Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И.

Издание подготовлено при поддержкеФонда Дмитрия Зимина «Династия»Фонд некоммерческих программ «Династия» основан в году Дмитрием Борисовичем Зиминым, почетным президентомкомпании «Вымпелком». Приоритетные направления деятельностиФонда –– развитие фундаментальной науки и образования в России,популяризация и просвещение. «Библиотека «Династии» –– проектФонда по изданию современных научно-популярных книг, отобранных экспертами-учеными.

Книга, которую вы держите в руках,выпущена в рамках этого проекта.Более подробную информацию о фонде «Династия» вы найдетепо адресу www.dynastyfdn.ru.В. И. АрнольдОбыкновенныедифференциальныеуравненияМоскваИздательство МЦНМОУДК .ББК ..АААрнольд В. И.Обыкновенные дифференциальные уравнения. –– Новоеиздание, исправл. –– М.: МЦНМО, .

––  с.: ил.ISBN ----За сорок лет, прошедших со времени выхода первого издания, этотучебник успел стать классическим. Большое внимание уделяется геометрическому смыслу основных понятий. В книге прослеживается тесная связьпредмета с приложениями, в особенности с механикой. При изложении делается упор не на формулы, а на геометрический смысл основных определений и теорем. Автор знакомит читателя с такими понятиями, как многообразия, однопараметрические группы диффеоморфизмов, касательные пространства и расслоения. В число рассматриваемых примеров из механикивходит исследование фазовых портретов консервативных систем с однойстепенью свободы, теория малых колебаний, параметрический резонанс.Книга предназначена для студентов и аспирантов математических факультетов университетов и вузов с расширенной программой по математике.ББК ..Публикуется по изданию: В.

И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Учеб. пособие для вузов. –– -е изд., перераб.и доп. –– М.: Наука, .ISBN ----© Арнольд В. И., .© МЦНМО, .ОглавлениеПредисловие к третьему изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Предисловие к первому изданию . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .Некоторые постоянно употребляемые обозначения . . . . . . . .Г л а в а . Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 1. Фазовые пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 2. Векторные поля на прямой . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .§ 3. Линейные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 4. Фазовые потоки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 5. Действие диффеоморфизмов на векторные поля и на полянаправлений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .§ 6. Симметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Г л а в а . Основные теоремы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 7. Теоремы о выпрямлении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 8. Применения к уравнениям выше первого порядка . . . . .§ 9. Фазовые кривые автономной системы . . . .

. . . . . . . . .§ 10. Производная по направлению векторного поля и первыеинтегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 11. Линейные и квазилинейные уравнения первого порядкас частными производными . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .§ 12. Консервативная система с одной степенью свободы . . . .Г л а в а . Линейные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 13. Линейные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 14. Показательная функция . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .§ 15. Свойства экспоненты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 16. Определитель экспоненты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 17. Практическое вычисление матрицы экспоненты –– случай вещественных и различных собственных чисел . . . . .§ 18. Комплексификация и овеществление . . . . . . .

. . . . . .§ 19. Линейное уравнение с комплексным фазовым пространством . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 20. Комплексификация вещественного линейного уравнения§ 21. Классификация особых точек линейных систем . . .

. . .§ 22.§ 23.§ 24.§ 25.§ 26.§ 27.§ 28.§ 29.ОглавлениеТопологическая классификация особых точек . . . . . . . .Устойчивость положений равновесия . . . . . . . . . . . . .Случай чисто мнимых собственных чисел . . . . . . .

. . .Случай кратных собственных чисел . . . . . . . . . . . . . .О квазимногочленах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Линейные неавтономные уравнения . . . . . . . . . . . . . .Линейные уравнения с периодическими коэффициентамиВариация постоянных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Г л а в а . Доказательства основных теорем .§ 30. Сжатые отображения . . . . . .

. . . . . . . .§ 31. Доказательство теорем существования изависимости от начальных условий . . . . .§ 32. Теорема о дифференцируемости . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .непрерывной. . . . . . . . . .. . . . . . . .

. .Г л а в а . Дифференциальные уравнения на многообразиях§ 33. Дифференцируемые многообразия . . . . . . . . . . . . . . .§ 34. Касательное расслоение. Векторные поля на многообразии . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 35. Фазовый поток, заданный векторным полем . . . . . . . .§ 36. Индексы особых точек векторного поля . . . . . . . . . . . .Программа экзамена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . Образцы экзаменационных задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Предисловие к третьему изданиюПервые две главы книги сильно переработаны и значительнорасширены. Добавлены разделы об элементарных методах интегрирования (о линейных однородных и неоднородных уравненияхпервого порядка, об однородных и квазиоднородных уравнениях),о линейных и квазилинейных уравнениях с частными производными первого порядка, об уравнениях, неразрешенных относительнопроизводных, и о теоремах Штурма о нулях линейных уравненийвторого порядка.

Таким образом, в новое издание книги включенывсе вопросы действующей программы по теории обыкновенныхдифференциальных уравнений.Излагая специальные приемы интегрирования, автор старалсявсюду выявлять геометрическую сущность разбираемых методови показывать, как эти методы работают в приложениях, особеннов механике. Так, для решения линейного неоднородного уравнениявводится δ-функция и вычисляется запаздывающая функция Грина,квазиоднородные уравнения приводят к теории подобия и законувсемирного тяготения, а теорема о дифференцируемости решенияпо начальным условиям –– к исследованию относительного движения космических тел на близких орбитах.Автор позволил себе включить в это предисловие несколько исторических отступлений.

Дифференциальные уравнения изобретены Ньютоном (––). Ньютон считал это свое изобретение настолько важным, что зашифровал его в виде анаграммы, смысл которой в современных терминах можно вольно передать так: «Законыприроды выражаются дифференциальными уравнениями».Основным аналитическим достижением Ньютона было разложение всевозможных функций в степенные ряды (смысл второй, длинной анаграммы Ньютона в том, что для решения любого уравнениянужно подставить в уравнение ряд и приравнять члены одинаковойстепени).

Особенное значение имела здесь открытая им формула бинома Ньютона (разумеется, не только с целыми показателями, длякоторых формулу знал, например, Виет ( ––), но и, что особенно важно, с дробными и отрицательными показателями). Ньютон разложил в «ряды Тейлора» все основные элементарные функ-Предисловие к третьему изданиюции (рациональные, радикалы, тригонометрические, экспонентуи логарифм). Это, вместе с составленной им таблицей первообразных (которая перешла в почти неизменном виде в современныеучебники анализа), позволяло ему, по его словам, сравнивать площади любых фигур «за половину четверти часа».Ньютон указывал, что коэффициенты его рядов пропорциональны последовательным производным функции, но не останавливался на этом подробно, так как он справедливо считал, что все вычисления в анализе удобнее производить не при помощи кратныхдифференцирований, а путем вычисления первых членов ряда.

ДляНьютона связь между коэффициентами ряда и производными быласкорее средством вычисления производных, чем средством составления ряда.Одним из важнейших достижений Ньютона является его теорияСолнечной системы, изложенная в «Математических началах натуральной философии» («Principia») без помощи математическогоанализа. Обычно полагают, что Ньютон открыл при помощи своегоанализа закон всемирного тяготения. В действительности Ньютону () принадлежит лишь доказательство эллиптичности орбитв поле притяжения по закону обратных квадратов: сам этот законбыл указан Ньютону Гуком ( ––) (см.

§ ) и, по-видимому,угадывался еще несколькими учеными.С «Principia» Ньютона начинается современная физика. Завершение формирования анализа как самостоятельной научной дисциплины связано с именем Лейбница ( ––). Огромной заслугой Лейбница является также широкая пропаганда анализа (первая публикация –– статья  г.) и доведение его алгоритмов ∗) дополного автоматизма: он изобрел таким образом способ научитьпользоваться анализом (и преподавать его) людей, вовсе его непонимающих, –– тенденция, с которой приходится бороться еще и сегодня.Из огромного числа работ XVIII века по дифференциальным уравнениям выделяются работы Эйлера (––) и Лагранжа ( ––).

В этих работах была прежде всего развита теория малых колебаний, а следовательно –– теория линейных систем дифференциальных уравнений; попутно возникли основные понятия линейной∗)Между прочим, Лейбницу принадлежат понятие матрицы, обозначение aij , а также начала теории определителей и теории систем линейных уравнений, одна изпервых вычислительных машин.Предисловие к третьему изданиюалгебры (собственные числа и векторы в n-мерном случае). Характеристическое уравнение линейного оператора долго называли секулярным, так как именно из такого уравнения определяются секулярные (вековые, т.

е. медленные по сравнению с годовым движением) возмущения планетных орбит согласно теории малых колебаний Лагранжа. Вслед за Ньютоном Лаплас и Лагранж, а позже Гаусс(––) развивают также методы теории возмущений.Когда была доказана неразрешимость алгебраических уравнений в радикалах, Лиувилль ( ––) построил аналогичную теорию для дифференциальных уравнений, установив невозможностьрешения ряда уравнений (в том числе таких классических, как линейные уравнения второго порядка) в элементарных функциях иквадратурах. Позже С. Ли (––), анализируя вопрос об интегрировании уравнений в квадратурах, пришел к необходимостиподробно исследовать группы диффеоморфизмов (получившие впоследствии имя групп Ли) –– так из теории дифференциальных уравнений возникла одна из наиболее плодотворных областей современной математики, дальнейшее развитие которой было тесно связаносовсем с другими вопросами (алгебры Ли еще раньше рассматривали Пуассон (––) и, особенно, Якоби ( ––)).Новый этап развития теории дифференциальных уравнений начинается с работ Пуанкаре ( ––), созданная им «качественная теория дифференциальных уравнений» вместе с теорией функций комплексных переменных привела к основанию современнойтопологии.