Билеты по Ангему, страница 4

Н.Э. БауманаФакультет ФН. Кафедра «Высшая математика»Экзаменационный билет № 19 по курсу:«Аналитическая геометрия»МТ и Э5, 1 курс, 1-й семестрМодуль 1: Векторы, прямые и плоскости1. Плоскость в пространстве, ее нормальный вектор. Вывод общего уравнения плоскости (в векторной и координатной форме).Вывод уравнения плоскости, проходящей через три заданныеточки, не лежащие на одной прямой, и уравнения плоскости в отрезках. (5 баллов)2.

Найти площадь параллелограмма, построенного на векторахa  2m  3n и b  5n  2m , если известно, что m  3 , n  2 ,(m ^ n)   (4 балла)33. Написать уравнение прямой, проходящей через точкуA( 1; 2; 3) параллельно плоскости  : 2 x  y  3z  5 и перпендиy 1 zкулярно прямой x  1 . (4 балла)321Модуль 2: Кривые и поверхности 2-го порядка,матрицы и СЛАУ4. Определение однородной и неоднородной СЛАУ. Условие совместности однородной СЛАУ. Доказать критерий существования ненулевого решения однородной СЛАУ и следствие для«квадратных» однородных СЛАУ. Свойство частных решенийоднородной СЛАУ.

(5 баллов)5. Построить кривую x  3  32 4 y  y 2(4 балла)6. Найти матрицу X из уравнения: 1 3 1  15 12 8  1 1 2  X   3 14 7  (4 балла) 4 3 2  21 9 26 7. Дополнительные вопросы: (5 баллов)Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 25.11.

2015 г.Зав. кафедрой «Высшая математика»Н.И. СидняевМосковский государственный технический университет им. Н.Э. БауманаФакультет ФН. Кафедра «Высшая математика»Экзаменационный билет № 20 по курсу:«Аналитическая геометрия»МТ и Э5, 1 курс, 1-й семестрМодуль 1: Векторы, прямые и плоскости1. Прямая в пространстве и ее направляющий вектор. Общие уравнения прямой. Вывод параметрических (в векторной и координатной форме) и канонических уравнений прямой. Уравнения прямойпроходящей через две заданные точки.

Вывод формулы для расстояния от точки до прямой в пространстве (5 баллов)2. В параллелограмме ABCD известны координаты вершин:A(5;  3; 2) , B(2;  2;1) , D (6;3; 2) . Найти острый угол между диагоналями параллелограмма. (4 балла).3. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямуюx  3  y  1  z  1 и параллельной прямой АВ, где A(3; 2; 1), B(1; 1; 4)243(4 балла)Модуль 2: Кривые и поверхности 2-го порядка,матрицы и СЛАУ4. Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), координатная и матричная записи, частное и общее решения. Влияниеэлементарных преобразований расширенной матрицы СЛАУ на еёобщее решение. Алгоритм Гаусса решения СЛАУ.

Выбор базисных и свободных переменных, их количество. (5 баллов)5. Найти матрицу X из уравнения: 5 4 3  18 21 20  2 1 1  X   5 7 7 (4 балла) 4 1 3  13 9 19 6. Найти ранг матрицы в зависимости от параметра 2 1  1 A   1 1 1 4 (4 балла)5 1 7 2 7. Дополнительные вопросы: (5 баллов)Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 25.11. 2015 г.Зав.

кафедрой «Высшая математика»Н.И. СидняевМосковский государственный технический университет им. Н.Э. БауманаФакультет ФН. Кафедра «Высшая математика»Экзаменационный билет № 21 по курсу:«Аналитическая геометрия»МТ и Э5, 1 курс, 1-й семестрМодуль 1: Векторы, прямые и плоскости1. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Вывести необходимые и достаточные условия, при которых двеплоскости: (а) совпадают; (б) параллельны (в) пересекаются;(г) перпендикулярны. Нахождение расстояния между двумя параллельными плоскостями.

(5 баллов)2. В Найти площадь треугольника АВС, где A(3;  2; 1), B(1; 3; 4),C (2; 1; 5) , и величину угла ВАС (4 балла).3. Написать уравнение плоскости, проходящей через точкуy2 z4A(2; 5; 1) и прямую x  1 (4 балла)232Модуль 2: Кривые и поверхности 2-го порядка,матрицы и СЛАУ4. Комплексные числа и комплексная плоскость.

Сложение и умножение комплексных чисел, их свойства. Операция комплексного сопряжения, модуль и аргумент комплексного числа, их свойства. Деление комплексных чисел. Тригонометрическая формакомплексного числа. Формулы умножения и возведения в натуральную степень комплексных чисел в тригонометрической форме.

(5 баллов).5. Найти матрицу X из уравнения:1 25 912 20X(4 балла)4 33 513 25x2  2 x3  x4  4 x1  x2  3x3  2 x4  106. Решить СЛАУ (4 балла)x1 x3  x4  6 3x1  x2  5 x3  4 x4  227. Дополнительные вопросы: (4 балла)   Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 25.11.

2015 г.Зав. кафедрой «Высшая математика»Н.И. СидняевМосковский государственный технический университет им. Н.Э. БауманаФакультет ФН. Кафедра «Высшая математика»Экзаменационный билет № 22 по курсу:«Аналитическая геометрия»МТ и Э5, 1 курс, 1-й семестрМодуль 1: Векторы, прямые и плоскости1. Базис на плоскости и в пространстве. Ортонормированный канонический базис i, j, k .

Доказать единственность разложения вектора по базису. Определение координат вектора в данном базисе.Доказать теорему о линейных операциях над векторами в координатной форме. (5 баллов)2. В параллелограмме ABCD известны координаты вершинB(1; 1;1) , C (2; 0;  3) и D (3;  3; 2) . Найти высоту, опущенную из вершины A на сторону CD (или ее продолжение) (4 балла).3. Написать уравнение плоскости, проходящей перпендикулярно плосy 1 z  3кости 2 x  y  3z  5 через прямую x  2 (4 балла).341Модуль 2: Кривые и поверхности 2-го порядка,матрицы и СЛАУ4.

Многочлен с действительными или комплексными коэффициентами, его корень, кратность корня. Теорема Безу и её следствие.Основная теорема алгебры и её следствие о разложении многочлена с комплексными коэффициентами на множители. Теорема оразложении многочлена с вещественными коэффициентами на неприводимые множители. (5 баллов)5. Найти ранг матрицы в зависимости от параметра :5  1 7 A   2 1 4 2  (4 балла) 1 2 1 3  3x1  2 x2  7 x3  x4  12 x1  x2  4 x3  2 x4  46. Решить СЛАУ (4 балла)2 x1  3 x2  9 x3  5 x4  84 x1  x2  2 x37. Дополнительные вопросы: (5 баллов)Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 25.11.

2015 г.Зав. кафедрой «Высшая математика»Н.И. Сидняев.