + dQ)] = 0.После преобразования, сохраняя только слагаемые первогопорядка малости, получаемdMz/т.

ч— + д + (в! х Q) = О,(В6)азгде в] х Q - векторное произведение единичного вектора ei,направленного по касательной к осевой линии стержня, и век­тора внутренних сил Q. Момент от распределенной силы qdsMg = qds —не учитываем, так как он является величиной второго порядкамалости.Векторные уравнения равновесия (В5) и (В6) являют­ся инвариантными (независимыми) по отношению к систе­ме координат.Уравнения (В5) и (В6) справедливы приисследовании как прямолинейных (см.

рис. В5, В6), так икриволинейных плоских стержней (см. рис. В4, В9), а так­же пространственно-криволинейных стержней (см. рис. В8).В последующих главах учебника будут более подробно рас­смотрены частные случаи общих уравнений равновесия (В5),(В6).В качестве примера получим уравнения равновесия дляпрямолинейного стержня, нагруженного произвольной по на­правлению распределенной силой q (рис. В14).Вектор q в декартовых осях можно представить так:Q -(В7)Аналогично можно записать векторы Q и М:Q — QAi + Qyty +М = M2ii + Л/у12 +22(В8)gfaxnrqРис. В14Из уравнения (B5) можно получить три скалярные уравненияравновесия прямолинейного стержня, считая, что осевая ли­ния стержня мало отклоняется при нагружении от прямой (т.е.ds & dz):dQz_n_ndQydQx(В9)При малых отклонениях точек осевой линии от прямойможно положить Gj & ij, поэтому векторное произведениеei х Q = ii х Q =>2О• —!3ОИз векторного уравнения (В6) получаем три скалярные урав­ненияdMzdzdMvdzd&dxdzЕсли на каком-то участке стержня в поперечных сеченияхвозникает нормальная сила Qz = N, а прочие внутренние си­ловые факторы обращаются в нуль, то на этом участке имеетместо растяжение или сжатие в зависимости от направле­ния силы N.