18-11-2020-Теория_формальных_грамматик_и_языков (1) (Теория формальных грамматик)

Определение формальной грамматикии языкаОпределение. Конечное множество символов, неделимых в данномрассмотрении, в теории формальных грамматик называется словарем,или алфавитом, а символы, входящие в множество, - буквами алфавита.Например, алфавит A = {a, b, c, +, !} содержит 5 букв, а алфавит B = {00,01, 10, 11} содержит 4 буквы, каждая из которых состоит из двух символов.Определение. Последовательностьбуквалфавитаназывается словом или цепочкой в этом алфавите. Число букв, входящих вслово, называется его длиной.Например, слово в алфавите A a = ab++c имеет длину l(a) = 5, а слово валфавите B b = 00110010 имеет длину l (b) = 4.Если задан алфавит A, то обозначим A* множество всевозможных цепочек,которые могут быть построены из букв алфавита A.

При этом предполагается,что пустая цепочка, которую обозначим знаком $, также входит в множествоA*.Определение. Формальной порождающей грамматикой Г называетсяследующая совокупность четырех объектов: Г = { Vт, VA, <I>VA, R }, гдеVт - терминальныйалфавит (словарь); буквы этого алфавитаназываются терминальными символами; из них строятся цепочки,порождаемые грамматикой;VA - нетерминальный, вспомогательный алфавит (словарь); буквыэтого алфавита (нетерминальные символы) используются при построениицепочек; они могут входить в промежуточные цепочки, но не должны входитьв результат порождения;<I> - начальный символ грамматики <I>VA;R - множество правил вывода, или порождающих правил вида αβ,где α и β - цепочки , построенные из букв алфавита Vтназывают полным алфавитом (словарем) грамматики Г.VA, которыйВ множество правил грамматики могут также входить правила с пустойправой частью вида <Е>.

Чтобы избежать неопределенности из-заотсутствия символа в правой части правила, условимся использовать символпустой цепочки, записывая такое правило в виде <Е>$.Чтобыустановитьправилапостроенияцепочек,порождаемыхграмматикой , введем следующие понятия.Определение. Пусть r = τ → ϒ - правило грамматики Г и α = χ' τ χ" цепочка символов, причем χ', χ"(VтVA) *. Тогда цепочкα β = χ'χ "может быть получена из цепочки α путем применения правила r (т.е. заменойв цепочке α τ на).

В этом случае говорят, что цепочка β непосредственновыведена из цепочки α и обозначают αβ.Определение. Если задана совокупность цепочек Ω = (,,...,), таких что существует последовательность непосредственных выводов:,, ... ,⇨тотакуюпоследовательностьграмматике Г и обозначают,называют выводомизв*Определение. Множество конечных цепочек терминального алфавитаVт грамматикиГ,выводимыхиз начальногосимвола <I>,называется языком, порождаемым грамматикой Г и обозначается L(Г).L( Г ) = {Vт* | <I>*}Определение.

Если язык, порождаемый грамматикой Г, не содержит ниодной конечной цепочки (конечного слова), то он называется пустым.Утверждение. Для того, чтобы язык L(Г) не был пустым, в множестве Rдолжно быть хотя бы одно правило вида r = χсуществовать вывод<I>ψ, где ψVт* и должен*χТипы формальных языков играмматик. Классификация поХомскомуВ теории формальных языков выделяются 4 типа грамматик, которымсоответствуют 4 типа языков.

Эти грамматики выделяются путем наложенияусиливающихся ограничений на правила грамматикиГрамматики типа 0Грамматики типа 0, которые называют грамматиками общего вида, неимеют никаких ограничений на правила порождения. Эти грамматикипорождают естественные языки.Любое правилоr=ηψможет быть построено с использованием произвольных цепочек η ,ψ(VтVА)*. Например,<T><W><W><T> или x<A>b<C><D>x<H><D>Грамматики типа 1Грамматики типа 1, которые называют также контекстно-зависимымиграмматиками, не допускают использования любых правил. Правила выводав таких грамматиках должны иметь вид:χ1<A>χ2χ1 ω χ2,где χ1, χ2 - цепочки, возможно пустые, из множества (VтVА)*, символ<А>VА и цепочка ω(VтVА)*. Цепочки χ1 и χ2 остаются неизменнымипри применении правила, поэтому их называют контекстом (соответственнолевым и правым), а грамматику - контекстно-зависимой.Грамматики типа 1 значительно удобнее на практике, чем грамматики типа0, поскольку в левой части правила заменяется всегда один нетерминальныйсимвол, который можно связать с некоторым синтаксическим понятием, в товремя как в грамматике типа 0 можно заменять сразу несколько символов, втом числе и терминальных.Например, грамматика:Г1.

4:Vт = {a, b, c, d}, VА = {<I>, <A>, <B>}R = { <I>aA<I>,A<I>AA<I>,AAAA<B>A,Ab,b<B>AbcdA,b<I>ba }является контекстно-зависимой, поскольку второе и шестое правилаимеют непустой левый контекст, а третье и пятое правила содержат обаконтекста. Вывод в такой грамматике может иметь вид:<I>a<A><I>a<A><A><I>ab<A><I>abb<I>abbaГрамматики типа 2Грамматики типа 2 называют контектно-свободными и бесконтекстнымиграмматиками (КС-грамматики или Б-грамматики).Правила вывода таких грамматик имеют вид:<A>α,где <A>VА и α(VтVА)*.Очевидно, что эти правила получаются из правил грамматики типа 1 приусловии χ1 = χ2 = $.

Поскольку контекстные условия отсутствуют, то правилаКС-грамматик получаются проще, чем правила грамматик типа 1. Именнотакие грамматики используются для описания языков программирования.Примером КС-грамматики может служить следующая:Г1. 5:Vт = {a, b}, VА = {<I>},R = { <I>a<I>a,<I><I><I>b<I>b,aa,bb}Эта грамматика порождает язык, который состоит из цепочек, каждая изкоторых в свою очередь состоит из двух частей, цепочки βзеркального отображения этой цепочки β'.L( Г5 ) = { bb' | bVт* иVт+},где Vт+ - это множество Vт* без пустой цепочки.

С помощью правил этойграмматики может быть построена, например, следующая цепочка:<I>a<I>aab<I>baaba<I>abaababbabaГрамматики типа 3Грамматикитипа3 называют автоматнымиграмматиками (Аграмматиками). Правила вывода в таких грамматиках имеют вид:<A>a или <A>a<B> или <A>-<B>a,где aVт, <A>, <B>VА, причем грамматика может иметь толькоправила вида <A>a<B> - правосторонние правила, либо только вида<A><B>a - левосторонние правила. Примерами автоматных грамматикмогут служить правосторонняя грамматика Г1.

6 и левосторонняя грамматикаГ1. 7.Г1. 6Vт = {a, b}, VА = {<I>, <A>},R = { <I>a<I>,<I>a<A>,<A>b<A>,<A>b<Z>,<Z>$}Г1. 7Vт = {a, b}, VА = {<I>, <A>},R = { <I><A>b,<A><A>b,<A><Z>a,<Z><Z>a,<Z>$}Эти грамматики являются эквивалентными и порождают языкL(Г7) = {a...ab...b | n,m > 0}Между множествами языков различных типов существует отношениевключения:{Lтипа 3}{Lтипа 2}{Lтипа 1}{Lтипа 0}Доказано, что существуют языки типа 0, не являющиеся языками типа 1,языки типа 2, не являющиеся языками типа 1, и языки типа 3, не являющиеяязыками типа 2.Учитывая, что наибольшее практическое применение находят грамматикитипа 2 и типа 3, дальнейшее изложение посвящается рассмотрению именноэтих типов грамматик.Вывод в КС-грамматиках и правилапостроения дерева выводаФормальные грамматики позволяют задавать языки, представляющиемножества цепочек, построенных по определенным правилам.

Используемыйспособ задания позволяет построить любую цепочку, принадлежащую языку.Чтобы сделать процесс построения, называемый выводом, наглядным, егоизображаютввидеграфа,точнее,ввидедерева,котороеназывают синтаксическим деревом или деревом вывода. Учитывая, чтовывод любой цепочки языка, принадлежащей языку, порождаемомузаданной грамматикой, должен начинаться с начального символа, правилапостроения дерева можно сформулировать так:1. В качестве начальной вершины или корня дерева возьмем вершину,которую обозначим начальным символом грамматики <I>; эта вершинаобразует нулевой ярус дерева2.

Если при выводе цепочки на очередном шаге используется правилограмматики <A>α и вершина, помеченная нетерминалом <A>,расположена на ярусе с номером k-1, то к построенному дереву нужнодобавить столько вершин, сколько содержится символов в цепочке α,расположить эти вершины на ярусе k, обозначить их символамицепочки a и соединить эти вершины дугами с вершиной <A>.Результатом вывода является множество конечных узлов - листьев,которые выписываются при обходе дерева слева - вниз - направо вверх . Рассмотрим, например, грамматикy Г1.8:Г1.8:Vт = {a, b}, Va = {<I>},R = {<I>a<I>b,<I>ab },которая порождает язык L(Г8) = {aa...abb...b}, где а и b повторяются по nраз, n=1,2,...Вывод цепочки с помощью правил этой грамматики имеет вид:Рис.

1.Синтаксический разборВывод цепочки с помощью правил грамматики может быть задан нетолько в виде синтаксического дерева. Если пронумеровать правилаграмматики, то последовательность номеров используемых правил такжезадает вывод.Определение. Последовательность номеров правил грамматики Г,применение которых позволяет построить вывод рассматриваемой цепочки σизначальногосимволаграмматики,называется синтаксическимразбором σ.Например, в следующей грамматикеГ1.9:Vт = { i, +, * , (, ) }, VА = {<E>, <T>, <P>}R ={ (1) <E><E> +<T>,(2) <E><T>,(3) <T><T> *<P>,(4) <T><P>,(5) <P>(E),(6) <P>i },правила которой пронумерованы, вывод<E><E> +<T><T> +<T><P> *<P> +<T>i * <P> +<T>i * i +<P>i*i+i<T> *<P> +<T>i * i +<T>имеет синтаксический разбор [1,2,3,4,6,6,4,6].Если в процессе построения вывода появляются промежуточные цепочки,содержащие несколько нетерминальных символов, то можно продолжатьвывод, заменяя любой из них.

Таким образом, одни и те же правила могутбыть использованы при выводе цепочки в разном порядке.Например, вывод цепочки i + i в грамматике Г1.9 может быть получендесятью различными способами.Левый и правый выводыСреди всевозможных выводов наибольший интерес представляютследующие два типа выводов.Определение.