Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С.

Ю. С. Ильяшенко, С. Ю. ЯковенкоАналитическая теориядифференциальных уравненийТом 1МоскваИздательство МЦНМО2013УДК 517.91ББК 22.161.6И49И49Ильяшенко Ю. С., Яковенко С. Ю.Аналитическая теория дифференциальных уравнений. Том 1. —М.: МЦНМО, 2013. — 432 с.ISBN 978-5-4439-0230-2 (том 1)Предлагаемая книга — первый том двухтомной монографии, посвящённой аналитической теории дифференциальных уравнений.В первой части этого тома излагается формальная и аналитическая теориянормальных форм и теорема о разрешении особенностей для векторных полейна плоскости.Вторая часть посвящена алгебраически разрешимым локальным задачам теории аналитических дифференциальных уравнений, квадратичным векторнымполям и проблеме локальной классификации ростков векторных полей в комплексной области.

Дано современное изложение работы Дюлака (1908) об условияхцентра и классической работы Баутина о рождении не более чем трех предельныхциклов при бифуркации особой точки квадратичного векторного поля типа центр.Изложена теория алгебраически разрешимых локальных задач и доказана алгебраическая неразрешимость проблемы различения центра и фокуса.В третьей части изложена линейная теория: подход Арнольда к теории нормальных форм линейных систем с нелинейной точки зрения, проблема Римана —Гильберта, явление Стокса, теорема Сибуи о секториальной нормализации.В приложениях приводится необходимый минимум сведений из теории римановых поверхностей и многомерного комплексного анализа.Книга предназначена для студентов, аспирантов и научных работников физико-математических специальностей.ББК 22.161.6Юлий Сергеевич ИльяшенкоСергей Юрьевич ЯковенкоАналитическая теориядифференциальных уравненийТом 1Подписано в печать 09.10.2013 г. Формат 70×100 1/16 .

Бумага офсетная.Печать офсетная. Печ. л. 27. Тираж 1000 экз. Заказ №Издательство Московского центра непрерывного математического образования119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. (499) 241–74–83.Отпечатано в ППП «Типография „Наука“».121099, Москва, Шубинский пер., 6Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине «Математическая книга»,Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. (499) 241–72–85.E-mail: biblio@mccme.ru, http://biblio.mccme.ruISBN 978-5-4439-0214-2 (общий)978-5-4439-0230-2 (том 1)ffi Ильяшенко Ю. С.,Яковенко С. Ю., 2013ffi МЦНМО, 2013ОглавлениеПредисловие .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11Часть Iнормальные формы и разрешение особенностейГлава 1.Аналитические дифференциальные уравненияв комплексной области . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 1.1.

Дифференциальные уравнения и их решения. Задача Коши§ 1.2. Принцип сжимающих отображений . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 1.3. Применение принципа сжимающих отображенийк оператору Пикара . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 1.4. Линейные дифференциальные уравнения.Экспонента линейного оператора . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .§ 1.5. Теорема о выпрямлении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 1.6. Векторные поля. Эквивалентность векторных полей . . . . . .§ 1.7. Векторное поле как оператор дифференцирования . . . . . . .§ 1.8. Выпрямление векторного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 1.9. Однопараметрические группы голоморфных отображений .Упражнения и задачи . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .Глава 2.§ 2.1.§ 2.2.§ 2.3.§ 2.4.§ 2.5.§ 2.6.Глава 3.17............1718......19..........................................22242627292930Голоморфные слоения и их особые точки . . . . . . . . . . . . . . . . . .32Основные определения . . . . . . . . . . . . . .Слоения и интегрируемые распределенияГолономия . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Слоения с особенностями . . . . . . . . . . . .Комплексные сепаратрисы . . . . . . . . . . .Надстройка над отображением в себя . . .Упражнения и задачи . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................32343639424546Формальные потоки и теорема о включении в поток . .

. . . . . . .48§ 3.1. Формальные векторные поля и формальные отображения .§ 3.2. Теорема об обратной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 3.3. Интегрирование и формальные потоки формальныхвекторных полей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .§ 3.4. Включение в поток и матричные логарифмы . . . . . . . . . .§ 3.5. Логарифмы и дифференциальные операторы . . . . . . . . . .§ 3.6. Включение в формальный поток . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Упражнения и задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...............4852...................................5355575959Формальные нормальные формы .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61§ 4.1. Теорема о формальной классификации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 4.2. Шаг индукции: гомологическое уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6162Глава 4.4Оглавление§ 4.3.§ 4.4.§ 4.5.§ 4.6.§ 4.7.§ 4.8.§ 4.9.§ 4.10.Глава 5.Разрешимость гомологического уравнения . . . .

. . . . . . . . . . . . .Резонансные нормальные формы: парадигма Пуанкаре — ДюлакаТеорема Белицкого . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Параметрический случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Формальная классификация формальных отображений . . . . . . . .Каспидальные точки . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Векторные поля с нулевой линейной частью . . . . . . . . . . . . . . .Формальные нормальные формы элементарных особых точекна вещественной плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Упражнения и задачи . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...............63656771737476....7882Голоморфные нормальные формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83§ 5.1.§ 5.2.§ 5.3.§ 5.4.§ 5.5.Области Пуанкаре и Зигеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. .Голоморфная классификация в области Пуанкаре . . . . . . . . . .Резонансный случай: полиномиальная нормальная форма . . .Голоморфные нормальные формы отображений . . . . . . . . . . .Приведение к линейной нормальной форме в области Зигеля:теоремы Зигеля, Брюно и Йоккоза (мини-обзор) . . . .

. . . . . .§ 5.6. Гомотопический метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 5.7. Альтернатива для расходимости нормализующего ряда . . . . . .§ 5.8. Ёмкость и неравенство Бернштейна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Упражнения и задачи . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .Глава 6.................. . . . 93. . . . 95. . . . 99. . . . 102. . . . 103Конечно порождённые группы ростковконформных отображений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105§ 6.1. Эквивалентность конечно порождённых групп ростковконформных отображений . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 6.2. Первые шаги формальной классификации . . . . . . . . . . . . . . . .§ 6.3. Интегрируемые ростки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 6.4. Динамика конечно порождённых групп ростков и псевдогруппы§ 6.5. Периодические орбиты и периодические ростки . . . . . . . .

. . . .§ 6.6. Замыкание псевдогруппы и плотность орбит . . . . . . . . . . . . . .§ 6.7. Счётное число предельных циклов для типичных псевдогрупп . .§ 6.8. Жёсткость конечно порождённых групп конформных ростков . .§ 6.9. Ослабление условий типичности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Упражнения и задачи . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .Глава 7.83848991..............................105108115117119121123124128129Голоморфные инвариантные многообразия . . . . . . . . . . . . . . . . 130§ 7.1. Инвариантные многообразия для гиперболических особых точек . . 130§ 7.2. Гиперболические инвариантные кривые для седлоузлов .

. . . . . . . . 134Упражнения и задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136Глава 8.§ 8.1.§ 8.2.§ 8.3.§ 8.4.§ 8.5.§ 8.6.§ 8.7.§ 8.8.§ 8.9.Разрешение особенностей на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . 138Полярное раздутие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Алгебраическое раздутие (σ-процесс) . . . . . . . . . . . . . . . .Раздутие аналитических кривых и слоений с особенностямиТеорема о разрешении особенностей . . . . . . . . .

. . . . . . . .Раздутие в аффинной карте: вычисления . . . . . . . . . . . . . .Дивизоры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Кратность пересечения и индекс пересечения . . . . . . . . . .Раздутие и индекс пересечения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.Раздутие и кратность слоений с особенностями . . . . . . . . .......................................................1381401431451471491511561605Оглавление§ 8.10. Разрешение каспидальных точек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162§ 8.11. Заключительные замечания: уничтожение резонансных узлови дикритических касаний . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165Упражнения и задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167Часть IIособые точки аналитическихвекторных полей на плоскостиГлава 9.Векторные поля на плоскостис характеристическими траекториями . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . 171§ 9.1. Первые шаги: классификация Пуанкаре . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 9.2. Секториальное разбиение окрестностей неэлементарныхособых точек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 9.3. Монодромные особые точки, характеристические орбиты,предельные циклы . . . .