Первая лаба в виде буклетика, страница 4

) 3(- )+ (- ')+ . Согласно необходимому условию экстремума функции г(Ь( «) приравниваем к нулю ее первую производную: з Щ(ь(0) ) 27(2 9Ь (0) )2+ (8(( Ь(0) ) Ь(О)) 9(1 Ь(О))+ 9(4+ Ь('))+ 27 18= О Отсюда получаем квадратное уравнение относительно Ь( ): 2187(Ь(0) )2+ $020Ь(0) 99 О решая которое находим Ь(0)= 0,$358 и Ь()= 0„3333. Проверяем в этих двух точках выполнение достаточного условия минимума функции з(Ь ), так как определяем минимум (0) 1 функции )(Х).

Для этого находим вторую производную функции з(Ь(О)): з(~)(Ь(О))= -4374Ь(0)+ 1026. Отсюда получаем з 12) (Ь(о) )= 432,0) 4> О, з (2)(ь(0) ) = — 43$,854< О. Поэтому в качестве оптимального шага выбираем Ь( )= 0,$358. (0) Тогда определяем Х( )= Х(о) Ь( ) РУ(х(о) ) (О 7778. 3 4074. 25928) )7~(х( ) )=: (-1,1852; 1,7778; 1,7778), ! ! СтУ(Х«) ) ! ! = 2,7795 У(Х(') )= - 10,8093. Данные значения, полученные на итерации Й= О, совпадают для обоих рассматриваемых методов: наискорейшего спуска и сопряженных градиентов. Согласно порядку выполнении данной лабораторной работы на этом завершаем решение вручную заданной задачи безусловной оптимизации и далее выполняем расчет экстремума на ЭВМ. Однако для изучения методов наискорейшего спуска и сопряженных градиентов продолжим рассмотрение примера. На итерации Й= 1 при использовании метода наискорейшего спуска для определения оптимального шага Й в направлении «) поиска минимума находим (Й«)) ~(Х(2)) х(Х«) й«)ххф~(1))) 0,7778+ й «0 1,1852 — 3,4074- й( ) 1,7778 2,5926- й(1) 1,7778 Решая задачу пип г(й( ) ), получаем й(1) = 0,2867.

Тогда опреде- (1) ~ ьп' ляем Х(З) Х(1) Й «) ЧУ(Х«) )= (1,1175; -3,9170; 2 0830), Сг.) (Х(2) ) = (0,7466; 0,2489; 0,2489), ! ! 'РР~(Х( ) ) ! ! = 0,8254 и ~(Х( ) )= — 11,9363. Аналогично можно получить Х и т.д. вплоть до выполне(з) ния условия (1.7) при Й= 9, как показывает расчет на ЭВМ. Нри применении метода сопряженных градиентов для определения оптимального шага Й( находим з(й( ) )= ~(Х( ) )= ! ! ЧУ(Х«) ! ! 2 = х(х<"- а"'(ху(х"')~ —,,хх(хР> ф= ! !,7 ~(Х(о) ) ! ! 2 где а), — весовые коэффициенты, и они могут быть как больше нуля, если )".(Х) увеличивается при росте Уь(Х), так и меньше нуля в противном случае.

2.3. Как мультипликативный (в виде произведения) критерий У(Х) = ПУ„х(Х) . й=1 2.4. Как минимаксный критерий ппп ~шах Ув(Х) ~, т.е. Хе Хх) Й ~(Х) = шах Уь(Х). 2.5. В виде максимияного критерия шах ~ ш(п ~ь(Х)~, т.е. Хе Хх) х ,)х (Х ) = шш (" з (Х ) . В общей постановке задача (1.1) — (1.2) оптимального проектирования представляет собой задачу математического программирования. Существуют следующие виды данной задачи: 1.

Если отсутствуют ограничения на значения управляемых параметров, то имеем задачу безусловной оптимизации (или задачу на безусловный экстремум), 2. Если ограничения существуют, то зто задач» условной оптимизации. 3. Если ((Х) и все функции ограничений линейны, то имеем задачу линейного программирования. 4. Если хотя бы одна функция среди ~(Х) и функций ограничений (1.2) яелинейна, то приходим к задаче нелинейного программирования. 5.

Если некоторые или все управляемые параметры могут принимать лишь определенные дискретные значения, то имеем задачу дискретного программирования, 6. Если управляемые параметры могут принимать только целочисленные значения, то приходим к задаче целочисленного программирования. Экстремум может быть глобальным и локальным, и соответственно имеем задачи нахождения глобального или локального экстремума. Глобальным минимумом функции ('(Х) на множестве Хг) с Е" (Е" — и-мерное эвклидово пространство) называется та- котором скалярная целевая функция /(Х) принимает оптимальное значение (или значения) при условии, что Х принадлежит области допустимых значений ХХ>, задаваемой ограничениями (1.2) типа неравенств Ч'(Х) < 0 и/или равенств Ф(Х) = О.

Данные ограничения записаны в векторной форме и их можно переписать в скалярной форме, например, вместо Ф(Х) = О будет ~р (х(,...,х )= 0 ()= 1.,т, т< л). В общей постановке задача оптимального проектирования представляет собой задачу математического программирования. Из постановки задачи оптимального проектирования следует, что для ее формулировки и решения вначале необходимо: 1) выделить некоторую совокупность управляемых параметров проектирования — вектор независимых переменных Х= (х (, ..., х „), фиксация значений которых определяет один из вариантов структуры объекта, его параметры и количественные характеристики, в том числе значения целевой функции и функций ограничений; 2) сформировать скалярную целевую функцию /(Х); 3) из ТЗ сформировать функции ограничений Ч'(Х) и Ф(Х), если таковые имеются.

Существуют следующие способы построения целевой функции: Если имеется один частный критерий эффективности илн качества проектируемого объекта, то его и принимаем за целевую функцию У(Х) . 2. Если существует набор частных критериев эффективности У( (Х) .У2 (Х) -,У, (Х) „то возникает многокритериальная задача. Ова сводится к однокритериальиой путем формирования обобщенного критерия оптимальности, который и используем в качестве целевой функции: /(Х) = /(/((Х),/2(Х), ...,/, (Х) ). Обобщенный критерий формируется одним из следующих способов: 2.1. Из частных критериев выделяем наиболее важный /7(Х), а остальные не рассматриваем, тогда /(Х) = /„(Х) .

2.2. Как аддитивный (в виде суммы) критерий У(Х) = Х аь/ь(Х), ь=( 0,7778- Ь() (- 1,1852+ 0,07804 9) — 3,4074 — Ь() (1,7778+ 0,07804 3) 2,5926 — Ь(() (1,7778+ 0,07804 3) 0,7778+ Ь( ) 0,4828 — 3,4074- Ь() 2,0119 2,5926 — Ь( ) 2,0119 Решая задачу ш1п з ( Ь ( ) ), получаем Ь (~) = 0,30324. ) (о Тогда определяем — 0,4828 Х( ) = Х( ) — Ь( ) 2,0119 = (0,9242; — 4,0175; 1,9825), 2,0119 Ч/(Х( ) )= (-0,4376;-0,0525; — 0,0525), ~ ~ 'т/(Х(~) ) ~ ~ = 0,4438 и у(Х(~))= — 11,9823. Аналогично можно получить Х и т.д. вплоть до выполне- (3) ния условия (1,7) при Ь= 7, как показывает расчет на ЭВМ. Отметим, что при применении обоих методов получены результаты: ~ ) 7~(ХОО) ! ~ > ~ ~ д/(Х(() ) ~ ~ > ~ ~ 7/(ХОО) ,(, (о)) .( (О) ( (2)) которые и должны были иметь место при решении задачи поиска минимума любой дифференцируемой непостоянной функции /(Х).

Кроме того, в точке Х, найденной по методу сопряженных градиентов, значения нормы градиент» и функции меньше, чем в точке Х( ), полученной по методу наискорейшего спуска, что демонстрирует лучшую сходимость первого метода по сравнению со вторым. Аналогично из сравнения результатов решения задачи с помощью методов наискорейшего и градиентного спусков следует, что в каждой точке Х ' и Х значения нормы гради- (О (3) ента и функции меныпе при использовании метода наискорейшего спуска, чем метода градиентного спуска, что свидетельствует о лучшей сходимости первого метода по сравнению со вторым. сОдеРжАние ОтчетА 1.

Наименование работы. 2. Цель работы. 3. Решаемая задача согласно Вашему варианту задания. 4. Решение задачи безусловной оптимизации функции с помощью классического метода и выполнение первой итерации при решении задачи согласно каждому из трех итерационных методов: Ньютона, градиентного и наискорейшего спусков. 5. Полученные на ЭВМ результаты решения с точностью е= 10 задачи безусловной оптимизации функции на всех итерациях с помощью итерационных методов: Ньютона, градиентного н наискорейшего спусков, сопряженных градиентов. 6. Выводы на основе сравнительного анализа результатов решения одной и той же задачи безусловной оптимизации функции с помощью пяти методов. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 1. Сформулируйте необходимые н достаточные условия безусловного экстремума функции. 2. В чем состоит метод Ньютона и что он позволяет найтнг 3.

Опишите три градиентных метода, их геометрический смысл н сравните методы между собой. 4. Найдите решение заданной преподавателем задачи безусловной оптимизации функции с помощью классического метода и трех градиентных, выполнив з них две итерации. 5. Опишите методы случайного поиска и сравните их с градиентными. Работа 2. МКТОДЫ РКШЕНИЯ ЗАДАЧ , УСЛОВНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ Цель работы: изучить и практически овладеть основными методами решения задач условной оптимизации. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ Методы решения задач условной оптимизации прн ограничениях типа равенств Эти методы применяют для решения задач нелинейного программирования.

Работа 1. МЕТОДЫ РКШКНИЯ ЗАДАЧ БЕЗУСЛОВНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ Цель работки изучить и практически овладеть основными методами решения задач безусловной оптимизации. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ Постановка задачи оптимального проектирования ЭВМ, систем и сетей Задача оптимального проектирования на любом иерархическом уровне заключается в определении оптимальной структуры проектируемого объекта на этом уровне и/или его оптимальных параметров.

Под оптимальным будем понимать такой вариант структуры и/или параметров объекта, при котором критерий оптимальности, описывающий качество или эффективность об"ьекта, принимает оптимальное (наилучшее) значение, а управляемые параметры удовлетворяют ограничениям, описывающим требования технического задания (ТЗ) на проектирование объекта. Критерий оптимальности называют также целевой функцией, а оптимальное значение функции — экстремумом (им может быть минимум или максимум). Пример задачи оптимального проектирования: определение структуры ЭВМ максимальной производительности при заданных массогабаритных ограничениях, надежности и потребляемой мощности. В формализованном виде задача оптимального проектирования записывается следующим образом: ех$г /(Х); (1.1) Хе Хо ХВ= (,Х~ Ф(Х)= 0; Ч'(Х)< 0~.