Boit_K__Cifrovaya_yelektronika_BookZZ_or g (К. Бойт - Цифровая электроника), страница 7

4.Х Прямого логического умножения И. Рис.4.4. Правило логического сложения ИЛИ. (Ю Г 4. ~ бр Закон для операции логического умножения И показ = е зан на рис. 4.3. Схематично логическое умножение И можт= о~ но изобразить в виде последовательного соединения ключей. Логическая единица на выходе будет только в том случае, если оба ключа одновременно замкнуты (рис. 4.3). ОЕАР Иначе результат умножения равен нулю. Закон для операции логического сложения ИЛИ изобгис.

4.е. ПРавило ражен на рис 44 Для логического сложения ключи в логического отрица„(„я„) схеме Рис. 4.4 включены паРаллельно. На выходе бУдет логическая 1 тогда, когда хотя бы один ключ находится в состоянии 1. В логическом элементе НЕ единица на входе превращается в 0 на выходе, а 1 на входе — в 0 на выходе (рис. 4.5). 4.3.

Аксиомы и тождества алгебры логики 4.3.1. Аксиомы Правила для логической операции переменной величины с константой или переменной величины с самой собой или ее инвертированным значением называются аксиомами. Обозначим некоторую переменную величину как А. Все, что верно для А, верно и для любой другой переменной величины. На рис. 4.б изображены четыре возможные аксиомы логического умножения. Для представления инверсии А применен нормально-замкнутый контакт. Он замкнут, если главный выключатель разомкнут. И размыкается при замыкании главного выключателя.

Таким образом, при А л А один из последовательно включенных ключей всегда разомкнут и в линии имеет место разрыв (0). Представление аксиом алгебры логики в виде простых схем очень настядно. Также аксиомы можно изобразить в виде таблиц истинности (рис. 4.7). Аксиомы для логической операции сложения ИЛИ следуют из рис. 4.8. Операцию ИЛИ мохсно изобразить в виде параллельного включения контактов.

Если переменная инвертируется и затем еще раз инвертируется, то она принимает первоначальное значение (рис. 4.9). Два штриха инверсии над переменной не меняют ее состояния. Девять аксиом пронумерованы от 1 до 9. Под этими номерами они далее приводятся в сборнике Формул. 4.3.2. Законы коммугативности и ассоциативности Закон коммугативности еще называют переместительяым законом.

Он применяется для логического сложения и умножения и интуитивно понятен из схем на рис. 4.10 и 4.11. Результат операции логического умножения И нв зависит от порядка обработки переменных. Результат операции логического сложения ИЛИ не зависит от порядка обработки переменных. 4.4. 4 4 44 Д ГО ~Л .О=О Ф [а ,'Д~=:А ('»~. Ф 1АА,А Я Ф [АА 444УГ~=аД О!О ! О 1 !4 Рис. 4.9. Аксиомы лагическо- го отрицания НЕ. Ф Я О:Да Ф [А41=1 Ф ЯГ=Д Рис. 4.6. Аксиомы логического умно!кения И.

Рис. 4.8. Аксиомы логического умножения ИЛИ. Оар. А О 2=А О=О А-~~В 1 О О О 2 1 О О Ивр. А ! 2=А 1=А А ! О ! О А 2 1 1 ! Орр. А А 2 А4А=А А-~~В 1 О О О А 2 ! ! ! ар А д 2=А л О А — 41~~ л 1 О 1 О 2 1 О О Рис. 4.7. Таблицы истинности для аксиом логического умножения И.

! Рис. 4.10. Перемести- тельный за!сон для операции логического умножения И. Рис. 4.11. Перемсстительный закон дяя опе- рации логического саожения ИЛИ. ('42 Глава 4. Алгебра логики Ср г=лл Влс = л В)лс А г г Рис. 4.1К Сочстательный закон лля операции логического умножения И. а $ Рис. 443Ь Соя«тат«льный закон лля с операции логического сложения ИЛИ. Закон ассоциативности еще называют сочетательным законом. Он применяется для логического умножения (рис.

4.12) и сложения (рис. 4.13). Результат операции логического умножения И не зависит от порядка обработки переменных. Результат операции логического сложения ИЛИ не зависит от порядка обработки переменных. 4.3.3. Дистрибутивный закон Дистрибутивный закон также называют распределительным законом.

Распределительный закон логического умножения по отношению к сложению играет большую роль на практике при преобразовании логических выражений. Различают конъюнктивный распределительный закон и дизъюнктивный распределительный закон. Конъюнктивный распределительный закон записывается как Переменная А в операции логического умножения И «распределяется» по переменным В и С. Схема на рис.

4.14 доказывает правильность этого тождества. Так как оба контакта А могут коммутироваться только одновременно, узлы 1 и 2 можно соединить без изменения действия схемы. Чтобы еще лучше пояснить этот закон, тождество проверяется таблицей истинности (рис. 4.15). Состояния переменных в колонках Хи Уодинаковы. Значит, конъюнктивный распределительный закон верен. Дизъюнктивный распределительный закон записывается как Переменная А в операции логического сложения ИЛИ «распределяется» по переменным В и С.

Схема на рис. 4.1б доказывает правильность этого тождества. Так как оба контакта А могут коммутироваться только га в< <а с<=а <в с< <л В<~ <або<= лб<в ~с< Рве. 4Л5. Проверка правильности конъюнктивного распределительного закона при помощи таблицы истинности. Рис.4.14. Коньюнктивный распреде- лительный закон. одновременно, схему можно преобразовать, как это изображено на рис.

4.16, без изменения действия схемы. Советуем самостоятельно проверить последнее тождество таблицей истинности аналогично таблице на рис. 4.15. Покажем применение дизьюнктивного распределительного закона на примере. Упростим выра- жение <л в> <а с> = л <в, с> У= (К ч М~ л (К ч М) Рис. 4.16. Дизъюнктивный распределительный закон. Согласно дизъюнктивному распределительному закону оно преобразуется: АлА=О МлМ=О. Тогда для Л У = Кч(Мл М) д, =КчО Т Т А чО=А. Согласно аксиоме 5 (рис.

4.8) выражение (переменная ч О) равно переменной У = К. (Ач В) л(Ач С) =А ч (8 л С) Х=(КчМ)л КчМ)=Кч(МлМ). Выражение Мл М является логическим сложением переменной и ее инвертированного значения. По аксиоме 4 на рис. 4.б это выражение дает результат 0: Г 4ь а 4.3.4. Теоремы де Моргана Эта теорема доказывается с помощью таблицы истинности (рис. 4.17). Вторая теорема де Моргана: Согласно теоремам взаимно меняется тнп логической операции (И и ИЛИ).

Вторая теорема доказывается с помощью таблицы истинности (рис. 4.18). а в=д в л в=д в Рие. 4.18. Таблица истинности для доказа- тельства второй теоремы Моргана. Рис. 4Д7. Таблица истинности для доказа- тельства первой теоремы Моргана. Покажем важность теорем де Моргана на примере. С их помощью можно значительно упростить выражение: Р =ЯдЯм ЯЯЯдо. Первая часть уравнения Я л Я согласно первой теореме преобразуется в Я ч о". Втораи часть уравнения Я л Я согласно той же теореме преобразуется в Я но. Я согласно аксиоме 9 равно Я. Р=ЯлЯчЯл5; Р = Ячо" гЯчЯ; Р = Я ч Х ~ Я ~г Я. Последовательность переменных изменена.

Проведем преобразования по аксиомам 8, 7 и 6: и Я~У Английский математик де Морган (180Б — 1871) дополнил аксиомы алгебры логики теоремами, названными в его честь. Теоремы де Моргана имеют большое практическое значение при упрощении инвертируемых выражений для логических операций с элементами И-НЕ и ИЛИ-НЕ.

Существуют две теоремы де Моргана. Первая теорема де Моргана: 4.3. А д б 45) Р=1му Р=1 Теоремы де Моргана действуют также и для логических операций с большим количеством переменных: Задание Составьте таблицу истинности и проверьте истинность теоремы де Моргана для трех переменных. 4.3.5. Приоритеты логических операций Логическая операция И и ИЛИ с несколькими переменными может привести к неоднозначности. Уравнение л, =АчВлС может быль решено двумя способами. Можно сначала сложить переменные А и В, затем умножить результат на С. Соответствующая схема и таблица истинности изображены на рис. 4.19. С другой стороны, можно сначала перемножить переменные В и С, а результат сложить с А.

Соответствующая схема и таблица истинности изображены на рис. 4.20. л, в этих двух вариантах является результатом абсолютно разных логических операций. Неоднозначность можно устранить с помощью скобок. В первом случае нужно писать с = (А и В) л С. Во втором случае — У = А и (В л С1. и'в> с Рие.

4.1<>. Схема и таблица истинности дла функции Е= (А ц Д> л С. с л <ел с> Рне. 4.10. Схема и таблица истинности длл функ- цнии Ал(лц С). ф Г 4. ~ бр От скобок можно отказаться, если ввести приоритеты логических операций. Логическая операция с более высоким приоритетом выполняется перед другими логическими операциями.