Учебное пособие - Числовые ряды - Кузьмина

Федеральное агентство по образованиюГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет − УПИ»С.С. Кузьмина, О.Я. ШевалдинаЧИСЛОВЫЕ РЯДЫУчебное электронное текстовое изданиеПодготовлено кафедрой анализа систем и принятия решенийУчебное пособие для студентов очной формы обучения всех специальностей факультета информационно-математических технологий и экономического моделирования.Учебное пособие содержит краткие теоретические сведения поразделу «Числовые ряды», а также большой набор примеров разного уровня сложности с подробным решением.

Включенные впособие упражнения можно использовать в процессе аудиторнойи самостоятельной работы студентов, при проведении контрольных работ, консультаций, собеседований и экзаменов.Данное пособие предназначено в первую очередь для студентоввсех специальностей факультета информационно-математическихтехнологий и экономического моделирования, а также можетбыть использовано для математической подготовки студентоввсех экономических специальностей УГТУ-УПИ.© ГОУ ВПО УГТУ−УПИ, 2005Екатеринбург2005Кузьмина С.С., Шевалдина О.Я.Числовые рядыОглавление1. Понятие числового ряда и его суммы...............................................................

31. 1.Сходящиеся и расходящиеся ряды........................................................ 31. 2.Число e как сумма ряда ..................................................................... 132. Основные свойства сходящихся рядов........................................................... 162. 1.Критерий Коши сходимости ряда........................................................ 162. 2.Необходимое условие сходимости ряда .............................................. 182.

3.Алгебраические операции и сходимость............................................ 203. Ряды с неотрицательными членами ............................................................... 223. 1.Критерий сходимости ряда с неотрицательными членами ........... 223. 2.Признаки сравнения ..............................................................................

223. 3.Признаки Даламбера и Коши............................................................... 273. 4.Интегральный признак Коши-Маклорена........................................ 313. 5.Метод выделения главной части ......................................................... 354. Знакопеременные ряды...................................................................................... 384. 1.Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.......................... 384.

1. 1. Сочетательное свойство для числовых рядов .................................. 394. 1. 2. Переместительное свойство сходящихся рядов ............................... 414. 2.Знакочередующиеся ряды..................................................................... 455. Ряды с комплексными членами....................................................................... 516. Упражнения.......................................................................................................... 54БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ................................................................ 60ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005Стр. 2 из 59Кузьмина С.С., Шевалдина О.Я.Числовые ряды1.

Понятие числового ряда и его суммы1. 1.Сходящиеся и расходящиеся рядыПусть задана последовательность ( a ) действительных чиселna1 , a 2 , a 3 , ... , a n , ... .(1. 1)Сопоставим этой последовательности чисел последовательность ( S ) конечnных сумм вида:S =a ,11S =a +a ,212S = a + a + a ,… ,3123S n = a1 + a2 + ... + an , …Однако на практике часто приходят к задачам суммирования бесконечнойпоследовательности чисел (1.1). В этом случае вместо слов последовательность ( a ) и последовательность ( S ) употребляют слово ряд. Для обозначеnnния ряда используют символы:a1 + a2 + ... + an + ...или∞∑ an .(1. 2)n =1Число S n =n∑ ak называют n -й частичной суммой рядаk =1∞∑ an ,а числоn =1a – n -м (общим) членом этого ряда.nТак как каждому ряду∞∑ ann =1соответствует последовательность ( S ) егоnчастичных сумм, и, наоборот, каждой последовательности ( S ) соответствуетnряд∞∑ an ,n =1где a1 = S1 , a2 = S 2 − S1 , …, an = S n − S n −1 ,… , то каждое свойствопоследовательностей можно переформулировать в некоторое свойство рядовГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005Стр.

3 из 59Кузьмина С.С., Шевалдина О.Я.Числовые рядызаменой характеристики членов последовательности соответствующей характеристикой членов ряда.Таким образом, фразы «последовательность (a ) », «последовательностьn( S n ) », «совокупность последовательностей (an ) и ( S n ) », «ряд∞∑ an »сутьn =1математические синонимы.При определении ряда естественно возникают вопросы:1. Что такое «сумма» бесконечной последовательности чисел?2.

Если сумма существует, то каковы ее свойства?Прежде чем ответить на эти вопросы, рассмотрим следующие примеры.Пример 1. Отрезок [0,1] разобьем пополам (на два равных отрезка).01/23/47/8 15/161Правую половину отрезка, то есть отрезок [1/2, 1], снова разделим пополам, затем разобьем пополам отрезок [3/4, 1] и т. д. Продолжая этот процессдо бесконечности, получим разбиение отрезка [0, 1] на бесконечное множествоотрезков: [0, 1/2], [1/2, 3/4], [3/4, 7/8], [7/8, 5/16],… Естественно считать, что«сумма» длин всех отрезков, на которые разбит отрезок [0, 1], равна длине отрезка, т.е.

единице. Иными словами,1 1 11+ + + ... + n + ... = 1 .2 4 82(1. 3)Это рассуждение было известно еще грекам, и философ Зенон (ок. 490 г.до н.э.), известный своими «парадоксами», оспаривал его законность. Один изпарадоксов утверждал, что бегущий человек никогда не сможет достичь своейцели, поскольку он должен пробежать сначала половину требуемой дистанции,затем половину оставшейся части дистанции и т. д.; таким образом, он долженпробежать бесконечное множество расстояний, а это будет продолжаться вечно.ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005Стр.

4 из 59Кузьмина С.С., Шевалдина О.Я.Числовые рядыЕсли бы мы попытались вычислить сумму (1. 3), последовательно выполняя все указанные в ней сложения, то это, конечно, никогда бы не окончилось.И все-таки равенство (1. 3) в некотором смысле верно. В чем же заключается точный его смысл?Определим понятие суммы ряда.

Прежде обратимся к примеру 1. Последо-⎛ 1 ⎞⎟n ⎟ сопоставим последовательность частичных сумм ( S n ) , где⎝2 ⎠вательности ⎜⎜1⎛1 ⎞⎜⎜1 − n ⎟⎟211137S n = + ... + n : S = , S = , S = , …, S = ⎝ 2 ⎠ .1n122 2 4 3 821−2Ясно, что lim S n = 1 является длиной отрезка.n→ ∞Определение. Если последовательность ( S ) частичных сумм ряда схоnдится, то ее предел S := lim S n называют суммой ряда, а сам ряд (1. 2) назыn→∞вают сходящимся или суммируемым. В этом случае пишут:S=∞∑ an .n =1Если lim S n = ∞ , или предел последовательности ( S n ) не существует, тоn→∞ряд∞∑ anназывают расходящимся.n =1Если lim S = +∞ , то говорят, что рядnn→∞шут∞∑ an = +∞ .n =1∞∑ anрасходится к + ∞ , и пи-n =1Аналогично в случае lim S = −∞ считаем, чтоnn→∞Пример 2.

Рассмотрим ряд 1 + 2 + 3 + 4 +=∞∑ an = −∞ .n =1∞∑n.n =1ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005Стр. 5 из 59Кузьмина С.С., Шевалдина О.Я.Числовые рядыДля этого ряда lim S n = limn →∞n →∞Пример 3. Рассмотрим рядn (n + 1)= +∞ . Данный ряд расходится к + ∞ .21−1+1−1+∞∑ (− 1)=n −1.Поскольку дляn =1этого ряда S= 1, S 2 k = 02 k −1(k ∈ Ν ),то последовательность ( S ) не имеетnпредела при n → ∞ . Следовательно, ряд∞∑ (− 1)n −1расходится.

Заметим, чтоn =1этот ряд не расходится ни к + ∞ , ни к − ∞ .( k)Пример 4. Рассмотрим последовательность S : S =Ей соответствует ряд∞∑ an , гдеn =1k1kα, k ∈ N, α∈ R .a1 = S1 = 1 , an = S n − S n −1 =1nα−n ∈ N , n ≥ 2. Так как последовательность ( S ) сходится при α ≥ 0nдится при α < 0 , то и ряд∞∑a =1+n =1n∞⎛ 1∑ ⎜⎜n=2⎝ nα−1(n − 1)α,и расхо-⎞⎟ сходится при α ≥ 0α⎟(n − 1) ⎠1и расходится при α < 0 .Не существует каких-либо общих методов нахождения сумм сходящихсярядов. Эту задачу удается решить только в отдельных частных случаях.Пример 5.

Исследуем сходимость ряда∞1∑ n(n + 1)и найдем его сумму.n =1Так как1111 111 1111,=1− ,= − ,= − , ...,= −1⋅ 22 2⋅3 2 3 3⋅4 3 4n ( n + 1) n n + 1ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005Стр. 6 из 59Кузьмина С.С., Шевалдина О.Я.Числовые рядыто последовательность частичных суммSn =111++ ...

+=1⋅ 2 2 ⋅ 3n ( n + 1)1⎞ ⎛1 1⎞ ⎛1 1⎞1 ⎞1⎛⎛1= ⎜ 1 − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ... + ⎜ −имеет lim S n = 1 .⎟ =1−n→∞22334nn+1n+1⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠⎝⎠Итак, заданный ряд сходится и его сумма S =∞1∑ n(n + 1) = 1 .n =1Замечание. Для представления общего члена ряда в виде суммы простейших дробей полезно использовать метод неопределенных коэффициентов.Пример 6. Исследуем на сходимость ряд∞∑n =1Представим общий член ряда an =12n(n + 3n + 2).1в виде суммы простейn(n + 1)(n + 2 )ших дробей:1ABC.= ++n(n + 1)(n + 2 ) n n + 1 n + 2Умножая обе части этого равенства на знаменатель левой части, приходим ктождеству: 1 ≡ A(n + 1)(n + 2 ) + Bn(n + 2 ) + Cn(n + 1) .11Последовательно полагая n = 0, − 1, − 2 , находим: A = ; B = −1; C = .221⎛121 ⎞ 1⎛1111 ⎞+= ⎜ −−+Таким образом, a = ⎜ −⎟⎟.n 2⎝ n n +1 n + 2⎠ 2⎝ n n +1 n +1 n + 2⎠Отсюда:1⎛ 1 1 1⎞ 1⎛1 1 1 1⎞1⎛1111 ⎞S = ⎜1 − + − ⎟ + ⎜ − + − ⎟ + … + ⎜ −+−⎟=n2⎝ 2 3 2⎠ 2⎝ 2 3 4 3⎠2 ⎝ n n + 1 n + 2 n + 1⎠1⎛ 111 ⎞ 1 1⎛ 11 ⎞= ⎜1 − +−−⎟= + ⎜⎟ . Ясно, что2 ⎝ 2 n + 2 n + 1⎠ 4 2 ⎝ n + 2 n + 1⎠1следовательно, данный ряд сходится и его сумма S = .4ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 20051lim S n = ,n→∞4Стр.

7 из 59Кузьмина С.С., Шевалдина О.Я.Числовые рядыПример 7. Исследуем на сходимость ряд∞5∑ (5n − 2 )(5n + 3) .n =1Преобразуем формулу n -го члена ряда, представив его в виде суммы простейших дробей: a =n(5n + 3) − (5n − 2 ) = 1 − 1 .(5n − 2 )(5n + 3) (5n − 2 )(5n + 3) 5n − 2 5n + 35=Выпишем последовательность частичных сумм данного ряда и найдем ее пре-1 11 1 1 1 1 1дел: S1 = a1 = − , S 2 = S1 + a2 = − + − = − , …,3 83 8 8 13 3 13S =Snn −1+a =n11−,3 5n + 31 ⎞ 1⎛1lim S = lim ⎜ −⎟= .n→∞ nn → ∞ ⎝ 3 5n + 3 ⎠ 31Следовательно, ряд сходится и его сумма S = .3Пример 8. Выясним, сходится или расходится ряд∞⎛ 3n + 2 ⎞⎝⎠∑ ln⎜ 3n − 1 ⎟.n =1Частичные суммы ряда равны:5S1 = a1 = ln ,2588⎛5 8⎞S = S + a = ln + ln = ln⎜ ⋅ ⎟ = ln ,211252⎝ 2 5⎠S =SnИмеемn −1+ a = lnn3(n − 1) + 23n + 23n + 2⎛ 3n − 1 3n + 2 ⎞.+ ln= ln⎜⋅⎟ = ln23n − 13n − 1 ⎠2⎝ 2lim S = lim lnn→∞ nn→∞,3n + 2= +∞ , т.к.