Поляшова Р.Г., Михайлова Т.Ю., Титов К.В. Исследование свойств функций и построение графиков. Формула Тейлора и ее приложения (2002) (1004039), страница 2
Текст из файла (страница 2)
2. Найдем наклонные асимптоты: 1 1 Дх) . хе" . — о Й! = 1пп — = 1пп — = )пп е =е =1, х-н. с Х х-аао Х х-аасс 1 1 Ь, = 1пп [!"(Х) — /сх~= 1пп хех — х = )пп х(ех — 1) =[О о)= х-а с х-а с~ х-м с 1 ! 1 ['Л ех е" — 1 ~0~ . (е' — 1)' х2 о х Х х [ ~ ) Г'1 у = х+ 1 — правосторонняя наклонная асимптота. Очевидно, при х-+-нои при х-+-о функция ведет себя по-разному. Найдем левостороннюю наклонную асимптоту: 1 Дх) хех 1 11ш Цщ Дщ ех х-а с Х ха- с Х х-а с ! 1 112 = !пп [Дх) — 1сх[= 1пп хе." — х = 1пп х(е" — 1) =[о 0~= х-а х-а х-а с 1 1 1 .( '1 х х х ! у = х+ 1 — левосторонняя наклонная асимптота; у = х+ 1 — наклонная асимптота (и при х -+ +со и при х — ~ о ).
1О Теперь выясним, какие точки кривой лежат выше (ниже) точек асимптоты. Для этого исследуем знак разности !х(х) Ухр Уас г1Ри х + .!.со ( х -+ -со ); 1 1 а(х) =у, -у„= хек -(х+1) = х(ех — 1)-1 а,(х) =у„— у„> 0 при х-+-! о, т. е. кривая лежит выше асимптоты; а2(х) = у„— у„с О при х-+-о, т. е. кривы лежит ниже асжпготы (рис. 6). 1.5. Периодичность функции Функцию, значения которой не изменяются при прибавле- / нии к любому допустимому значению аргумента некоторого числа Т, называют периодической, т. е, г(х+ Т) = г"(х). Наименьшее положительное из таких чисел Т называют периодом функции.
Пример. Найти период функции у = яп — х. 2 3 Рея!ение. По определению периода функции имеем яп — х =яп — (хч-Т), !'2 1 . !'2 яп — х~ — яп — (хч-Т) [=О, 2 2 2 2 — х -1 — (х + Т) — х — — (х+ Т) 2 2 2соз~ -х+ -Т! ап~ — -Т = О, (3 23 (3) зш — Т = О, 2 3 3 Т = — я — период функции. 2 2 — Т = хл; 3 Рвс. 7 у Убывает Воараетает Убывает Веарастает е Рис.
7, а Рвс. 7, б 12 13 1.б. Четность и почетность функции Если 1'(-х) = у"(х) — функция четная, то график функции симметричен относительно оси Оу. 'у' Если у"(-х) = — у"(х) — функция нечетная, то график функции симметричен относительно начала координат (0,0). Решим несколько задач на частичное исследование функции. Пример 1. Для заданной функции найти интервалы возрастания, убывания и точки экстремума. Построить график функции в окрестностях критических точек: у = — (х+ 1) (х — 5) .
1 г г 9 Разберем план решения. Экстремум функции возможен лишь в тех точках, где первая производная обращается в нуль или не существует (необходимый признак экстремума). Интервалы возрастания и убывания функции определяются знаком первой производной. Поэтому находим прежде всего первую производную: у' = — ~2(х+1)(х — 5)г + (х «-1)г2(х — 5)~ = 9 = -1(х+1)(х — 5)(х — 5+ х+1)~ = — (х+ 1)(х — 5)(х — 2). 2 4 9 9 Первую производную постараемся разложить на простые множители, так как в этом случае легче находить ее корни и исследовать знак. Решая уравнение у' =О, определяем критические точки первого рода (точки, где может достигаться экстремум функции).
Очевидно, у'=0 при х= — 1, у=О; х=5, у=О; х=2, у=9. Отметим найденные точки на координатной плоскости хОу, построим в каждой из них касательную (г) к будущему эскизу графика. Так как у' = О, эти касательные горизонтальные. Поскольку эти точки принадлежат графику функции, то по найденным значениям х сразу же вычисляем соответствующую ординату у (рис.
7). Далее исследуем знак первой производной по правилу интервалов, т. е. на числовой оси Ох отметим значения корней производной 7'(х) х=-1, х= 2, х=5. Эти три точки разобьют ось Ох на четыре области. В каждой из этих областей каждый сомножитель имеет определенный знак, поэтому все произведение (х+ 1)(х-2)(х — 5) может менять знак лишь при переходе через точки х = -1, х = 2, х = 5 (рис. 7, а).
8 зГ (х — 4)2 5(х — — ) Очевидно: 18~р, = о~ ~р„„= и (Рис. 9). к»сет (х-а )а'1 (т-а )" в х Х. 21 — четная степень 21+1 — нечетная степень Рвс. 9 14 Определим знак каждого множителя на каждом интервале. Возьмем произвольную точку на крайней правой области х,. Очевидно, х, больше всех корней, поэтому все разности, стоящие в скобках, положительны, и положительным будет произведение этих скобок.
Ставим на схеме знак «+». Переходим к следующей области. Теперь хз < 5, поэтому хз — 5 < О, но х2 >2 и хз -2 > О, хз+1 > О, т. е. изменил знак пока только один сомножитель, поэтому изменит знак и все произведение: оно станет отрицательным. Ставим на схеме знак « — ». При переходе в третью область окажутся отрицательными две разности: (хз -2) и (хз -5) и произведение изменит знак, став положительным, и т. д.
Это правило интервалов можно коротко сформулировать в следующем виде. Чтобы определить знак произведения (х — а,)"'(х — аз)"' ... (х — а„)"", отмечаем на числовой оси точки а,,аз, ...,а„. Если /с„ — четное, знаки слева и справа от точки а,„ одинаковые; если /с — нечетное, то знаки слева и справа от точки а разные. На крайнем правом интервале произведение всегда положительно, а затем знаки просто чередуются (для случая различных действительных корней) при переходе через те точки а,„, где они должны измениться (рис. 8). После того как знаки первой производной у' нанесены на схему, делаем выводы. На интервале, где у' > О, функция возрастает; на интервале, где у' с О, функция убывает (достаточные условия возрастания и убывания функции на интервале).
Соответствующие надписи можно сделать на схеме. Теперь становится ясным характер экстремумов в наших критических точках (см. рис. 7). Маленькой дугой на эскизе графика функции показываем его вид в окрестности точек экстремума. Ос- тальные точки графика строим по схеме, помня только об интервалах возрастания и убывания (рис. 7, б). Пример 2. Для функции у=(х-4)чх' найти интервалы возрастания, убывания и точки экстремума.
Построить график функции в окрестности критических точек. Находим у'. у' = 0 при х = —; у =-3,5(~з/5 =1,7) 5* у'=со при х=О; у=О. 8 На числовую ось наносим точки х= —, х=О. Определяем 5' знаки у' на получившихся интервалах. Делаем выводы. То, что в точке (0,0) у' = сз, говорит о том, что касательная к графику фУнкЦии в этой точке веРтикальнаЯ, так как У'(Мс) = 18 д „,, Р Возрастает Убывает Возрастает р + Строим на чертеже две точки ~ —, -3,5 и (0,0) и отмечаем )8 черточками касательные к графику в этих точках (одна — горизонтальная, другая — вертикальная). Намечаем маленькие дуги графика около точек экстремума. И, наконец, достраиваем эскиз графика, соблюдая интервалы возрастания и убывания, заметив, что он пересекает ось Ох в точке х = 4 (рис.
9, а). Вверх Вниз Крив~ выпукла 9" а Рвс. 9, а Пример 3. Найти точки перегиба графика функции и интервалы выпуклости вверх (вниз). Построить график функции в окрестности точек перегиба (критических точек): у = (х — 2)бх . Интервалы выпуклости вверх и вниз находят с помощью второй производной. Вычислим ее; 1 зг- х — 2 Зх+х — 2 4 у' = мх+ — = Зз/ г 3 за' з~г 1 2 4 2 Зз/х 4х~-1 ~х — (х — — )— 3 3(.$9 3г 5 Точки перегиба возможны там, где вторая производная об- ращается в нуль или не существует. Это критические точки вто- рого рода.
Очевидно, у"=0 при х=-1, у=З, у'=-2, у'=з при х=О, у=О„у'= з. (В критических точках второй производной полезно нахо- дить не только значение функции у, но и значение первой производной у', которая определяет направление касательной к графику и поэтому помогает уточнить форму кривой.) Нанесем полученные точки на числовую ось. Исследуем знак второй производной аналогично тому, как мы определяли знак у'. На интервале, где у" > О, кривая выпукла вниз; на ин- тервале, где у" < О, кривая выпукла вверх — достаточное условие выпуклости кривой (рис. 10).
16 Рвс. 10 Так как в найденных критических точках вторая производная меняет знак, график будет иметь две точки перегиба: (-1,3) и (0,0) (на основании достаточного условия точки перегиба). Строим на чертеже точки перегиба. Намечаем направление касательных к графику в этих точках. Затем строим график, помня, что выпуклая вверх кривая лежит под касательной, а выпуклая вниз — над касательной (рис. 11). Рис. 11 1.7. Полное исследование свойств функции Полное исследование свойств функции выполняют по следующей схеме: 1) устанавливают области определения функции, нули функции, свойства четности (нечетности) и периодичность функции; 2) находят вертикальные и наклонные асимптоты графика функции; 3) исследуют функцию по производной первого порядка; 4) исследуют функцию по производной второго пррядва.'" ': 17 Лример 1. Исследовать функцию и построить ее график: хз у= х — 3 2 1а) Область определения.
Так как функция является элемен- тарной, она непрерывна в области определения. Точками раз- рыва являются х„= БАГЗ. )9, = (-,-ГЗ)() (-,ГЗ,,ГЗ) О(,ГЗ,+ ). 1б) Нули функции: хз у = х> у = 0 при х = 0. (х — ГЗ)(х + /3) 1в) Искомая функция является нечетной, так как /'(-х) = — —,/(х), ее график симметричен относи(-х) х ( — х)2 — 3 хг — 3 тельно начала координат.
1г) Искомая функция непериодична. 2) Асимптоты. Исследуем характер точек разрыва: х' З~ГЗ )цп „г"(х) = )пп ю — ж 44о, х-~х~~-0 х-++ ГЗ~О (Х вЂ” Д)(Х+ хГЗ) +О Р 3ГЗ !пп /'(х) = 1пп = — = -хо „ х-+хго .,lз-а (х — /3)(х + ГЗ) -0 -3,/3 1пп г (х) = 1цп — — вой х-+хг+О х-~-хз+О (х — ~ГЗ)(Х+ ГЗ) -О х' -3 Гз 1пп Дх) = 1пп — — — -оэ х г-а -Гз-о (х —,/3)(х+ хГЗ) +О Точки х,г =+ /3 — точки неустранимого разрыва второго рода. В этих точках функция имеет 1пп г"(х) = о, поэтому хьг-+х 13 прямые х, г =+ /3 являются вертикальными асимптотами. Находим наклонные асимптоты у = Ьх+Ь.
Определим го,и Ь, и учтем симметрию графика относительно начала координат: 1с, = 1пп — = 1пп =1, ,/'(х) . х' я + х г+ (х — 3)х 2 18 3 Ь, = 1пп [Дх) — )Ох]= Ыгп 1 -х =[о — оз]= х" Х1 . '((х — 3)х х — х +3 . 3 =Вш =Йп — =0 хг~ х — 3 хгх х — 3 2 2 у = х — наклонная асимптота, одна и та же при х 4 4 Исследуем, как график функции подходит к асимптоте, для этого найдем разность: ( хз 1 3 а(х) = у„-у„= — -х (хг -3 ~ хг — 3 Устанавливаем знак этой разности на + о и -хо: при х + +оо а(х) = у„— ум ь О, при х-+ — о а(х) = у„— у„<0 (знак этой разности определяется знаком числителя Зх, а знаменатель на ~ о всегда >0).
Строим асимптоту у = х и намечаем эскиз графика выше асимптоты при х з 44о и ниже ее при х -+ — о. 3) Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума: Зхг(хг — 3) — х32х хг(хг — 9) хг(х — 3)(х+ 3) (хг 3)2 (хг — 3)г (х — Л)г(х 4. хГЗ) у'=0 при х=О, у=О; хзг=+3, у,,=х —, 2 У = хо ПРИ ХЗ4 =-+Д. В точках х34 =х.ГЗ (пп у=о и 1пп у = о — это не Х! г-~ЬЧЗ ХЗ г-~ЬХГЗ критические точки первого рода, так как в них функция терпит разрыв, но исследовать эти точки надо, так как возможна смена интервалов возрастания и убывания функции.
Критические точки х = О, х =+3 и х =+ ГЗ наносим на числовую ось. Определяем знаки у' на получившихся интервалах. По этим знакам делаем вывод о возрастании и убывании функции, а также о наличии точек экстремума. В точках х = + /3 график функции имеет вертикальные асимптоты, поэтому они не могут быть точками экстремума (рис. 12).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
