МУ-О-67 (Интерференция световых волн с различной длиной когерентности)

1Московский государственный технический университет им. Н.Э. БауманаИ.Н. ФетисовИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТОВЫХ ВОЛН С РАЗЛИЧНОЙ ДЛИНОЙ КОГЕРЕНТНОСТИМетодические указания к выполнению лабораторной работы О-67по курсу общей физикиМосква 2010ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ1. Гармонические колебания и волныКолебания называются гармоническими, если физическая величина ξ изменяется по закону синуса или косинуса (рис. 1)ξ(t) = A cos 2πt/T = A cos 2πνt = A cos ωt,ξ(t)A0tΤРис. 1. Гармоническое колебаниегде A - наибольшее отклонение от положения равновесия (амплитуда), T - периодколебаний, ν = 1/T - частота, Гц; ω = 2πν – циклическая (круговая) частота, с-1. Величина ωt называется фазой колебаний; в общем случае фаза включает в себя начальную фазу φ и равна (ωt + φ).При различной физической природе колебательные и волновые процессыимеют общие закономерности.

Поэтому при изучении световых волн полезносначала рассмотреть более наглядные механические волны в веществе.Пусть пластина, например диффузор громкоговорителя, колеблется в воздухе. Колебания пластины приводят к колебаниям частиц воздуха вблизи пластины.Тогда в воздухе возникает процесс распространения колебаний, называемый упругой волной.

Возмущение, происшедшее в некоторой точке среды, проявляетсяспустя определенное время в другой точке, т. е. передается с определенной скоростью.2Предположим, что пластина колеблется по гармоническому закону, имеющему особую роль среди различных колебаний и волн. Рассмотрим распространение волны вдоль оси X, проведенной перпендикулярно к пластине. Смещение ξчастиц среды из положения равновесия является функцией координаты и времени, т.

е. ξ= f (x,t). Уравнение гармонической волны имеет вид [1-3]ξ(x,t) = A cos ω(t – x/u),(1)где A – амплитуда волны, u – фазовая скорость волны. Величина x/u в аргументефункции (1) равна времени, затраченному на прохождения волной расстояния x отисточника волн.Волна (1) периодична во времени и в пространстве, поскольку косинус имеет период 2π. Период во времени (период колебаний) равенT = 2π / ω.Из периодичности в пространстве ω∆x/u = 2π находим ∆x = 2π u/ω = uT.

Расстояние ∆x называют длиной волны λ. Таким образом, длина волны – это расстояниемежду ближайшими точками среды, колеблющимися с разностью фаз 2π. Другими словами, это расстояние, на которое распространяется волна за время, равноепериоду колебаний T:λ = uT.Поскольку T = 1/ν, длину волны можно представить в видеλ = u/ν.Уравнение гармонической волны (1) принято записывать в более удобномвидеξ(x,t) = A cos (ωt – k x),(2)гдеk = 2π/λ = ω/uназывают волновым числом.Уравнения (1) и (2) описывают плоскую, незатухающую, гармоническую,бегущую волну. В плоской волне волновые поверхности (на них точки среды колеблются в одинаковой фазе) имеют вид плоскостей.

Звуковая волна будет плоской, если длина волны много меньше размеров диффузора и расстояния от динамика. Дальше рассматриваются волны (2).Наглядными являются волны на длинном шнуре или на поверхности воды.«Фотографии» таких волн схематически изображены на рис. 2. На нем представлена зависимость смещения ξ от координаты x для двух близких моментов време-3ни, разделенных промежутком ∆t.

За это время волна смещается на расстояниеu∆t.ξ(x)tu∆tt+∆t0xλРис. 2. Гармоническая волна2. Интерференция волнРассмотрим сложение двух гармонических волн одинаковых частотыи направления колебаний. Для наглядности будем считать, что волны - звуковые ииспускаются двумя громкоговорителями, к которым подключен источник переменного тока (рис. 3).r1r2PРис. 3.

Схема интерференции звуковых волн с одним источником переменного токаВолны обладают способностью свободно проходить друг через друга. Вместах пересечения волн происходит сложение колебаний частиц среды. Пусть внекоторой точке колебания от двух источников волн описываются уравнениямиξ1 (t) = A1cos ωt,(3)ξ2 (t) = A2cos (ωt +δ),(4)4где A1 и A2 – амплитуды колебаний, а δ – разность фаз двух колебаний. В результате сложения двух колебаний образуется гармоническое колебание той же частоты. Амплитуду результирующего колебания легко найти с помощью векторнойдиаграммы (рис. 4) и теоремы косинусов:A2 = A12 + A22 + 2A1 A2 cos δ.A(5)A2δA1Рис. 4.

Векторная диаграмма сложения двух колебанийЕсли разность фаз δ как-то изменяется во времени, то такие колебания (иволны) называются некогерентными. Когда δ хаотически изменяется, причем так,что среднее по времени значение <cos δ> = 0, то последнее слагаемое в (5) обращается в нуль и остаетсяA2 = A12 + A22.Перейдем от амплитуды к интенсивности волны. Интенсивность I равнаэнергии (Дж), переносимой волной за единицу времени (с), через площадку S = 1м2, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны.

Единица измерения интенсивности Вт/м2. Интенсивность пропорциональна квадратуамплитудыI~ A2.Тогда в результате сложения некогерентных волн получаем правило сложенияинтенсивности двух волн:I = I1 + I2 .(6)Если же разность фаз δ постоянна во времени, то такие колебания (и волны)называются когерентными. В случае сложения когерентных волн интенсивностьрезультирующего колебания, согласно (5),I = I1 + I2+ 2 (I1 I 2)1/2 cos δ.Последнее слагаемое в формулах (5) и (7) называют интерференционнымчленом. Рассмотрим его влияние на результирующую интенсивность.

В точкахпространства, гдеcos δ > 0, I > I1 + I2;там же, где(7)5cos δ < 0, I < I1+I2.Другими словами, при сложении когерентных волн происходит перераспределение интенсивности I (энергии) в пространстве: в одних местах возникаютмаксимумы, в других – минимумы интенсивности. Это явление называют интерференцией волн.Особенно отчетливо интерференция проявляется тогда, когда I1 = I2. Тогда,согласно (7),I = 4 I1в максимумах интенсивности иI=0в минимумах.

Для некогерентных волн при I1 = I2 интенсивность I всюду одинакова и, согласно (6),I = 2 I1 .Волны от двух излучателей звука на рис. 3 когерентны и создают интерференционное звуковое поле: громкость звука изменяется при переходе из одногоместа в другое.Обозначим разность расстояний r2 и r1 от источников волн до интересующейнас точки P как ∆ = r2 - r1 (рис. 3). Эту величину называют разностью хода. Разность фаз δ и разность хода ∆ связаны соотношениемδ = 2π ∆/λ.Если разность хода равна целому числу длин волн, т. е.∆ = mλ, m = 0, ± 1, ± 2,… ,(8)то колебания, возбуждаемые в точке P обеими волнами, будут происходить в фазе(число m называют порядком интерференции). Таким образом, (8) есть условиевозникновения интерференционных максимумов.

В точках же, для которых разность хода равна полуцелому числу длин волн∆ = ± λ/2, ± 3λ/2, ± 5λ/2, …,(9)образуются минимумы.Если же громкоговорители подключить к двум независимым генераторампеременного напряжения одинаковой частоты (рис. 5), то добиться когерентныхволн трудно. По многим причинам частота генераторов изменяется (и систематически, и хаотически), поэтому изменяется разность фаз двух колебаний, что приводит к разрушению интерференции.Если частоты двух генераторов отличаются на ∆ω = 2π∆ν, то это эквивалентно следующей ситуации: частоты точно одинаковые, но разность фаз δ двухколебаний нарастает со временем t по законуδ = (∆ω) t = 2π (∆ν) t.6Рис.

5. Схема интерференции звуковых волн с двумя источниками переменного токаПредположим, что за время t возникнет разность фаз δ = π. Тогда в данной точкемаксимум сменится на минимум (и наоборот) за время t = 1/(2∆ν), которое назовем «временем когерентности»:tког = 1/(2∆ν).(10)Ясно, что интерференцию можно будет наблюдать в течение времени t < tког.Возьмем для примера время наблюдения t набл = tког /10.

Тогда частоты двух генераторов не должны отличаться больше, чем на ∆ν = 1/(20 t набл). Для t набл =50 с получаем ∆ν = 10-3 Гц. Этот пример показывает, что для получения интерференции вслучае двух независимых источников волн частоты генераторов должны бытьочень стабильными.3. Интерференция световых волнСвет представляет собой электромагнитную волну, которая характеризуется векторами напряженности электрического E и магнитного H полей. Векторы Eи H перпендикулярны друг к другу и направлению распространения волны, т. е.свет является поперечной волной. Поскольку практически все действия света связаны с вектором E, принято говорить о световом векторе, имея в виду вектор E.Скорость света в вакууме c = 3.108 м/с, а скорость u в веществе – меньше.Отношениеn = c/uназывают показателем преломления среды. Для твердых и жидких веществ типичное значение n около 1,5; для воздуха n очень близко к единице.В вакууме длины волн видимого света простираются от λ = 400 нм (фиолетовое излучение) до λ = 760 нм (красное).