Явление Гиббса

ЯВЛЕНИЕ ГИББСАБулыгин В.С.23 октября 2012 г.1. В конце 1898 — начале 1899 годов великий американский физик Джозайа Уиллард Гиббс(1839–1903), один из основоположников статистической механики, профессор математическойфизики на факультете философии и изящных искусств Йельского университета (США), являющийся тонким знатоком и ценителем математики1 опубликовал в английском общенаучномжурнале «Природа» (издаётся с 1869 г.) две небольших заметки [1] и [2], в которых показал,что ряд Фурье не всегда представляет разлагаемую функцию с должной точностью.

Редакцияанглийского журнала, как и сам Гиббс, не знали, что этот результат — ряд Фурье разрывнойфункции не сходится к разлагаемой функции в окрестности разрыва — уже был опубликован в Англии английским учёным Г. Уилбрагамом за 50 лет до этого [3], и за этим явлениемустановилось название: «Явление Гиббса».Рассмотрим явление Гиббса на частном случае разрывной функции [4, с. 91–93]−1 при −π < t < 0 ,(1)f (t) = sign(t) = 0при t = 0 ,+1 при 0 < t < π ,продолженной с периодом 2π на всю ось t (см. рис. 1)f (t)1−ππt-1Рис. 1. Периодическая функция (1), разлагаемая в ряд Фурье (2).Функция (1) является нечётной, поэтому её разложение в ряд Фурье будет содержатьтолько синусы:∞Xf (t) =bm sin mt ,(2)m=1где коэффициенты разложения bm определяются, с учётом (1), выражениями [5, с.

418, формула (12)]ZπZπ22 1 − cos πm21f (t) sin mt dt =sin mt dt ==[1 − (−1)m ] ,bm =πππmπm−π0«Математика — это язык» — сказал Гиббс на Учёном совете при обсуждении предложения об увеличенииучебных часов, предназначенных для изучения иностранных языков, за счёт уменьшения учебных часов, отведённых преподаванию математики (в 1871/72 учебном году у Гиббса занимались только 2 студента, правда,ставшие впоследствии профессорами Йельского университета и членами Национальной академии наук).11т. е. в разложении (2) отличны от нуля только члены с нечётными номерами m = 2n − 1 и,следовательно, разложение в ряд Фурье приводится к видуf (t) = lim SN (t) ,N →∞где SN (t) — сумма первых N ненулевых членов ряда Фурье:NSN (t) =4 X sin(2n − 1)t.π n=1 2n − 1(3)Характер приближения функции (1) частичными суммами (3) её ряда Фурье изображённа рис.

2.f (t), SN (t)1−ππt-1Рис. 2. Разлагаемая функция (1) и частичные суммы S6 и S15 её ряда Фурье (3).Как видно из рис. 2 частичные суммы SN осциллируют вблизи значений ±1 разлагаемойфункции. Исследуем, как ведут себя экстремумы SN (t) (в которых SN наиболее отклоняетсяот разлагаемой функции) при N → ∞.Производная частичной суммы SN (t), с учётом формулы Эйлера eiα = cos α + i sin α (i —мнимая единица) и формулы для суммы геометрической прогрессии (с начальным членом eitи знаменателем ei2t ) преобразуется к виду!NNi2N tX444X−1dSNit ei(2n−1)tcos(2n − 1)t = Re== Re e=edtπ n=1ππei2t − 1n=1iN t44 cos Nt sin Nt− e−iN t4iN t eiN t sin Nt= Re e== Re e=ititπe −eπsin tπsin t2 sin 2Nt,(4)=π sin tследовательно, точки экстремумов SN удовлетворяют уравнению sin 2Nt = 0 (кроме t = 0) ипри 0 6 t 6 π2 (картины при π2 6 t 6 π, как и при −π 6 t 6 0, полностью симметричны имогут отдельно не рассматриваться) равны:tn =πn,2Nn = 1, .

. . N.(5)Интегрируя (4), получим выражение для SN (t) (3) в интегральной форме, что для еёэкстремумов, с учётом (5), даёт:2SN (tn ) =π=tZn0πnZ 0sin 2Nt1dt = [τ = 2Nt] =sin tπNπnZ0sin ττ dτ =sin 2N n τ sin τ2(−1)n n2 sin τ−4,++O(N)dτ=Si(πn)−+Oπ τ12πN 2π12 N 2N42(6)где Si(x) — интегральный синус [4, с. 356–357], рис. 3:Si(x) ≡Zxπ cos xsin tdt = −+ O(x−2 )t2xпри x → ∞ .0Si(x)π2bbπbbb2π3π4πxРис. 3.

Нечётная функция — интегральный синус Si(x) при x > 0.Рассмотрим, как ведут себя экстремумы (6) при N → ∞. Если номер экстремума — целоечисло n = αN (0 < α 6 1), то, согласно (5), этот экстремум находится внутри рассматриваемого нами интервала в точке tn = 12 πα, и величина этого экстремума, согласно (6) равная2Si(παN) + O(N −1 ) ,πимеет при N → ∞ предел22lim Si(παN) =lim Si(x) = 1 ,π N →∞π x→∞т. е. вне разрыва нашей функции её ряд Фурье сходится к ней.Если же номер экстремума n не зависит от N, то, согласно (5), положение всех таких экстремумов при N → ∞ сливается с точкой разрыва (t = 0), а наибольший из этих экстремумов,согласно (6) и рис. 3, достигается при n = 1 и равенno 2(7)max lim SN (t) = Si(π) = 1,17898 . .

.N →∞πТаким образом, сумма бесконечного ряда Фурье функции (1) рис. 1, проходя через точкиразрыва, делает скачки, примерно на 17,9% большие, чем скачки разлагаемой функции играфик этой суммы имеет вид, изображённый на рис. 4:S∞ (t)1b−ππbt-1Рис. 4. Сумма ряда Фурье функции (1), рис.

1.Явление Гиббса, установленное им в [1] и [2] на частном примере тригонометрическогоразложения, имеет место и в общем случае. Как подробно показывается в [5, с. 495–497] этот жерезультат (7) оказывается справедливым и при разложении в ряд Фурье разрывной функцииобщего вида:3В точках разрыва функции, разложенной в ряд Фурье, скачки значений суммы ряда Фурье превышают величину скачков значений самойфункции на одинаковые доли, равные 17,9%.2. Если заменить разрывную функцию (1) непрерывной кусочно-монотонной функцией,быстро меняющейся в окрестности разрывов функции (1), то по признаку Дирихле [5, с. 438]ряд Фурье такой функции будет в каждой точке сходиться к этой функции и, следовательно,явление Гиббса в этом случае исчезает несмотря на то, что такая функция может отличатьсяот исходной разрывной только на сколь угодно малых промежутках.Рассмотрим, как ведёт себя разложение Фурье непрерывного аналога разрывной функции (1):−ϕ t+πпри −π 6 t 6 −π + ε ,εпри −π + ε 6 t 6 ε ,−1 t(8)f (t) = ϕ εпри −ε 6 t 6 ε ,+1при ε 6 t 6 π − ε ,ϕ π−t при π − ε 6 t 6 π ,εгде ϕ(x) — монотонно растущая нечётная функция, ϕ(−x) = −ϕ(x), ϕ(1) = 1.

Функция (8)изображена на рис. 5.f (t)1−π−π + ε−επεπ−ε-1tРис. 5. Непрерывная аппроксимация разрывной функции (1), рис. 1.Коэффициенты разложения Фурье (см. (2)) функции (8) определяются выражениями:επ−εZπZ ZZπ 22tπ−tbm =f (t) sin mt dt =  ϕsin mt dt +sin mt dt +ϕsin mt dt . (9)ππεε0Поскольку0π−εZεа такжеZε0επ−επ−εcos mεcos mt =[1 − (−1)m ]sin mt dt = −m εm Z1tϕsin mt dt = [t = εx] = ε ϕ(x) sin(mεx) dxε04иZππ−επ−tϕεZ0sin mt dt = [t = π − εx] = −ε ϕ(x) sin(πm − mεx) dx =1Z1Z100= −ε ϕ(x) sin(mεx − πm) dx = −(−1)m ε ϕ(x) sin(mεx) dxто коэффициенты разложения (9)bm =Z12cos mε[1 − (−1)m ] + ε ϕ(x) sin(mεx) dxπm0снова отличны от нуля при m = 2n−1 и частичная сумма N первых членов фурье-разложенияфункции (8) равнаNsin(2n − 1)t4XΦ(mε),(10)SN (t) =π n=12n − 1гдеZ1Φ(mε) = cos mε + mε ϕ(x) sin(mεx) dx(m = 2n − 1)(11)0Если mε мало, то cos mε = 1 − 12 (mε)2 + O (m4 ε4 ), sin(mεx) = mεx + O (m3 ε3 ) иΦ(mε) = 1 − γ(mε)2 + O m4 ε4(m = 2n − 1)где обозначеноZ11γ = − ϕ(x) x dx ,20<γ<(12)1,20поскольку для монотонно растущей от 0 до 1 функции ϕ(x)Z10Z1Z100ϕ(x)x dx < max{ϕ(x)} x dx = x dx =1.2Таким образом, с ростом N, до тех пор, пока величина γ(mε)2 = γ [(2N − 1)ε)]2 будетоставаться малой, можно считать Φ(mε) ≃ 1, частичные суммы SN (t) ряда Фурье (10) будутсовпадать с частичными суммами (3) ряда Фурье разрывной функции (1) и, следовательно, идля непрерывной функции (8) в этом случае будет наблюдаться явление, аналогичное явлениюГиббса:вблизи границы зоны быстрого изменения непрерывной функции значения частичных сумм её ряда Фурье SN (t) с ростом N будут сначала иметьвыбросы (превышающие величину изменения значений самой функции примернона 18%), которые с дальнейшим увеличением N будут стремиться к нулю и ряд Фурье в силу признака Дирихле станет сходиться к разлагаемойнепрерывной функции.5Оценим номер гармоники Nг = 2N − 1, являющийся условной границей наблюдения эффекта Гиббса.

Из выражения (12) следует оценка: γ(Nг ε)2 ∼ 1, или√1Nг ε ∼ √ ∼ 2 .γ(13)Вводя обозначение для относительного размера области резкого изменения функцииδτ =τ,Tгде τ — длительность перехода и T — период функции имеем для рассматриваемой функ2εции (8): δτ = 2π, откудаε = π · δτи оценка (13) принимает вид:√21= 0,45 ∼ .π2Эту оценку можно также получить из следующих соображений: чтобы начать описыватьпереход шириной τ нужна гармоническая составляющая ряда Фурье с периодом Tг ≡ NTг = 2τ(см.

рис. 6), откуда получаем:τ1τ= Nг = Nг · δτ = .TгT2Nг · δτ ∼− τ2b− T2bτ Tг2 2− T2гT2tРис. 6. Соотношение между областью τ резкого изменения функции и необходимым периодом гармоники Tг .Список литературы[1] J. Willard Gibbs. Fourier’s Seriés. // Nature. — 1898. — Vol. 59, Num. 1522.

— P. 200.[2] J. Willard Gibbs. Fourier’s Seriés. // Nature. — 1899. — Vol. 59, Num. 1539. — P. 606.[3] Willbraham H. // Cambrige and Dublin Math. Journ. — 1848. — Vol. 3. — P. 198—201.[4] Андре Анго. Математика для электро- и радиоинженеров (с предисловием Луи де Бройля). — М.: Наука, 1964.[5] Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. III.

— М.:Наука, 1966.6.