Сборник задач для упражнений по курсу - Основы вычислительной метаматики, страница 2

Напряженность магнитного поля H и магнитная индукция B связаHны соотношением B = a+bH. По результатам следующих экспериментальныхизмерений определить a и b:HB813.01014.01515.42016.33017.24017.86018.58018.8III.3. Измерения трех углов плоского треугольника привели к значениям:A1 = 54◦ 50 , A2 = 50◦ 10 , A3 = 76◦ 60 . Сумма углов A1 + A2 + A3 = 180◦ 120дает невязку в 120 , превосходящую погрешность наблюдения. Ликвидироватьневязку, следуя предписанию метода наименьших квадратов.III.4. Сопротивление проволоки R линейно зависит от температуры t: R =a0 +a1 t. По результатам следующих экспериментальных измерений определитьa0 и a1 :tR19.176.3025.077.8030.179.7536.080.8040.082.3545.183.9050.085.10III.5.

Выполнить линейную аппроксимацию по методу наименьших квадратов для таких исходных данных, найденных экспериментально:xy0.22.2290.32.180Определить y для x = 0.578,0.71.9720.81.887x = 0.882,1.21.6961.41.5901.81.332x = 1.356.III.6. Выполнить квадратичную аппроксимацию по методу наименьшихквадратов для таких экспериментальных данных:xy1.01.882.00.962.5−0.133.0−2.084.0−6.724.55.06.0−10.67 −14.13 −22.80– 11 –III.7. Выполнить квадратичную аппроксимацию по методу наименьшихквадратов для таких экспериментальных данных:0.02.364xy0.52.3071.02.9152.05.4572.26.3002.68.8933.010.062Определить y для x = 0.87, 2.54, 2.17, 2.91.III.8.

Построить квадратичную функцию y = a0 + a1 x + a2 x2 по приведенным ниже экспериментальным данным, а затем вычислить ее значения вточках x = 0, x = 0.378, x = 0.521, x = −0.435xy−0.53.241−0.32.563−0.12.1380.21.9140.62.5140.83.1491.03.985III.9. Периодическая с периодом 2π функция y = f (x) задана в узлах, k = 0, 1, . . . , N − 1, yk = f (xk ).xk = 2πkNПостроить тригонометрический многочленPm (x) = c−m e−imx + c−m+1 e−i(m−1)x + · · · + cm eimx ,приближающий функцию y = f (x) в смысле метода наименьших квадратов вслучае N = 5, m = 0, 1, 2.pIII.10. Функцию y = 1 + sin2 (x − 1) решено приближенно заменить тригонометрическим многочленомP2 = a + a1 sin x + b1 cos x + a2 sin 2x + b2 cos 2x,который наименее в смысле наименьших квадратов отклоняется от таблицызначений этой функции, вычисленной в некоторых десяти точках x0 , x1 , .

. . , x9 .а) Опишите алгоритм для вычисления коэффициентов a, a1 , a2 , b1 , b2 .б) Какие (существенные!) упрощения можно сделать в случае, когда xk =2πk, k = 0, 1, . . . , 9.10III.11. Пусть замеры функции y = f (x) осуществлены в точках xk =cos (2k+1)π, k = 0, 1, . . . , n, являющихся нулями многочлена Чебышева Tn+1 (x)2(n+1)и записаны в виде таблицыxyx0y0x1y1······xn−1yn−1xnynСреди многочленов степени не выше заданного k, 0 ≤ k ≤ n указать тотмногочлен Pk (x), который наилучшим (в смысле метода наименьших квадратов) образом приближает заданную функцию.– 12 –PУказание.

Искать Pk (x) в форме Pk (x) = km=0 cm Tm (x) и воспользоватьсятем, что многочлены Чебышева Tk (x), k = 0, 1, . . . , n образуют ортогональнуюсистему функций, определенных в точках x0 , x1 , . . . , xn :p 6= mn0,XhTp (x), Tm (x)i ≡Tp (xk )Tm (xk ) = n + 1, p = m = 0 n+1k=0p = m 6= 02для 0 ≤ p, m ≤ n.а) Осуществить вычисления в случае n = 3xyx02x11x23x30для k = 0, 1, 2, 3.б) Составить программу для вычисления значения искомого многочленаPk (x) в точке x = x∗ ∈ [−1, 1] при произвольных n, k и произвольном наборечисел y0 , y1 , . . .

, yn .– 13 –IV. Нелинейные скалярные уравнения и системыIV.1. Показать, что положительное решение уравнения cos x = 2x можноприближенно вычислить, пользуясь итерационной формулойxn+1 =1cos xn ,2где x0 ≥ 0 — произвольно. Положим x0 = 0. Найти такое n, при которомпогрешность приближения xn не превосходит 10−6 .IV.2. Требуется найти оба корня уравнения x = ln(x + 2)а) Показать, что для отыскания положительного корня можно воспользоваться итерационным процессом xn+1 = ln(xn + 2), x0 ≥ 0 — произвольно.б) Можно ли указать x0 , не совпадающее с отрицательным корнем заданного уравнения таким образом, чтобы итерационный процесс xn+1 = ln(xn +2)сходился к отрицательному корню?в) Указать способ вычисления отрицательного корня.IV.3.

Выписать формулы подходящего метода последовательных приближений для нахождения положительного корня уравненияx − x3 + 0.1 = 0.Выбрав начальное приближение, оценить необходимое число итераций длядостижения точности ε = 10−10 .IV.4. Найти все действительные решения уравнения0.001x5 + x2 − 1 = 0с точностью: а) до 0.1 б) до 10−6Указание. Грубое приближение найти, используя метод деления отрезкапополам. Более точное — с помощью метода Ньютона.IV.5. Будем решать уравнение F (x) ≡ f (x) − g(x) = 0, где f (x) и g(x)— заданные функции, методом Ньютона. Выберем некоторое x0 .

Показать,что приближение x1 имеет геометрический смысл абсциссы точки пересечениякасательных к графикам y = f (x) и y = g(x), проведенным при x = x0 .IV.6† . Занумеруем корни x(n), n = 0, 1, . . . уравнения e−x = sin x в порядкевозрастания. Показать, что итерацииxk+1 = xk −F (xk ),F 0 (xk )F (x) = e−x − sin x– 14 –сходятся к корню x(n), если в качестве x0 взять число πn.Указание. Воспользоваться результатом задачи IV.5.IV.7. Показать, что для решения методом Ньютона следующих уравненийв качестве x0 можно принять любое x0 > 01а) ex =xб) ex + x2 − 2 = 0.IV.8.

Отделить корни следующих уравнений, а затем уточнить один изних с помощью подходящего итерационного процесса. Обосновать сходимостьиспользованного процесса.б) 3x + 4x3 − 12x2 − 5 = 0а) 2x3 + 5x − 3 = 0в) (0.5)x + 1 = (x − 1)2г) (x − 3) cos x = 1,д) arctg(x − 1) + 2x = 0е) x2 − 20 sin x = 0ж) 2 tg x −x+1=021и) x2 − ex = 05xл) x2 = 1−2π ≤ x ≤ 2πxз) 2 lg − + 1 = 02к) ln x + (x + 1)3 = 0м)√x+1=1xIV.9*. Уравнение зависит от времени t, причем при t = 0 решения очевидны.

Предложить итерационный алгоритм для отыскания положения этихкорней в зависимости от t за время от t = 0 до t = 1.а) tx3 + x2 − 1 = 0Выяснить, при каком значении t эволюция отрицательного корня заканчивается его исчезновением.б) tx4 + x2 − 5x + 6 = 0.IV.10. Вычислить с точностью 10−3 координаты точек пересечения кривых ((sin(x + 1) − y = 1.2tg(xy + 0.4) = x2a)б)2x + cos y = 20.6x2 + 2y 2 = 1((cos(x − 1) + y = 0.5sin(x + 2) − y = 1.5г)в)x − cos y = 3x + cos(y − 2) = 0.5IV.11. Задана система уравнений, зависящая от времени t. Найти координаты точек пересечения при t = 0 и координаты точек пересечения, полученные при эволюции этих точек при изменении t от t = 0 до t = 1– 15 –(x + y + 0.01tx3 y 2 = 1a)x − y − 10−3 t cos(x2 y) = 2(2x − y + 10−2 t sin xy 2 = 5в)5x + y + 10−2 tx4 y 2 = 2(x + 2y + 10−3 texy = 1б)2x + y − 10−2 tx2 y 3 = −1IV.12.

Составить алгоритм для отыскания с точностью 10−5 всех точекпересеченияследующих линий((22x − xy − 5x + 1 = 0(x − 1.4)2 − (y − 0.6)2 = 1a)б)x + 3 lg x − y 2 = 04.2x2 + 8.8y 2 = 1.42((x2 y 2 − 3x3 + 6y 3 + 8 = 0sin x − y = 1.32в)г)4x − 9y + 2 = 0cos y − x = −0.85(x7 − 5x2 y 4 + 1510 = 0д)y 3 − 3x4 y − 105 = 0IV.13. Использовав метод линеаризации (метод Ньютона) в окрестностинулевого приближения y0 (x) ≡ 0, найти первые приближения для решенияследующих 2 нелинейных краевых задачd y= ey ,0≤x≤1а) dx2y(0) = y(1) = 0 22dyd y++ 1 = 0,0≤x≤12б) dxdxy(0) = y(1) = 0– 16 –V.

ИнтерполированиеА. Построение интерполяционного многочленаV.1. Дана таблица значений y(x). Построить интерполяционный многочлен степени не выше третьей, записав его в форме Лагранжа, в форме Ньютона и в форме P3 (x) = a0 x3 + a1 x2 + a2 x + a3 .а)xy−316−27−1401xy−17−219032−5б)V.2.

Зависимость y = f (x) задана таблицейxy1327313421531643757Вычислить f (x), используя линейную, квадратичную и кубическую интерполяции по ближайшим точкам при следующих значениях x:а) x = 2.1,б) x = 2.9,в) x = 3.1,г) x = 3.8,д) x = 5.8.V.3*. Пусть в качестве узлов интерполяции приняты нули многочлена2k+1π, k = 0, 1, .

. . , n. По заданнойЧебышева Tn+1 (x), то есть точки xk = cos 2n+2таблице значений функцииxyx0y0······x1y1xn−1yn−1xnynзаписать интерполяционный многочлен Pn (x) в форме Pn =nXck Tk (x) и вы-k=0писать формулы для вычислений ck .а) Провести вычисления и привести многочлен Pn =nXk=0Pn (x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an в случае n = 2 для функцииxyx02x11x23ck Tk (x) к виду– 17 –б) Составить программу для вычисления ck , k = 0, 1, . .

. , n в общем случае.Указание: многочлены Чебышева определены так:T0 (x) = 1,Tk+1 (x) = 2xTk (x) − Tk−1 (x),T1 (x) = x,k = 1, 2, . . .Многочлены Tk (x), k = 0, 1, . . . , n образуют базис в пространстве сеточныхфункций, определенных в точках x0 , x1 , . . . , xn — нулях многочлена Tn+1 (x), атакже обладают следующим свойством ортогональности:p 6= mn0,XhTp (x), Tm (x)i ≡Tp (xk )Tm (xk ) = n + 1, p = m = 0 n+1k=0p = m 6= 02для 0 ≤ p, m ≤ n.kV.4*. Пусть в узлах xk = n+1, k = 0, 1, .