Учебное пособие - Определенный интеграл. Практикум

Министерство образования и наукиРоссийской ФедерацииНациональный исследовательскийядерный университет МИФИ“”Д. Г. ОрловскийОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.ПРАКТИКУМЧасть 1Рекомендовано УМО Ядерные физика и технологии“”в качестве учебного пособиядля студентов высших учебных заведенийМосква 2010УДК 517.518.12 (076.5)ББК 22.161.5яО-66Орловский Д. Г. Определенный интеграл. Практикум.Часть 1. Учебное пособие. – М.: НИЯУ МИФИ. 2010 – 354 с.Учебное пособие посвящено практике работы с определенным интегралом.

Владение техникой работы с интегралом наряду с техникой дифференцирования является важной составнойчастью фундаментального образования математиков и физиковтеоретиков. Поэтому наличие пособий по данной тематике представляется актуальным. Особенностью данного пособия является то, что все рассматриваемые задачи приводятся с решениями, поэтому оно может быть использовано для самостоятельногоизучения.Пособие состоит из двух частей.

В первой части рассматриваются фундаментальные понятия, связанные с определенным интегралом. Вторая часть пособия посвящена приложениям определенного интеграла.Настоящее пособие предназначено для студентов университетов, технических и педагогических вузов, вузов с углубленным изучением математики. Оно может быть также использовано преподавателями при проведении семинарских занятий порассматриваемой в пособии теме.Подготовлено в рамках Программы создания и развитияНИЯУ МИФИ.Рецензент доцент А.

Г. СлесаревISBN 978–5–7262–1372–9ISBN 978–5–7262–1249–4 (Ч. 1)c Национальный исследовательский⃝ядерный университет МИФИ“, 2010”ПредисловиеНастоящая книга представляет собой учебное пособие по определенному интегралу для студентов физико-математическихспециальностей высших учебных заведений и университетов. Заоснову взят известный задачник Б.

П. Демидовича [7], являющийся основным по рассматриваемой теме. Особенностью данного пособия является решение всех примеров задачника Демидовича, составляющих его четвертую главу. В связи с этим сохранена нумерация задач, принятая в [7], и поэтому первая задача в пособии имеет номер 2181. Помимо примеров из указанноговыше задачника в тексте присутствуют задачи полезные для понимания дальнейшего материала.

Они имеют свою нумерацию,и их решения или ответы к ним приведены в конце пособия.Пособие состоит из двух частей. В первой части рассматриваются фундаментальные понятия, связанные с определенным интегралом. Вторая часть пособия посвящена приложениям определенного интеграла.В пособии практически нет теоретического материала, упорделается на практическую сторону вопроса. Тем не менее теоретическая сторона предмета важна для правильного пониманияпредмета. Поэтому читателю рекомендуется одновременно читать и соответствующие разделы учебника.

Ссылки на общепринятые учебники и пособия, аналогичные данному, приведены вконце пособия в списке литературы. В качестве учебников можнорекомендовать книги [2] – [5], а в качестве пособий по практическому решению задач издания [6] и [8].В пособии используются значения некоторых неопределенных интегралов из задачника [7]. Вычисление этих интеграловне приводится, читатель может ознакомиться с решением этихзадач в [1].Данное пособие может быть полезно не только студентам ипреподавателям, но и всем тем, кто интересуется высшей математикой.3Глава 1Понятие определенного интегралаК понятию определенного интеграла как предела интегральных сумм можно придти, решая различные физические задачи.Рассмотрим, например, вопрос об определении массы стержняпеременной плотности.Пусть стержень постоянного сечения S занимает отрезок [a; b]вещественной оси Ox и его плотность ρ = ρ(x).

Разобьем стержень на небольшие участки плоскостями x = xi (0 6 i 6 n),перпендикулярными к оси Ox. Пустьa = x0 < x1 < . . . < xn = bи длина каждого участка ∆xi = xi+1 − xi настолько мала, чтоплотность стержня на промежутке x ∈ [xi ; xi+1 ] практически постоянна. Это означает, что если мы выберем произвольную точкуξi ∈ [xi ; xi+1 ], то можно считать, что средняя плотность стержняна выбранном участке ρ ≈ ρ(ξi ). В этом случае масса участкастержня, отвечающего отрезку [xi ; xi+1 ], равна ρ(ξi )S∆xi (величина S∆xi равна объему рассматриваемого участка стрежня, аρ(ξi ) – его средняя плотность). Суммируя массы всех участков,получаем приближенно массу стержня:M≈n−1∑ρ(ξi )S∆xi .i=04(1.1)Когда число отрезков разбиения неограниченно увеличивается и длины всех отрезков уменьшаются так, что величинаλ(T ) =max ∆xi → 0,06i6n−1то в пределе мы получаем точное значение массы стержняn−1∑M = limλ(T )→0ρ(ξi )S∆xi .i=0Рассмотренная выше конструкция приводит к понятию определенного интеграла для произвольной функции f , заданной наотрезке [a; b] вещественной оси.

Для произвольного натурального числа n рассмотрим разбиениеT = {x0 , x1 , . . . , xn }(a = x0 < x1 < . . . < xn = b) отрезка [a; b]. Характеристикойэтого разбиения назовем величинуλ(T ) =max ∆xi06i6n−1(∆xi = xi+1 − xi ). Разметкой разбиения T назовем набор точекξ = {ξ1 , . . .

, ξn },для которого ξi ∈ [xi ; xi+1 ] (0 6 i 6 n − 1). Интегральной суммойфункции f на размеченном разбиении (T, ξ) назовем величинуS(f ; T, ξ) =n∑f (ξi )∆xi .k=1Наконец, определенным интегралом от функции f по отрезку[a; b] назовем предел интегральных сумм при условии, что характеристика разбиения стремится к нулю:∫bf (x) dx = lim S(f ; T, ξ)λ(T )→0a5(если этот предел существует).Применительно к предыдущему примеру, мы можем сказать,что масса стержня определяется равенством∫bM = ρ(x)S dx.aОднако здесь нужно сделать несколько замечаний, необходимыхдля точного изложения предмета. Прежде всего отметим, чтопроделанные в самом начале рассуждения относительно определения массы стержня по его плотности, не являются математически безупречными.

Нет никакого основания считать, что приближенное значение массы (1.1) в пределе даст ее точное значение. Это, конечно, связано с тем, что не было дано точныхопределений массы и плотности. Без этих определений бессмысленно говорить о задаче восстановления массы стержня по егоплотности. Рассмотрим эти понятия подробнее.Первичным будем считать понятие массы. Можно, конечно,считать первичным понятие плотности. Однако тогда нам придется определить массу как интеграл от плотности. Такой подход уже подразумевает наличие понятия интеграла и нам он негодится. С помощью понятия массы можно определить понятиесредней плотности любого участка тела.

Под средней плотностью подразумевается такая постоянная плотность, при которойвыбранный участок тела имеет ту же массу, что и при переменной плотности. Средняя плотность выбранного участка равнаотношению его массы к объему. Рассмотрим сечение стержняплоскостью в точке с координатой x и обозначим массу участкастержня, находящегося между данной плоскостью и плоскостьюв точке с координатой a, через M (x). Естественно принять, чтоM (a) = 0. Масса всего стержня равна M (b). Нетрудно видеть,что масса участка стержня, отвечающего отрезку [x0 ; x], равнаM (x) − M (x0 ).

Поделив эту величину на объем S(x − x0 ), найдем6среднюю плотность рассматриваемого участка:ρср =M (x) − M (x0 ).S(x − x0 )Легко проверить, что полученная формула сохраняет свою силуи при x < x0 .Плотностью тела в точке x0 называется предел средней плотности при x → x0 :M (x) − M (x0 ).S(x − x0 )ρ(x0 ) = limx→x0Из определения производной следует, чтоρ(x0 ) =1 ′M (x0 ).SЗаменяя x0 на x, получаем, что задача определения M (x) равносильна задаче восстановления функции по заданной производной:M ′ (x) = ρ(x)S.Традиционно, определенный интеграл изучается после неопределенного и читатель должен знать, что полученная задачаэффективно решается с помощью неопределенного интегрирования, а функция M (x) – это та из первообразных функции ρ(x)S,которая при x = a равна нулю.

Теория определенного интеграла дает еще один ответ на поставленный вопрос: оказывается,что интеграл с переменным верхним пределом представляет одну из первообразных подынтегральной функции, причем именноту, которая при x = a равна нулю. Таким образом,∫xM (x) =ρ(x)S dx.aУчитывая, что масса стержня M = M (b), получаем обоснованиетой формулы, о которой шла речь в самом начале:7∫bM=ρ(x)S dx.(1.2)aНужно сказать, что обоснованию формулы (1.2) предшествует довольно длинный путь развития теории определенного интеграла. Возникает естественный вопрос: в чем состоит смыслнового понятия, если поставленная нами задача об определениимассы по плотности уже решена с помощью теории неопределенного интеграла. Не проще ли поступить наоборот: ввести понятие определенного интеграла с помощью формулы Ньютона –Лейбница.

Если F ′ (x) = f (x), то будем считать, что∫bf (x) dx = F (b) − F (a).aОтвет на заданный вопрос состоит в том, что нам не удастся построить развитую теорию определенного интеграла. Ужеставит в тупик попытка доказать интегрируемость непрерывнойфункции. Для этого нужна развитая теория определенного интеграла как предела интегральных сумм, а скудной теории неопределенного интеграла оказывается явно недостаточно.Не следует забывать и о перспективе развития понятия интеграла на многомерные пространства. На плоскости и в трехмерном пространстве нет развитой теории неопределенного интегрирования.

Кратные, криволинейные и поверхностные интегралыопределяются исключительно с помощью конструкции, использующей предел интегральных сумм. Построение теории в многомерном пространстве намного сложнее, чем в одномерном. Однако в теории определенного интеграла как на ладони видны тепроблемы и способы их решения, которые нетривиальны в пространстве нескольких измерений.

Тому, кто изучил теорию определенного интеграла, несложно уже разобраться и в тонкостяхкратных интегралов.8Глава 2Определенный интеграл как пределПриведем обозначения, которыми мы будем постоянно пользоваться в этом пособии. Частично они уже были использованыво введении. Разбиением отрезка [a; b] называется набор точекT = {x0 , x1 , . . . , xn }этого отрезка, упорядоченный в порядке возрастания:a = x0 < x1 < .

. . < xn = b.Характеристикой этого разбиения называется величинаλ(T ) =max ∆xi ,06i6n−1где ∆xi = xi+1 − xi – длина отрезка разбиения ∆i = [xi ; xi+1 ] сномером i (0 6 i 6 n − 1).Разметкой разбиения T называется набор точекξ = {ξ0 , . . . , ξn−1 },для которого ξi ∈ [xi ; xi+1 ] (0 6 i 6 n − 1).Часто нумерацию отрезков начинают не с нуля, а с единицы.

В этом случае формулы немного видоизменяются. Отрезок9разбиения с номером i имеет вид [xi−1 ; xi ], при этом индекс i изменяется от 1 до n и, соответственно, характеристика разбиенияλ(T ) = max ∆xi ,16i6nгде ∆xi = xi − xi−1 , а разметка – набор точек ξ = {ξ1 , . . . , ξn },для которого ξi ∈ [xi−1 ; xi ] (1 6 i 6 n).Этот момент не является существенным тем более, что частооба способа нумерации используются в одном и том же учебнике.В традиционном изложении материала курсов высшей математики, не использующем общего понятия предела функции пофильтру, понятие предела интегральных сумм является новойразновидностью предела и аккуратное изложение теории требует точного определения этого понятия. Пусть задана функцияразмеченных разбиений φ(T, ξ).