Сборник задач для упражнений по курсу - Основы вычислительной метаматики, страница 3

. . , n заданы значения периодической с периодом 1 функции y = f (x).а) Выписать формулы для коэффициентов тригонометрического интерпоnXcm e2πimx , принимающего заданляционного многочлена Pn (x) + iQn (x) =m=0ные значения yk = f (xk ) в узлах сетки.б) Записать Pn (x) в формеPn (x) = a0 +nX(ak cos 2kπx + bk sin 2kπx)k=1в) Пусть функция f (x) обладает свойством нечетности относительно середины отрезка [0, 1]:f (x) = −f (1 − x).Какие упрощения возникнут?г) Составить программу на ЭВМ для тригонометрической интерполяциифункций.Указание: Воспользоваться следующим свойством ортогональности тригонометрического базиса:hf (x), g(x)i ≡nXf (xk )g(xk )k=0he2πimx , e2πipx i ≡nXk=0e2πimx e−2πipx = (n + 1)δpm– 18 –Б.

Погрешность интерполяцииV.5. С каким шагом нужно составить таблицу значений функции y = f (x),чтобы при использовании линейной интерполяции погрешность не превосходила 10−3 :а) f (x) = sin x,б) f (x) = ln x, x > 1,в) f (x) = ex , 0 ≤ x ≤ 1.V.6. С каким шагом нужно составить таблицу значений функции y =f (x), чтобы при использовании квадратичной интерполяции погрешность непревосходила 10−3 :а) f (x) = sin x, б) f (x) = ln x, x > 1, в) f (x) = ex , 0 ≤ x ≤ 1. Сравнитьс результатом задачи V.5.V.7. Составляется таблица значений функции y = sin x в неравноотстоящих точках x0 < x1 < x2 < · · · < xn , max(xk+1 − xk ) = h.kа) При каком h линейная интерполяция позволяет восстановить sin x сточностью 10−4 между узлами?б) Тот же вопрос для квадратичной интерполяции.в) Какова в обоих случаях допустимая неточность в задании табличныхзначений, увеличивающая погрешность полученной интерполяции не болеечем вдвое, то есть до 2 · 10−4 ?Ответить на последний вопрос при дополнительном предположении о постоянстве шага сетки xk+1 − xk = h = const и без этого дополнительногопредположения.V.8† .

Функция y = f (x) задана таблицейxy0.20500.207920.20520.208130.20600.208960.20650.209490.20690.209900.20750.21053Значения f (x) в таблице получены округлением и отклоняются от точных неболее чем на ∆y = 5 · 10−6 .а) Вычислить f (0.2062), пользуясь линейной, квадратичной и кубическойинтерполяциями по ближайшим точкам. В какой форме — Лагранжа илиНьютона — удобнее записывать интерполяционные многочлены?Составить представление о погрешностях, используя остаточный член интерполяцииf (n+1) (ξ)Rn (x) =(x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xn )(n + 1)!и приближенное равенствоMk ≡ max f (k) (x) ≈ k! max |f (xm , xm+1 , .

. . , xm+k )| ,xxm– 19 –где f (xm , xm+1 , . . . , xm+k ) — разделенная разность порядка k.б) Вычислить f (0.2026), пользуясь линейной, квадратичной и кубическойэкстраполяцией по ближайшим точкам. Составить представление о погрешности.в) Сделать вывод о применимости приближенных оценок для погрешностиинтерполяции сравнив результаты с точным значением для f (x) = tg x.V.9. При исследовании некоторой химической реакции через каждые 5минут определялось количество вещества, оставшегося в системе. Результатыизмерений указаны в таблицеtν783.71272.91763.22254.72747.53241.43736.3Определить количество вещества в системе по истечении 25 минут после начала реакции.Указание.

Составить таблицу разделенных разностей. Из этой таблицывидно, что уже третьи разделенные разности теряют регулярный характер.Поэтому воспользуемся квадратичной интерполяцией.В. Обратная интерполяцияV.10. По заданным значениям функции1−6xy2−12.515.6316найти значение x при котором y = 0.V.11. Используя таблицу значений функции y = sh xxy2.24.4572.45.4662.66.6952.88.1983.010.019найти то значение x, при котором sh x = 5.V.12. Используя значения функции y = lg x, указанные в таблицеxy201.3010251.3979301.4771найти то значение x, при котором lg x = 1.35.V.13. Вычислить положительный корень уравнения z 7 + 28z 4 − 480 = 0посредством обратного интерполирования.Указание.

Составить таблицу значений y = z 7 + 28z 4 − 480 в точках z =1.90, 1.91, 1.92, 1.93 и 1.94. Убедиться, что корень лежит между 1.92 и 1.93.– 20 –VI. Квадратурные формулы−4VI.1.Z 1 Вычислить собственный интеграл с точностьюZ 1 10 :sin xsin x2 dx,а)б)dx,21+x00Z 1Z 2ln(1 + x2 )2в)e−x dx.dx,г)x00−4VI.2.Z 1 Вычислить несобственный интеграл с точностьюZ 1 10 :dxcos x√ dx,√ ,а)б)(1+x)xx00Z 1Z 1.5 xarctg xe√ dx,√ dx,г)в)x xx0Z0 π/2 pπ/2 − xд)dx.cos x0†−3VI.3Z ∞. Вычислить несобственный интеграл с точностьюZ ∞ до 10 :dx2√ ,а)e−x sin xdx,б)Z 1∞Z1 ∞ (1 + x) xsin x1 − cos x√ dx.г)√в)dxxx x00Z π/21lne)dx.sin x0−6VI.4.Z 1 Вычислить интеграл от колеблющейся функцииZ 2 с точностью 10 :sin 100xcos 100x ln xdx.а)dx,б)1+x01– 21 –VII. Обыкновенные дифференциальные уравненияVII.1.

Проанализировать следующие несколько разностных схем для задачи Кошиdx(t)= ax,dtx(0) = x0а)0 ≤ t ≤ T,xn+1 − xn= axnτб)a = constxn+1 − xnxn + xn+1=aτ2xn+1 − xn−1xn+1 − xn−13xn − xn−1= axnг)=a2τ2τ2Вычислить порядок аппроксимации, найти точное решение и исследоватьего на сходимость к решению дифференциальной задачи, указать дополнительные краевые условия в схемах в) и г) и выяснить их влияние на сходимость и требования к точности их задания.в)VII.2.

Выписать формулы метода Эйлера с пересчетом для следующихзадача) y 0 (x) = x + cos y(x), y(1) = 30, 1 ≤ x ≤ 2б) y 0 (x) = x2 + y 2 (x), y(2) = 1, 1 ≤ x ≤ 2Провести вычисления с шагом h = 13 .VII.3. Выписать формулы для численного решения системы обыкновенных дифференциальныхуравнений при заданных начальных условияхdvdv= v + w,= vw, dx dxб) duа) du= v 2 − w2 ,0≤x≤1= v + w,1≤x≤2dxdxv(0) = 1, w(0) = 2v(1) = 2, w(1) = 3VII.4. Приближенно решить задачу Кошиd2 y= y sin x, 0 ≤ x ≤ 1dx2y(0) = 0, y 0 (0) = 1а) Описать алгоритм, основанный на переходе к системе двух уравненийпервого порядка с последующим решением этой системы.– 22 –б) Описать алгоритм, основанный на замене уравнения y 00 = y sin x разностным уравнением второго порядка.VII.5.

Рассчитать траекторию x(t), y(t), задаваемую следующим образом:d2 x= x(y 2 − 1),dt2d2 y= y(x2 − 1),0 ≤ t ≤ 20dt2x(0) = α, y(0) = 1dx dy == 0.dt t=0dt t=0VII.6. Составить таблицу с шагом h = 0.25 функции β = β(α), котораязадана следующим образом:d2 x+ x3 = 1 − t2 , 0 ≤ t ≤ Tdt2x(0) = α, x0 (0) = 0, −1 ≤ α ≤ 0β(α) = x(t, α)t=1VII.7† . Построить численно общие решения для следующих дифференциальных уравнений:а)d2 y− (10 + x)y = xe−x ,dx20 < x < 10б)d2 y+ (10 + x)y = xe−x ,dx20 < x < 10.Чем объяснить необходимость существенно различных алгоритмов для задач а) и б)?VII.8.

а) Составить разностную схему, аппроксимирующую краевую задачуddxdxP (t)+ g(x) + r(t)x = f (t),dtdtdtс краевыми условиями периодичностиx(0) = x(T ),0≤t≤Tdx dx = .dt t=0dt t=T– 23 –б) Привести разностное уравнение к стандартной формеan xN −1 + bn xn + cn xn+1 = fn , n = 0an xn−1 + bn xn + cn xn+1 = fn , n = 1, 2, . . . , N − 2an xn−1 + bn xn + cn x0 = fn , n = N − 1,где N = Tτ . Выписать матрицу системы.

При условии P (t) > 0 найти достаточное условие на функции r(t), q(t) и параметр τ для наличия у матрицысистемы диагонального преобладания.в) Вывести формулы периодической прогонки (по Абрамову), исходя иззаданной формы прогоночного соотношения xn−1 = αn xn + βn + γn xN −1 .г)*† Вычислить на ЭВМ решение в случаеP (t) = 1 + sin2 t, q(t) = cos t, r(t) = −1, f (t) = cos2 t − 3 sin3 t,T = 2πи сравнить его с точным x(t) = sin t.VII.9*. Найти наименьшее число λ, при котором следующая задача имеетнетривиальное решение 2(d x002y + (λ − x )y = 0, x ∈ [0, 1]+ λtx = 0, x ∈ [0, 1]а)в) dt2y(0) = y(1) = 0x(0) = x(1) = 0(y 00 + (λ − x)y = 0, x ∈ [0, 1]б)y(0) = y 0 (1) = 0VII.10*. При заданных значениях параметра α численно найти периодическое решение следующей системы уравнений dx= x + y − αx3dtdy = −x + y − y 3dtа) α = 0.1б) α = 1.0в) α = 10.0VII.11.

а) Описать алгоритм вычисления решения на отрезке 0 ≤ x ≤ 1уравненияdyβy 3 + γ(y 2 + 2x) − y=,dxαx3 − 2γxy + 3y 2 + xα > 0, β < 0, γ > 0.проходящего через точку (0, 0).б)* вычислить решение при α = 1, β = −1, γ = 1 на ЭВМ с точностью−310 .– 24 –VII.12.

Для численного отыскания периодического с периодом единицарешения уравненияy 00 − P 2 (x)y = f (x),где P 2 (x) > 0 и f (x) — заданные периодические функции, используется разностная схемаy1 − 2y0 + yN −1−P 2 (0)y0= f (0),2h yn+1 − 2yn + yn−1−P 2 (nh)yn= f (nh), n = 1, 2, . . . , N − 22hy0 − 2yN −1 + yN −2−P 2 (1 − h)yN −1 = f (1 − h),h2где N h = 1.а) Предложить модификацию метода прогонки для вычисления решенияразностной задачиб)* Фактически вычислить решение при h = 0.005 в случаеP 2 (x) = 10 + sin 2πx,f (x) = cos 2πx.VII.13. Построить алгоритм метода пристрелки для вычисления решенийследующих нелинейных задач(√0≤x≤1y 00 − x y = 0,а)y(0) = 0, y(1) = 2(√y 00 − x y = 0,0≤x≤1R1б)y(0) = 0, 0 y(x)dx = 1– 25 –VIII.

Эволюционные задачи для уравнений счастными производнымиVIII.1. Построить разностные схемы для решения задачи Коши для уравнения переноса∂u ∂u+= f (x, t),∂t∂xu(x, 0) = ψ(x)−∞ < x < ∞, 0 ≤ t ≤ TИсследовать эти схемы на устойчивость и указать их порядок аппроксимации.

Использовать шаблона) ttttб) tttttв) tttг) tttttttttж) tд)tе)tз) Указать единственную (с точностью до способа аппроксимации правой части) схему с порядком аппроксимации O(τ 2 , h2 ), построеннуюна шаблоне в).VIII.2. Построить разностные схемы для задачи∂ 2u∂u− a2 (x, t) 2 = 0∂t∂xu(x, 0) = ψ(x)ssssиспользуя шаблоны s s s иs .Исследовать полученные схемы на устойчивостьа) по начальным данным;б) по спектральному признаку, используя принцип замороженных коэффициентов.– 26 –VIII.3. Построить явную и неявную разностные схемы для следующейначально-краевой задачи∂u∂ 2u− u2 2 = x2 + t, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ t ≤ T∂t∂xu(x, 0) = x, u(0, t) = t, u(1, t) = 1 + t2а) Описать алгоритм вычисления решенияб) Написать программу и осуществить вычисления, используя явную схему.Использовать шаг h = 0.05 для сетки по x, шаг по t выбирать из условияустойчивости.в)* Написать программу и осуществить вычисления, используя неявную схему.

Шаг сетки по x положить равным h = 0.05, шаг сетки по t положитьτ = 0.04.VIII.4. Построить разностные схемы для задачи∂ 2u∂ 2u=,∂t2∂x20 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ t ≤ T∂u(x, 0) = ψ(x),∂tu(x, 0) = ϕ(x),u(0, t) = t,u(1, t) = t2и исследовать их на устойчивостьс помощью спектрального признакаs s ssа) по шаблону s s s;б) по шаблонуs;sssв) по шаблонуss.ssVIII.5. а) Построить устойчивую и аппроксимирующую разностную схемудля задачи∂u ∂v+= f (x, t), −∞ < x < ∞∂t∂x∂v ∂u+= g(x, t), 0 ≤ t ≤ T∂t ∂xu(x, 0) = ϕ(x), v(x, 0) = ψ(x),б) Для той же самой системы дифференциальных уравнений рассмотретьсмешанную задачу на отрезке 0 ≤ x ≤ 1 при краевых условияхu(0, t) = 1,u(1, t) = cos t– 27 –и построить для нее приемлемую разностную схему.VIII.6. Для уравнения∂u∂ 2u ∂ 2u=++ f (x, t)∂t∂x2 ∂y 2построить схему расщепления по направлениям, вывести схему с исключенным промежуточным слоем, исследовать схему на спектральную устойчивость.VIII.7.