Поляшова Р.Г., Михайлова Т.Ю., Титов К.В. Исследование свойств функций и построение графиков. Формула Тейлора и ее приложения (2002)

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана УДК 517.5 ББК 22.161.5 П49 Рецензент А.В. Копаев Поляшова Р.Г., Михайлова Т.Ю., Титов К.В. П49 Исследование свойств функций и построение графиков. Формула Тейлора и ее приложения: Методические указания к выполнению домашнего задания. — М.: Издво МГТУ им.

Н.Э. Баумана, 2002. — 40 с. 18ВХ 5-7038-2140-1 В методических указаниях изложены теоретические вопросы: 1) экстремум функции и геометрические приложения производной (направление вогнутости, точки перегиба, асимптогы, построение графиков функций цо характерным точкам, наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке); 2) формула Тейлора (ее частный случай — формула Маклорена; остаточный член в форме Лагранжа и Пеано).

Приведены условия домашнего задания и список рекомендуемой литературы. Для студентов первого курса всех специальностей. Ил. 14. Бвбл. 9 назв. УЛК 511.5 ББК 22.161.5 ПРЕДИСЛОВИЕ Активная самостоятельная работа студентов — залог успешного овладения изучаемым курсом. Одной из форм активизации учебного процесса по математике служит система типовых расчетов. Применение этой системы, утвержденной Минвузом СССР в 1979 г., рекомендовано действующей учебной программой по высшей математике для инженерно-технических специальностей вузов. Основой системы типовых расчетов является индивидуализация заданий.

Задачи — расчетные задания представлены в настоящих методических указаниях каждая 30 вариантами. Расчетные задания сопровождаются необходимыми теоретическими сведениями и разобранными решениями задач. Методические указания издаются в соответствии с учебным планом, они рассмотрены и одобрены кафедрами «Математическое моделирование«, «Прикладная математика«, «Высшая математика», а также методической комиссией факультета ФН и Учебно-методическим управлением.

18ВХ 5-7038-2140-1 © МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002 1. ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ Исследование свойств функции должно обязательно сопровождаться построением графика функции. При частичном исследовании свойств функции ее график построить трудно, поэтому большая часть задач посвящена полному исследованию свойств функции. В нашем пособии вначале будут решены несколько задач на частичное исследование свойств функции, а затем — задачи на полное исследование.

1.1. Возрастание, убывание функции. Точки экстремума Функцию у = у(х) называют возрастающей (убывающей) в интервале (а,Ь), если лля любых х, и х, е (а,Ь), удовлетворяющих неравенству х, < хз, справедливо неравенство г"(х1) < у"(хз) (соответственно у'(х,) > ~(х~) ). Чтобы выяснить, как ведет себя функция на интервале, необходимо вычислить ~'(х) . Если функция у(х) дифференцируема на интервале (а,Ь) и у"'(х) > О, она возрастает на (а, Ь); если же у"'(х) с О при всех х е (а, Ь), то Дх) убывает на этом интервале (рис. 1). у( у( Рвс.

1 1.2. Экстремумы функции одного аргумента Если существует такая окрестность ();(хо) точки хо, что для всякой точки х ~ хо этой окрестности выполняется неравенство Дх) > г"(хе) (или у(х) < у'(хе) ), то точку хо называют точ- кой минимума (максимума) функции у = Г(х), а число Г(х,)— минимумом (максимумом) этой функции. Точки минимума и максимума функции называют точками экстремума функции.

Необходимое условие экстремума Если в точкех, функция Дх) достигает экстремума, то ее производная в этой точке либо равна нулю, либо не существует. Точки, в которых производная обращается в нуль или не существует, называют критическими точками первого рода.

оар,. б .н,о)ур, . ° . г<,)=в, „„р,.; / мума может не быть ис. 2). р рвс. г Достаточное условие экстремума непрерывной функции Пусть г" (х) — дифференцируемая функция в некоторой окрестности (хе — б,хо + 5) критической точки хе, за исключением„быть может, самой этой точки.

Если при этом в интервалах (хо — б,хо) и (хо,хе +б) производная функции у"'(х) имеет противоположные знаки, то хо — точка экстремума. Причем, если / (х) > О при х е (хе — б,ха) и ~ (х) < О при х а (хе,хо +5), то хо — точка максимума. Если же Лх) при х е (хо — Б, хо -~ 6), х ~ хе, сохраняет знак„то точка хе не является точкой экстремума.

Если ~'(х) с О при х е (х — Б,х ) и у'(х) > О при х е (хе, хо ~. 6), то хо — точка минимума. 1.3. Направление вогнутости. Точки перегиба Общее определение выпуклости функции. Функцию г(х) называют выпуклой (вверх, вниз) на интервале (а, Ь), если, каковы бы ни были точки х, и хз, а с х, < хз < Ь, Длв любой точки хО интервала х,, хз выполняется неравенство +(хО) я г"(хО), ( г(х,) л Г(~,) ). '(гитэ нжа~-".бу 4.,~ Геометрически это означает, что любая точка хорды АВ (т. е. отрезка прямой у = Е(х) с концами в точках А и В) лежит не выше точки графика Г(х), соответствующей тому же значению аргумента (рис. 3).

х называют точкой перегиба этой функции, а точку (хО, Г(хО))— точкой перегиба графика функции р"(х) . Необходимое условие точки перегиба Если точка хО является точкой перегиба графика функпии у = у(х), то Г"'(хО) = О или не существует. Точки, где т""(хО) = О или не существует, называют критическими точками второго рода. Достаточное условие точки перегиба Если при переходе через критическую точку второго рода х = хОД'"(х) меняет свой знак, то эта точка является точкой псрегиба графика функции.

х„х, х Рве. 3 Рассмотрим на плоскости кривую у=у"(х), являющуюся графиком однозначной дифференцируемой функции ~(х) . Определение. Кривая обращена выпуклостью вверх (вниз) на интервале (а, Ь), если все точки кривой лежат ниже (выиге) любой ее касательной на этом интервале. Например, график функции у = у(х) (рис. 4) является выпуклым вниз на интервале (а, хО) и выпуклым вверх на интервале (хО,Ь) . «(ха) х, Ь х Рис. 4 Определение. Пусть функция г" (х) определена и непрерывна в некоторой окрестности точки хО.

Если при переходе х через точку хО меняется направление вьптуклости функции .Г(х), то 1.4. Асимптоты Прямую линию называют асимптотой данной кривои, если при неограниченном удалении точки кривой от начала координат ее расстояние до прямой стремится к нулю. Асимптоты бывают вертикальными, наклонными и горизонтальными. Находить их можно с помощью следующих правил: 1. Если точка х =.

а является точкой бесконечного разрыва для функции у =т(х), т. е. Бш г'(х) = о или йп хх(х) = о, х-«ааО х — «а-О то прямая х = а является вертикальной асимптотой для графика этой функции. Отсюда следует, что вертикальные асимптоты у графика функции у"(х) могут быть только при наличии граничных точек области определения функции или точек разрыва.

2. Прямую у = «хе Ь («х О) называют правостороннсй (левосторонней) наклонной асимптотой графика функции у"(х), если эту функцию можно представить в виде ~(х) = «х+ Ь ч- а(х), где о(х) — бесконечно малая функция при Х -+ тоо (Х + '"«) ««Х(Х) = уи««ивой Уаоимптотм Для того чтобы график функции имел правостороннюю наклонную асимптоту у = «,х+ Ь,, необходимо существование двух конечных пределов )пп — = «т х О и 1пп [г"(х) - «х1 = Ь, . л) х х-«ам Аналогично, чтобы график функции имел левостороннюю наклонную асимптоту у = «зх е Ь,, необходимо существование двух конечных пределов Бш — = «~ х О и Бгп [т"(х) — «х[ =- ~.

Лх) х х-«- о асимптоты. Далее, поскольку х2 Пример 12 у = х' — 1 1 1 = йп — — =0 » х-».|. » 2 1 1 ) оо х (1 — — ) 3') Если при этом к1 =1(2 = й и Ь, = Ьг =Ь, то график данной функции имеет двустороннюю наклонную асимптоту у = Ьх+ Ь. Ясно, что горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных при й = 0 . Рассмотрим следующие примеры. Найдите асимптоты графиков данных функций, изобразите их на чертеже, определите расположение кривой относительно своих асимптот и наметьте приблизительно график функции. Решение.

Сначала найдем область определения функции: Ю„=( о,1)()(1,~- о). Уточним, имеет ли график данной функции вертикальную асимптоту в точке х = 1. 1. х = 1 — точка разрыва функции. Так как хг х2 ~'1 Ыт = 1пп 2 к-»1»О Х3 — 1 к-»1»0 (» 1)(Х2 .1- Х .1. 1) ~.~-03 хг х2 =~ 11= 1пп, = йп 1-о х3 1 1-о(х- 1)(х к х+]) ~-0~ прямая х = 1 является вертикальной асимптотой функции. 2. Найдем наклонные асимптоты: й, = 1пп — = йп = ~ — 1= 1пп ,1'(х) .

х ~ о~ . х х»«х к-н»(хз ])х ~со~ к-»«3, 1 .3 1 Ь,= йп~1'(х) — Ах~= йп~ — — 0 х~= йп =О, х-н-» к-»»»~Х3 1 ~ к-»» Х3 у =Π— горизонтальная асимптота (правосторонняя). Так как хг а,(х)=у, — у„= >О при х — >+о, кривая лежит выше х — 1 х-»» х х-»» (х — 1)х ~Л) 0 1-, -О, у = 0 — горизонтальная асимптота при х -+ -оо (левосторонх няя).

Так как аг(х)=у, — у„= — <О при х-+ — о, кривая х — 1 лежит ниже асимгпоты (рис. 5). 1 Пример 2: у = хе" . Решение. Сначала найдем область определения функции: П =(-оо,ОИ(О,+ ). 1. х = 0 — точка разрыва, Проверим, имеет ли график функции вертикальные асимптоты в точке х = О: Ит 1'(х)= Бгп х е =10 о1= 1пп — = — = йп х-+О+ х-+О+ х-»0» 1 оо х»0+ (1'~, х '»х ) ! "[ — 1 = 1пп йш ех = есо х-аоа 1 х — аос. хз 1пп 1'(х) = 1ип х е' =~0 е ~ =~0 — =О. 1 ! Прямая х = 0 — вертикальная правосторонняя асимптота. Слева от нее график функции стремится к точке (0,0).