28 (Векторный анализ (Кузнецов Л.А.))
Описание файла
Файл "28" внутри архива находится в папке "28". PDF-файл из архива "Векторный анализ (Кузнецов Л.А.)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "остальное", в предмете "кузнецов (высшая математика)" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
8 _ 04 _ 28 _1a = ( x + xz 2 ) i + yj + ( z − zx 2 ) k , S : x 2 + y 2 + z 2 =9, P : z = 0 ( z ≥ 0 ) .П = Пн + Пбок ⇒ Пбок = П − ПнG GG∂a y ∂az ⎞⎛ ∂aП = ∫∫ (a, n)dS = ∫∫∫ div a dx dy dz = ∫∫∫ ⎜ x ++⎟ dx dy dz =∂x∂y∂z ⎠SVV ⎝= ∫∫∫ (1 + z 2 + 1 + 1 − x 2 ) dx dy dz = ∫∫∫ ( 3 + z 2 − x 2 ) dx dy dz =VVx = r cos θ cos ϕ 2π π / 2 3= y = r cos θ sin ϕ = ∫ dϕ ∫ dθ ∫ r 2 cos θ ⋅ (3 + r 2 sin 2 θ − r 2 cos 2 θ cos 2 ϕ ) dr =000z = r sin θ2π=∫ dϕ0=π /2∫02ππ /200⎛⎞3r5dθ ⎜ r 3 cos θ + ( sin 2 θ cos θ − cos3 θ cos 2 ϕ ) ⎟ | =5⎝⎠0⎛∫ dϕ ∫ ⎜⎝ 27 cos θ +243⎞sin 2 θ cos θ − (1 − sin 2 θ ) cos θ cos 2 ϕ ) ⎟ dθ =(5⎠⎛⎞⎞π /2sin 3 θ243 ⎛ sin 3 θ22sinθcosϕcosϕ+d27sin+−ϕθ⎜⎜⎟⎟ | =∫0 ⎝35 ⎝ 3⎠⎠ 02π=2π8181 sin 2ϕ ⎞ 2π⎛⎞⎛d27cos2ϕϕ27ϕ−=−⋅⎜⎟⎜⎟ | = 54π∫0 ⎝552 ⎠0⎠⎝GG GG Gn н = (0;0;1); a ⋅ n н = z − zx 2 ;(a ⋅ n н ) |z =0 = 0G GПн = ∫∫ (a ⋅ n н )dS = ∫∫ 0 ⋅ dS = 0=SSПбок = П − Пн = 54π − 0 = 54π8_04_28_2Проекция на плоскость OXY8 _ 05 _ 28 _1a = 2 xi + 3 yj + 4 zkP : 2x + 3 y + z = 1GGn = {2;3;1}; n = nx2 + n y2 + nz2 = 14 ⇒nynn231⇒ cos α = Gx =;cos β = G =;cos γ = Gz =141414nnndS = 1 + ( z x′ ) + ( z ′y ) dx dy = 1 + ( −2 ) + ( −3) dx dy = 14 dx dyGGП = ∫∫ andS = ∫∫ ( ax cos α + a y cos β + az cos γ ) dS =22S=x2⋅14Dxy=+ ay314+ az1 ⎞⎟ 14 dx dy = ∫∫ ( 2ax + 3a y + az ) dx dy =14 ⎠Dxy∫∫ ( 2 ⋅ 2 x + 3 ⋅ 3 y + 4(1 − 2 x − 3 y) ) dx dy = ∫∫ ( 4 − 4 x − 3 y ) dx dy =DxyDxy(1− 2 x ) / 31/ 2=∫01/ 2=2S⎛∫∫ ⎜⎝ a2∫0dx∫( 4 − 4 x − 3 y ) dy =01/ 2∫dx ( 4 y − 4 xy − 3 y 2 / 2 )0⎛ 2x5 x 2 7 x ⎞ 1/ 2 1⎛ 2 10 x 7 ⎞2x−+dx=−+⎜⎟ | =⎜⎟36⎠36 ⎠ 0 4⎝⎝ 33(1− 2 x ) / 3|0=8_05_28_2Проекция на плоскость OXY0.300.250.200.150.100.050.000.00.10.20.30.40.58 _ 07 _ 28 _1GGGGa = (3 yz − x)i + ( x 2 − y ) j + (6 z − 1)k⎧ z 2 = 9( x 2 + y 2 )S :⎨⎩z = 4Т .к.
поверхность замкнутая , то воспользуемся формулойОстроградского − Гаусса⎛ ∂ax ∂a y ∂az ⎞П=wa⋅n⋅dσ=divadxdydz=++⎜⎟ dx dy dz =∫∫σ∫∫∫∫∫∫∂x∂y∂z ⎠VV ⎝2π4/34x = r cos ϕ= ∫∫∫ ( −1 − 1 + 6 ) dx dy dz = 4 ∫∫∫ dx dy dz == 4 ∫ d ϕ ∫ r ⋅ dr⋅ ∫ dzy = r sin ϕ003rVV2π= 4 ∫ dϕ02π4/3∫ (4r − 3r02) dr = 4 ∫ d ϕ ( 2r − r203)128| =2704/32π∫ dϕ =0256π278_07_28_2Проекция на плоскость OXY1.00.50.00.51.01.00.50.00.51.08 _ 09 _ 28 _1GGGGa = 2 xy + i + 2 xy j + z 2 k⎧⎪ x 2 + y 2 + z 2 = 2S :⎨⎪⎩ z = 0( z ≥ 0)Т .к поверхнлсть замкнутая , то воспользуемся формулой ОстроградскогоG GG⎛ ∂ax ∂a y ∂az ⎞==++П=wandSa(;)divdxdydz⎜⎟ dx dy dz =∫∫S∫∫∫∫∫∫∂x∂y∂z ⎠VV ⎝x = r cos θ cos ϕ= ∫∫∫ ( 2 x + 2 y + 2 z ) dx dy dz = 2∫∫∫ ( x + y + z ) dx dy dz = y = r cos θ sin ϕ =V2π= 2 ∫ dϕπ /22π= 2 ∫ dϕ42∫ cos θ ⋅ dθ ∫ r00π /20=∫3(sin θ + cos θ cos ϕ + cos θ sin ϕ )dr =0(sin θ cos θ + cos 2 θ (cos ϕ + sin ϕ )) ⋅ dθ ⋅02ππ /200∫ dϕ ∫ (sin θ cos θ +2π4r4 2| =4 01 + cos 2θ(cos ϕ + sin ϕ )) ⋅ dθ =2⎛ sin 2 θ ⎛ θ sin 2θdϕ∫0 ⎜⎝ 2 + ⎜⎝ 2 + 4⎛ ϕ π (sin − cos ϕ ) ⎞ 2π=⎜ +⎟ | =π4⎝2⎠0=z = r sin θV⎞ π / 2 2π ⎛ 1 π (cos ϕ + sin ϕ ) ⎞⎞+(cossin)ϕϕ⎟ | = ∫⎜ +⎟⎟ dϕ =24⎠⎠⎠ 00 ⎝8_09_28_2Проекция на OXY21012210128 _10 _ 28F = − xi + yj,y2L: x += 1 ( x ≥ 0, y ≥ 0 ) ,9M (1, 0 ) , N ( 0,3) .2A = ∫ ( Fx dx + Fy dy) =Lx = cos ty = 3sin tπ /2=∫ 10sin t ⋅ cos t dt = 5sin02π /2π /2=t | =50∫ (− cos t ⋅ (− sin t ) + 3sin t ⋅ 3cos t ) dt =08 _11_ 28 _1a = xi − 3 z 2 j + yk ,⎧ x = cos t , y = 4 sin t ,Г:⎨⎩ z = 2 cos t − 4 sin t + 3.dx = − sin t dt; dy = 4 cos t dt; dz = (−2 sin t − 4 cos t ) dtЦ = v∫ ( ax dx + a y dy + az dz ) =Г2π=∫ ( cos t (− sin t ) − 3(2 cos t − 4 sin t + 3)2⋅ 4 cos t + 4 sin t (−2 sin t − 4 cos t ) ) dt =02π=∫ ( −108 cos t − 144 cos2t − 48 cos3 t + 271sin t cos t + 192 cos 2 t sin t − 8sin 2 t − 192 sin 2 t cos t ) dt =2t − 48(1 − sin 2 t ) cos t + 271sin t cos t + 192 cos 2 t sin t − 4(1 − cos 2t ) − 192 sin 2 t cos t ) dt =02π=∫ (−108 cos t − 144 cos0⎛192192 3 ⎞ 2π144 ⎛sin 2t ⎞48 3271 2sin t −cos3 t − 4t + 2 sin 2t −sin t ⎟ | == ⎜ −108sin t −sin t +⎜t +⎟ − 48 sin t +2332 ⎝2 ⎠3⎝⎠0= −152π420 246420 1.0 0.50.00.51.08_11_28_2Проекция на плоскость OXY421.00.50.5241.08 _12 _ 28 _1a = 3zi − 2 yj + 2 yk ,⎧ x 2 + y 2 = 4,Г: ⎨⎩2 x − 3 y − 2 z = 1.Формула СтоксаG GGGЦ = v∫ a ⋅ n ⋅ dS = ∫∫ n ⋅ rot a ⋅ d σГσGGGijkGG G⎛ ∂a ∂a y ⎞ G ⎛ ∂ax ∂az ⎞ G ⎛ ∂a y ∂ax ⎞ Grot a = ∂ / ∂x ∂ / ∂y ∂ / ∂z = ⎜ z −2−+−=jki+3j⎟i + ⎜⎜⎟∂y∂z ⎠ ⎝ ∂z∂x ⎟⎠∂x∂y ⎠⎝⎝axayazGn = (− z x′ ; − z ′y ;1) = (−1;3 / 2;1)GG3n ⋅ rot a = 2 ⋅ (−1) + 3 ⋅ = 5 / 22x2 + y 2 = 4G G55Ц = v∫ a ⋅ n ⋅ dS = ∫∫ ⋅ d σ = π R 2 = = 10π2Гσ 2зам.
Для повышения наглядности часть фигуры, занимающая 1 четверть, удалена8_12_28_221012210Проекция на плоскость OXY12.
