Поляшова Р.Г., Михайлова Т.Ю., Титов К.В. Исследование свойств функций и построение графиков. Формула Тейлора и ее приложения (2002) (1004039), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Возрастает Убывает у Возрастает Ц Гз з х -3 — Гз ОбращаЕМ ВНИМаНИЕ На тО, Чтс В тОЧКаХ Х, =О, Хг = АЗ, хг = — /3 первая производная знака не меняет, так как соответствующие множители входят в формулу в четной степени. Изображаем на чертеже точки экстремума. вместе с маленькой дугой графика. 4) Выпуклости вверх (вниз). Тачки перегиба. Находим вторую производную функции у = ~(х): (4х' — 1ЯХ)(хг 3)2 (х4 — 9х )2(х — 3)2х бх(хг + 9) Кривая выпукла У" Вверх Вниз Вверх Вниз о Л Рис. 12, а Полученные результаты переносим на эскиз графика. Соединяя уже имеющиеся части графика, достраиваем его (рис. 12, б).
20 (х2 3)4 (хг -3)' Из необходимого условия существования точек перегиба находим критические точки, в которых у" = 0 или у' не сутцествует (это возможные точки перегиба): у" =0 при х=О, у = О, у' =0; у" не существует в точках Хьг —— + ГЗ, так как 1пп у = о, но эти точки необходимы для уточнения выпукх1 г-еео3 лости (вверх, вниз) графика функции на интервалах слева и справа от них. Наносим полученные точки х= О, х = ~ /3 на числовую ось и определяем знаки у" на интервалах. Затем делаем выводы о характере выпуклости кривой на каждом интервале и о наличии точки перегиба при х = 0 (рис.
12, а). Рис. 12, б Внимание! Элементы графика необходимо строить параллельно с вычислениями, т. е., как только получены результаты, их надо перенести на эскиз будущего графика, Если результат противоречит полученному ранее, значит где-то была допущена ошибка, которую следует исправить, после чего продолжить исследование и построение графика. Пример 2. Исследовать функцию и построить ее график: х У= 1пх 1а) Область определения функции. Функция определена и не- (1п х и 0 (х и 1 прерывна, лишь когда 4 , т.
е. в интервалах '(х>0 (х>0 0 < х < 1 и 1 < х < 4 о. Точка х, = 1 — точка разрыва. Исследуем ее характер, для этого найдем )пп Х'(х) = х-+х1+О х 1 ., х 1 1ПП вЂ” = — = 4<О, 1ПП у(Х) = 1 П вЂ” = — = о, т. Е. х-+1+0 1п х +О ' х-~х~-0 х-~г-о )пх — О точка х = 1 есть точка разрыва второго рода, а прямая х = 1— вертикальная асимптота. 21 у1 й 1пхз' 1пз х 1п х е2 2 Возрастает у Убывает 0 1 а хоуп Рис. 13 23 16) Нули функции: у=О, — =0 при х=О. Но х=О не 1пх входит в Ру. Это граничная точка.
Здесь возможно наличие вертикальной асимптоты графика функции. Найдем односто- ронний предел функции при х -+ О+ 0: 1пп Дх) = 1пп — = йп х — =(Π— ~ =0(-О) =-О, х . 1 ~ 11 х-~ха+О х-+0+0 1пх х-~0+0 1пх -соз т. е. вертикальной асимптоты нет, Дх) приближается к нулю снизу, На координатной плоскости строим вертикальную асимптоту графика функции х = 1 и отмечаем стрелочкой подход графика к граничной точке (+0,-0) (рис. 13, б).
Рвс. 13, б 1в) Четкость, нечеткость. Функция общего вида, так как область определения не является симметричной относительно начала координат. 1г) Периодичность. Искомая функция непериодична. 2) Асимшпоты. Вертикальные асимптоты найдены в п, 1б). Наклонная асимптота у=1сс+Ь. Асимптота может быть только правосторонняя: 1с = 1пп — = 1пп = йп — =~ — ~=+О, У(х) . х . 1 Г13 х-~.аа х х-~+а Х 1П х х~.ко 1П х +со Ь = 1цп 1ДХ) — lсх1 = йп ~ — — Ох1 = 1пп — = ~ — 11 = х — н э х-н- >~ 1пх 1' х-++ 1пх ~со) х' 1 = 1пп —,= = йпх=то, х-~+ о 1пх' 1 х-~.» 1пп— +~х Здесь неопределенность — раскрыта по правилу Лопиталя: 1пп — = 1пп —,. Аснмптотьт нет. 2'(х) . Т'(х) ха ср(х) а ср'(х) 3) Интервалы возрастания, убывания. Точки экстремула.
Найдем у': Находим критические точки: у'=О, 1пх — 1=0; при 1пх=1 х=с, у=е. При 1пх=О х=1, 1ппу=со и йп2"(х)= о, значит, х=1 х-~! х-~1 не является критической точкой, но исследовать эту точку надо, так как возможна смена интервалов возрастания, убывания функции. Полученные точки х =1, х = е наносим на часть числовой оси х > 0 .
Определяем знаки у' в каждом интервале (рис. 13). Знак первой производной определяется знаком числителя, так как знаменатель не отрицателен при любом значении х. Переносим результат на эскиз графика. 4) Интервалы выпуклости (вверх, вниз). Точки перегиба. Находим вторую производную функции: Вверх Кривая выпукла ВвеРх в Вниз Рис. 13, 6 ег х 0 1 Рис. 13, а 24 — 1пг х — (1пх-1)21пх— 1пх — 1 х у = 1п х 1п' х — 1пх(1пх — 21пх + 2) 1 х х 4 3 г„ Из необходимого условия существования точек перегиба находим точки, в которых у" = 0 или у'не существует (критические точки второго рода): у" = 0 при 2 — 1п х = О, 1п х = 2, х = е, у(е ) = — е, у'(е ) = —; г г 1 г, г 1 у" не существует при х, = 0 и хг =1, но у(0) не существует, у(1)- не существует.
Однако при переходе через точку х =1 может измениться характер выпуклости. Наносим точки х =1, х =ег на часп числовой оси х>0 и определяем знаки второй производной на получившихся интервалах (рис. 13, а). Смена выпуклости вверх на выпуклость вниз здесь происходит два раза, но точка перегиба только одна: ~е, — е ~. Перено,Гг1 г) сим результат на эскиз графика функции. Вычислим )пп у', чтобы выяснить, с какой стороны касах-не тельной подходит график функции к граничной точке (+О,— 0): 1 х-1 .
1/х . 1 ~1~ 1пп у'= 1пп = йш = )пп — =Ы =О, х — на х-нз )пг х х-++О 1 х-на 21пх ь-<с ~ х следовательно„это горизонтальная касательная. Область значений функции: у а ~- э,О)Ц(е,+ о), После полного исследования график функции будет иметь вид, как на рис. 13, б. 2. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ НА ДАННОМ ОТРЕЗКЕ В прикладных задачах чаще требуется найти не экстремум (или экстремумы) изучаемой величины, а ее наибольшее М и наименьшее т значения на заданном отрезке изменения аргумента. Пусть функция у = у(х) непрерывна на отрезке 1а,Ь1.
Тогда на этом отрезке функпггя имеет наибольшее значение. Это значение может достигаться либо на концах отрезка„либо внутри него, в точке, которая является точкой максимума. То же самое можно сказать и о наименьшем значении функции: оно достигается либо на одном из концов отрезка, либо в точке внутреннего минимума. Из сказанного выше вьпекает следующее правило: если требуется найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке 1а, Ь~, то необходимо: 1) найти все критические точки функции, попадающие на отрезок (а, Ь1; 2) вычислить значения функции во всех указанных критических точках; 3) вычислить значения Да) и /'(Ь) функции на концах отрезка; 4) из всех полученных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее значения.
Пример 1. Тело двигалось со скоростью у = — ~з + 48~+ 1 см/с. Найти наибольшую и наименьшую скорости при движении тела в течение первых пяти секунд. Решение. Берем производную а' = -Зг~ + 48 и критические точки, т. е. г' = О, (!з = +4. Внутри отрезка [0,51 находится только одна критическая точка г = 4. В этой точке определяем значение скорости а(4) = 129 см/с. Вычисляем значения функции на концах отрезка: т(0) = 1 см/с и у(5) = 11б см/с. Из полученных значений выбираем наибольшее М = 129 и наименьшее т = 1. Пример 2.
Найти наибольшее М и наименьшее т значения функции /(х) = хх — 8х~ + 3, непрерывной на отрезке ~ — 1,2! Решеиие, Вычисляем производную /'(х) = 4х — 1бх = =4х(х — 2)(х+2). Критические точки х, =-2, х2 =О, х, =2. Точка х, = -2 не принадлежит заданному отрезку. Значении функции в критических точках и на концах отрезка: /(0) = 3, Д-1) = -4, Д2) = -13. Видно„что наибольшего М значения функция достигает в критической точке М = ДО) = 3, а наименьшего значения ш = Д2) = -13 — на одном из концов отрезка. 3. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА Пусть функция /(х) дифференцируема и раз в точке а, т. е. функция определена и имеет конечные производные всех по- 26 рядков до (и — 1) включительно в некоторой окрестности точки а и имеет конечную производную л-го порядка ~"ол(а) в самой точке а.
Тогда справедлива формула Тейлора п-го порядка для функции / (х): /(х) =/(а)+ (х — а)+ (х — а) !-...+' )(х — а)" + /'(а) / "(а) г г!"! (а1 1! 2! и! +Я„(х), /!" П(а+ О(х — а)) где Я„(х) = , 0 < О < 1 — остаточный член в (а .!- 1)! форме Лагранжа. Таким образом, формула Тейлора порядка и позволяет функцию у =/(х) представить в виде суммы многочлена и-й степени и остаточного члена. Остаточный член формулы Тейлора и-го порядка можно записать в форме Пеано.
Тогда формула Тейлора п-го порядка с остаточным членом в форме Пеано имеет вид « /!«)(а) /(х) = ,'~ (х -а) !- о((х — а)") . «=а Остаточный член в форме Пеано: Я„(х) = о((х — а)") . Формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано удобно использовать для раскрытия неопределенности вида (О! ! — ~, выделяя главную часть бесконечно малых функций.
Например, при а = 0 имеем /(х) =/(О) - х+ )х +...+' х" +Я (х) Г(0) / (О) з Кй~(0) и — формула Маклорена; Я„(х)=~ ( )х"", 0<6<1. (л .!- 1)! Формулу Тейлора широко используют при вычислении значений функции с заданной степенью точности. Например, требуется вычислить значения функции /(х) в точке хр с абсолютной погрешностью, не превосходящей а, если известно значение этой функции и ее производных в точке а.
Из формулы Тейлора следует, что 27 7'(а) 2 "' (а) 7'(х ) = 7'(а)+ — (хе — а)+ ...+ (хе -а) о]1 ле ! где ле — минимальный из номеров л, для которых ~ Ял(хе) !< а. Пример 1. Разложить по степеням (х+ 1) многочлен: Дх) = = х5 + 2х4 — х2 + х+ 1. Разложение идет в окрестности точки хе = — 1: 7л(х) 5х4 + 8хз 2х + 1 ,7'(х) = 20х + 24х2 — 2, 7' (х) = 60х2 + 48х, ,74 "!(х) = 120х+ 48, у!~)(х) = 120. Начиная с 7'~(х) все производные равны нулю: 7'(-1) = — 1+ 2 — 1 — 1+ 1 = О, 7'(-1) = 5 — 8+ 2 + 1 = О, У (-1) = -20+ 24 — 2 = 2, Х"(-1) = 60 — 48 = 12, Х (-1) = -120+ 48 = -78, У~ 1(-1) = — 120.
Разложение многочлена Дх) = х + 2х4 — х + х+1 в окрест- 5 4 2 ности точки хе = -1 имеет вид (х+ 1)2 1)з У(~) = У(-~) Г(-~) —, У'(-~) ~, + У (-1) + 1)4 (, „ 1)5 4! 5! 7(х) = (х+ 1)2 -> 2(х+1)з — 3(х+1)4 + (х+ 1)5. Функция представлена в виде многочлена по степеням раз- ности (х+1), т. е. разложена в окрестности точки хе = -1. Пример 2. Разложить функцию у.= ех по степеням х, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
