Поляшова Р.Г., Михайлова Т.Ю., Титов К.В. Исследование свойств функций и построение графиков. Формула Тейлора и ее приложения (2002), страница 4

разложение идет в окрестности точки хе —— 0: х2 хл Дх) = ех = 7'(0)+ — 7'(0) + — "7'(0)+ ... + — "7'41(0)+ х1л'11 + 1 ( л л 1 ) ( с ) (л+ 1)! где с = Ох, 0 < О < 1. Находим производные: ,7'(х) = ех ,7'(х) = ех ,7'(0) = 1 ,1'(0) = 1 у1л) (х) — ех Г гл+1)(Х) Ех ,Р'г"1(0) = 1 Х(л'0(0) = 1 Разложение функции 7 (х) = е х в окрестности точки х = 0 имеет вид Х Х2 Хз Хл Хл'1 Ех =1+ — 4- — 4 — +...+ — + е лх г! г. г. -',. 1„Л!.

Рл1х! л<1 При л-+лг Я (х)= е'"-+О так как х находится в л<1 ( 1)г г окрестности точки х, =О, т. е. )х!<1, хе(х, — б,х, +б) и х -+ 0 при п -+ лг; -+ 0 при л -+ л, а е'" — сопз1. лг.! 1 (п+ 1)! С помощью этого разложения подсчитаем значение е с точностью б =10 5, тогда х =1 и разложение е имеет вид 1 1 1 1 1 ех =1+1+ — + — + ... + — + — + ел 2! 3! 9! л! (п + 1)! Рл 1х1 При л-+ г 0= 1, тогда Ял гл — « — 0,00001=10 е 3 9! 9! В разложении функции по формуле Тейлора ,1'(х) = Рл(х) + Ял(х) остаток можно отбросить начиная с девятого члена, т. е.

е м141+ — + — + — + — + — + — = 2,71827. 1 1 1 1 1 1 2! 3! 4! 5! 6! 7! 28 Рвс. 14 (у=1) ех ~1 ех ~ х+1 (у = х+1) х' 2 (у-1= — (х+1) ) 2 2 — е "— зй2Х хз) е ", зй2х, 1п(1+хз) по формуле ех =1+х+ ех Пример 3. Найти йп х-+О Разложим функции ех Маклорена. Так как х х' ех =1+х+ — + — +... 2! 3! -х х х 2 3 е =1 — х+ — — — +... 2! 3! Зхз яп2х = 2х — — + ... б 1п(1+х ) =х +02(х )э Если взять достаточное число членов разложения, то можно вычислить е с любой наперед заданной точностью. Так были получены таблицы любой степени е . Рассмотрим геометрическую иллюстрацию замены функции многочленом (рис. 14): тогда е — е -3!п2Х = — х — О,(х ).

х -х ° 5 3 3 3 поскольку — х 4.01(х ) — — х при х-эО. 5 3 3 5 3 3 Так как х + 02(х ) — х, отбросим б. м. величины более выз з з соких порядков. Окончательно имеем !пп г"(х) = —. 5 о 3 1 Пример 4. Найти 1пп !! Хз х2+ ~ех До+1 х-э+~ ~1, 22 Вынесем х за квадратные скобки: йп х 1- — + — е' — 14— 1 Обозначим — = 1 и ~ — > О. Тогда получим Х 1пп — ~~1 — Г+ — Г ~е — ~1-1-2 ~. , +О 13 ~~ 2 Разложим е' и Л+ 1~ по формулам Тейлора с остаточными членами в форме Пеано: йп — ~1 — 1+-г ) 1+ — + — + — +0(г ) — 1+ 1 +О (г ) о гз ~~ 2 )! 11 21 31 Перемножив выражения, стоящие в крупгых скобках, получим 22 13 22 23 24 1 + + + + О, (23 ) Г гО (ГЗ ) 22 В 1 11 2! 3! 1! 21 3! 2 с-~02 123 24 ]15 1 3 1 б 20(з) 1 б 0(б) 21! 2 2! 23! 2 2 Приведем подобные члены: Получаем — х +01(х ) 5 1пп 3 О х -~0(х) 0,(х ) 5 = 1пп 3 х 3 3 ' 5 = — = йп —, х-+о 0 (хз) 3 х-+о хз 2 ,3 30 31 1 1 1 1 3 112 11' 3 0(гз)+-г- — 0,(г )+ — г + — 03(3 )- З,,з 3 2,2' 23! 23 1 з 1 б --3 — — 02(3 ) з 1 3! 1 1пп— 3 об» Пример 5.

Найти приближенно ДО. Приведем число ЛО к виду /32+1 = 3(1+-)'72. Полагая 9 7'(х) =(1+х)'~2 и ограничиваясь разложением Дх) до члена с х», получаем -( — — 1)' — ( — — 1Н вЂ” — 2) 11, 11 1 (1+х)'~~ =1+ — х+ 2 2 хг+ 2 2 2 хз+Я~(х) = 2 2! 3! =1+ — х — — х + — х +Аз(х) 1 3 2 8 16 Остаточный член запишем в виде Я(х) ~ (с) 4 У (х) 4 где Осб<1 4! 4! 1 рг Так как для нашего случая х=-, значит ~1+-~ =1+ 9 й Учитывая, что 7" (х) = — — (1+ х), получаем -2 ~г 16 Г 1 1 3 3 1 1 5 1 2 3 1 3! ' (,2.2! 3!,) — +0(33)+~ — — — у -30,(г )+ — — г + — г 0,(г )- 23! 2 1пп —, 15 б — 02(г ) 2 Поскольку -г~ -02(3~) — б.

м. величина более высокого поб б 2 рядка малости по сравнению с г и 0,(г ), ее можно отбросить: з з йш — — +0,(гз)+ — г -с03(3 )+ — — г 4 гг0,(3 )- 3 -02(3 )~. 3 1 4 3 1 1 5 1 3 1 б б ~ ог»~3~ 12 23! 2 2 Раскрыв квадратные скобки, получим 9 24 16 9 6501 1680616 9 0 < О с1.

Очевидно, что Яз~ — ~ < г 11! 10 <б 10-5, 1,93 1680616 Следовательно, /ГО=3 1+ — ) =3~1+ —.— — — — + — — +113 9) !, 2 9 8 81 16 729 4. УСЛОВИЯ ТИПОВОГО РАСЧЕТА Задача № 1 (по вариантам) з №1. у=— х -4 № 3. у = /Зх — х №5. у= № 8. у=- № 10. у = 3 1п — 1 х — 3 № 12. у = т/х" — 12х Х0 16 у = 5агс18х — х № 18.

у= 2хг б х — 2 х — Зх+ 3 2 х-1 Х47, у= »й+ х х — 4х з Хо 9. у=— Зхг+4 2х +Зх — 5 г х — 4 х» №13. у= (х — 2)2 № 15. у= 2 хЗ хг — 3 № 17. у= Лхг — 2 х № 19. у=— )1п п! х ~ №2. у=— Зхг -бх х-1 3 Хо 4 у— х2+1 Ха 6. у = х хг 4х'+Зхг -8х-2 Ха 14. у= 2-Зхг 32 33 3 2 5 — Зх ех №23. у=— х Х х № 22, у= — -агсг8— 4 2 24 Зх — бх х-1 хг — бх+4 Зх — 2 х — 8 №28 у= 2 (х — 2) №25. у=, 2 х +2х 3 №27. у=— х -1 4 17 — х М29.

у=— 4х-5 Хо 30. у= 3 — 31п х х+4 Задача № 2 (по вариантам) у = фх + 4)2 4- ~3/(х — 4) , 3/х 3/(х+„ Хо 1 ех~-ох Хо 2 №3. у= 4х Хо 4 4+х № 5. у = /84- х — /8 — х(-8 < х < 8) х №7. у= — х>О,х~1 х1пх М9. у=х +— 2 х Хо 11. у = 2( /х — 4+ /8+ х) М 8. у =(2х+ 3)е ~1""~ № 10. у = — х +х +5х+ 3 М 12.

у = 2х+ б — 3~~/(х + 3)2 Хо 13. у = х3 — 2хг — 4х+5 . (4<х~8) х +1 № 14. у= ХЗ Хо 15, у = фу + 2)2 + + $„2)г х — 4 г Хо 17 у= х -9 3 2 М 19. у = — — — — 4х+ 4 2 4 № 21. у = х — 1п(х+ 1), х > — 1 №23. у=х'(х-2)' Хо 18 у Х2Е2/х № 16. у =(х-1)2(х — 3)2 М 20. у = х 1п х М 22. у =1 — чх — 2х 3/ 2 № б. у = х+4агс18х №24. у= х х — 1 № 25. у = х (2 1п х — 1) М 26.

у = /4+ х — /4 — х(-4 < х < 4) Хо 27. у =— 1пх Хо 29 у — х/хг Хо 28. у = — Зх +2х Хо 30 у Е/2ь!вх Задача № 3 (по вариантам) Хо 1. у = ап2х — 2совх Хя 2. к у= — е к х х2 Хо 3 уж(х24-])е 2 № 5. у=хек"' Хо 12. у=хге" и 1х х=!Я*~3' №16. у= 3/2+ 2 Хо 18. у = 4в(пх — а(п2х № 20.у = апх. япЗх Х 22 у = зГ(х+1)2+ + 3Д. 1)2 1пг (х! хг х М11.

у=хе №13. у=— /х 1пх о 15, Х=~Р:ЬР (х № 19 у= 3/(х 1)2 ~3/(х+1)2 о к~ 1. у = фР~,' Хо 4. у = х 1п х х у= х +1 хг М8. у=— х — 1 хг М 10. у =х3е 35 5сп х-со5 х № 30. у = х + яп х Задача № 4 а) Написать разложение функции по формуле Маклорена порядка и с остаточным членом в форме Лагранжа. Оценить точность полученного приближения для значения х = О, 5. 1. /'(Х) = 1п(х+ 1) и = 4 3. / (Х) = (1+ х)" л = 2 10. /'(Х) = 18(х) и = 4 хг 12. /(Х) = е " 1 14 2о(х) е х 13.)(х) = е" и=З и=2 15.

/'(Х) = 18(х ) и=3 б) Используя стандартные разложения по формуле Маклорена с остаточным членом в форме Пеано, вычислить предел: -х г сов(х) — е 2 ех ео!й(х) 1. 1пп 2. 1пп х -+о х(1 — соа(х)) з 3. 1пп хг(~/к+1+ /х — 1 — 2~/х) 4. Шп(х — х 1п(1+ — 7~ х-+со х+со,, х)) 5. Йп — 2— ( 1 с18(х) 1 х- о~ха (51п(х))2) хсо1 Х Х ) Хо 23. у = з(х — 2х — 3) № 25. у = — яп 2х + 2 яп х 1 2 №27. у=х — япх 5Д~1=Д- с =3 7.

/'(Х) = /соз(х) и = 4 9.,/'(х) = 11. Дх) = яп(х+ х ) п = 4 хг №24. у= — е х хг 1пх №26. у= — х>0 х Мо 28. у = з/х 1-4+ з/х-4 2. /'(Х) = агой(х) и = 4 4. /(Х) = соз( — + х л = 3 '),4 б /'(х) =е"'х) л=З 8, /'(х) = 1п(2х+ 1) л = 4 /1+2 -3/1 3 ' х-0 Хг 8. 1пп ех е-х зп) х-+о 1п(1 .„3) 1п / — яп(х) 9. 1пп 1+х~ )11 — х) (е" яп(х) — х(1+ х)~ 10. 1пп о х' х-+О х б/ б 5 6~б 5 )1 1 х-мо о) х 81п(х) 13. 1(гп Г(хз хг+ Х1ег~х1 — /хб+11 14.

11гпз (х)аш(х) о яп(х) — х ах+а — 2 15. 1пп (а > О) 'хО Х2 Зб СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа. Мл Наука, 1997. 736 с. Бугров Я.С., Никольский С.М Дифференциальное и интегральное исчисление.

М.: Наука, 1988, 431 с. Ефимов А,В., Демидович Б,П. Сборник задач по математике для втузов. Т.1. М.: Наука, 1986. 462 с. Задачи и упражнения по математическому анализу для агузов. / Под. Ред. Б.П. Демидовича. Мл Наука, 1978. 472 с. Иванова ЕЕ Дифференциальное исчисление функций одного переменного: Учеб.

для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Кришенко. Мл Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. 408 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып. П). Ильин В.А., Лозняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч.1. М.: Наука, 1982. 616 с. Козандзкан' Э.П. Исследование функций и построение графиков. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1995. 35 с.

Кудрявцев ХД. Курс математического анализа. Мл Высш. шк., 1981. 584 с. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т.1. Мл Наука, 1985. 429 с. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие .. " " " . ............. 3 1. Исследование свойств функции. . . . ............4 1.1. Возрастание, убывание функции. Точки экстремума..... 4 1.2. Экстремумы функции одного аргумента....................,...... 4 1.3. Направление вогнутости. Точки перегиба ......................., 5 1.4. Асимптоты..., ......, .............,.. 7 1.5, Периодичность функции ...........

11 1.6. Четность и нечетность функции ..................................,.... 12 1.7. Полное исследование свойств функции..............,.......,.... 17 2. Наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке .............................. 25 3. Формула Тейлора......, ...., .............................. 26 4. Условия типового расчета..........

.................,.....................33 Список рекомендуемой литературы ..................... 38 38 к Рьр~тек3 Ф."1':"ми Ранен Григорьевна Полишова Татьвна Юрьевна Михайлова Константин Викторович Титов Исследование свойств функций и построение Графиков Формула Тейлора и ее применение Редактор Е.К Кошелева Корректор О.тО. Соколова Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. 105005, Москва, 2-я Бауманская, 5. Подписано в печать 30,05.02. ФорматбОк84/16. Бумага офсетная. Печ. л. 2,5, Уел.

печ. л. 2,3. Уч.-изд. л. 2,1. Тираж 100 экз. Изд. 1чье 38. Заказ М .