Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров

Ⱥ. Ɇ. Ɍɟɪ-ɄɪɢɤɨɪɨɜɆ. ɂ. ɒɚɛɭɧɢɧɄɭɪɫɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨɚɧɚɥɢɡɚА. М. Тер-КрикоровМ. И. ШабунинКурсматематическогоанализа6-е издание (электронное)Р е ко м е н д о в а н оУчебно-методическим объединениемвысших учебных заведений Российской Федерациипо образованию в области прикладных математики и физикив качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений,обучающихся по направлению «Прикладная математика и физика»или по другим направлениям и специальностям в областиматематических и естественных наук, техники и технологииМоскваБИНОМ.

Лаборатория знаний2015УДК 517 (075.8)ББК 22.161T35Р е ц е н з е н т:заведующий кафедрой математикифизического факультета МГУдоктор физико-математических наук, профессорВ. Ф. БутузовT35Тер-Крикоров А. М.Курс математического анализа [Электронный ресурс] :учебное пособие для вузов / А. М. Тер-Крикоров, М. И. Шабунин.

— 6-е изд. (эл.). — Электрон. текстовые дан. (1 файл pdf :675 с.). — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2015. — Систем.требования: Adobe Reader XI ; экран 10".ISBN 978-5-9963-2987-8Изложение теоретического материала иллюстрируется типовымипримерами. Большое внимание уделено трудным разделам курсаматематического анализа (равномерная сходимость функциональных рядов и интегралов, зависящих от параметра, равномернаянепрерывность функций и т.

д.).Для студентов физико-математических и инженерно-физическихспециальностей вузов с углубленной подготовкой по математике.Может быть использована при самостоятельном изучении курса.УДК 517 (075.8)ББК 22.161Деривативное электронное издание на основе печатного аналога: Курс математического анализа : учебное пособие для вузов / А. М. Тер-Крикоров, М. И. Шабунин. — 5-еизд. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013. — 672 с.

: ил. —ISBN 978-5-9963-1441-6.В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устраненииограничений,установленныхтехническимисредствамизащиты авторских прав, правообладатель вправе требоватьот нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсацииISBN 978-5-9963-2987-8c БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009○ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМ У ИЗДАНИЮПри написании настоящей книги авторы опирались на многолет­ний опыт чтения курса математического анализа и ведения семинар­ских занятий в Московском физико-техническом институте.

Изложе­ние теоретического материала подкрепляется достаточным числомпримеров, помогающих освоению основных идей курса и выработкенавыков в решении прикладных задач. Особое внимание уделяетсятаким традиционно трудным для студентов понятиям, как равномер­ная непрерывность функции, сходимость несобственных интегралов,равномерная сходимость функциональных рядов и интегралов, зави­сящих от параметра.Наряду с традиционными разделами курса математического ана­лиза в книге кратко изложены элементы теории обобщенных функцийи простейшие методы получения асимптотических оценок интегра­лов.

Вопросы приближенных вычислений интегралов и сумм рядов внастоящее время обычно входят в курсы вычислительной и приклад­ной математики и в данной книге не рассматриваются.Следует отметить, что основы построения и стиль преподаванияматематического анализа в МФТИ разработаны большим коллекти­вом преподавателей кафедры высшей математики. Это обстоятельст­во оказало несомненное влияние на авторов при написании предла­гаемой читателю книги, которая может служить учебным пособиемдля физико-математических и инженерно-физических специальнос­тей вузов с повышенной программой по математике. Книга можетоказаться полезной и при самостоятельном изучении курса матема­тического анализа.Тираж первого издания (1988 г.) быстро разошелся и возниклапотребность во втором издании (1997 г., издательство МФТИ).

Учи­тывая пожелания читателей, авторы переработали многие разделыкурса, и в первую очередь материалы глав X (кратные интегралы)и XIV (ряды Фурье).При переработке были упрощены доказательства ряда сложныхтеорем. Большое внимание уделено изложению основных идей доказа­тельств.

Авторы стремились избежать чрезмерной детализации, но нев ущерб логической строгости. Так, без существенного ограниченияобщности дано более простое изложение теории жордановой меры и4Предисловиекратных интегралов (глава X). В главе XIV упрощены доказательстваряда теорем за счет незначительного сужения классов рассматривае­мых функций.Главы XVI и XVII из первого издания книги, представляющиеинтерес для более узкого круга учащихся, в настоящее издание невключены.Опущены также доказательства ряда теорем (интегрируемость поРиману функции, имеющей конечное число точек разрыва первогорода, теорема Римана об условно сходящихся рядах, признак Раабесходимости ряда и др.).

Исключены некоторые примеры повышеннойтрудности, разобранные в первом издании, добавлены задачи для са­мостоятельного решения.Авторы признательны преподавателям и студентам МФТИ, сде­лавшим ряд ценных замечаний и указавшим авторам на опечатки инеточности, допущенные в первом издании книги.Особую благодарность авторы выражают профессорам кафед­ры высшей математики МФТИ П.Б. Гусятникову, В.Б.

Лидскому,Е.С. Половинкину и доценту В.И. Чехлову.В третье издание внесены необходимые исправления и допол­нения.ГЛАВА IВЕЩ ЕСТВЕННЫ Е ЧИСЛА§ 1. Рациональные числа.Бесконечные десятичны е дроби1.Логическая символика. При изложении курса математичес­кого анализа для сокращения будем использовать логические симво­лы V, 3, =Азначения которых разъясняются в приводимой нижетаблице.С имволН азваниеVЗ н а к общности3З н а к существования=>З н а к следования ( и м п ­ликации)З н а к равносильности( э кв и в а л е н т н о с т и )Р азъ я с н ен и еЗ а м е н я е т слова: для лю бого, длякаж д о го , для всехЗам еняетслова:су щ еств у ет,н ай д етсяЗ ап и сь А => В о зн ачает, что А вле­ч е т В или В сл еду ет и з АЗ ап и сь Л О- В о зн ачает, что В сле­д у е т и з Л и Л сл еду ет и з В .

И наче:Л равноси льно В ; Л необходим о ид о статоч н о для В ; Л т о гд а и то л ь­ко тогда, когда ВСимволы V, 3 называют кванторами (общности и существования).Кроме указанных в таблице символов, употребляются также сле­дующие знаки:а) V — знак дизъюнкции, заменяет союз “или” ; запись .4 VВ озна­чает, что имеет место хотя бы одно из высказываний А, В;б) А — знак конъюнкции, заменяет союз “и” ;в) ] — знак отрицания-, запись ] 4 означает “не 4 ”(отрицаниевысказывания 4).Рассмотрим примеры использования логических символов.П р и м е р 1. Пусть4 _ / квадратный трехчлен у = ах 2 + Ьх + с принимает 1— 1 положительные значения при всех хJ ’В = {D < 0}, где D = Ь2 —4ас,С = {D < 0, а > 0} = {D < 0} А {а > 0}.Докажем, что 4 =4- В, А ФЛ С.А а) Предположим, что из 4 не следует В.

Тогда D = Ъ2 —4ас0.Гл. I. В ещ ест венны е числа6В этом случае квадратный трехчлен у = ах 2 + Ъх + с имеет дейст­вительные корни х\ и Х2 (xi = Х2 при D — 0) и поэтому обращаетсяв нуль при х — х\ и х — Х2 , что противоречит А. Итак, предположе­ние о том, что из А не следует В , является неверным. Поэтому из Аследует Б , т.

е. А => В.б) Докажем, что А => С. Воспользуемся равенствому =а[(*+£)+-D4аЧ(1)Так как А => {D < 0}, то выражение в квадратных скобках в форму­ле ( 1 ) положительно, и поэтому из условия у > 0 следует, что а > 0 .Итак, А => С.Обратно: если имеет место С , т. е.D < 0 и а > 0, то из равенства (1)следует, что у > 0 при всех х.Таким образом, квадратный трех­член у = ах 2 + Ъх + с принимает по­ложительные значения при всех дей­ствительных значениях х (рис. 1 .

1 )тогда и только тогда, когда а > 0 иD = 1г — 4ас < 0. АИспользование кванторов V, 3 поз­воляет не только сокращать запись,но и легко строить отрицания утверждений (высказываний, опре­делений), содержащих слова “любой” , “существует” , которые частовстречаются в определениях и теоремах.П р и м е р 2. Пусть заданы числовое множество X и число М. За­писать с помощью кванторов отрицание утверждений:ч Л Г все элементы х числового множества Xудовлетворяют условию х < Мсуществует число М > 0 такое, что все элементы хб) В =из множества X удовлетворяют условию |ж| ^ МД а) Пусть А не имеет места, т. е. не все элементы х множества Xудовлетворяют условию х < М . Это означает, что найдется (сущест­вует) такой элемент х Е X , для которого неравенство х < М не вы­полняется, т. е.

имеет место противоположное неравенство х ^ М.Запишем А и ]А с помощью кванторов:аIА = {VxМ},]А = {Эх G X : ж ^ М}.Здесь знак —>• заменяет слова “выполняется” , “имеет место” , а двое­точие заменяет слова “такой, что” .б)Пусть В не имеет места, т. е. не существует числа М > 0 та­кого, чтобы для любого х G X имело место неравенство |ж| ^ М. Это§ 1 . Р ациональны е числа. Бесконечны е десят ичны е дроби7означает, что для любого М > О неравенство |ж| ^ М не может выпол­няться для каждого х £ X .

Иначе говоря, существует такой элементх = Хм £ X (зависящий, вообще говоря, от М ), для которого неравен­ство |ж| ^ М не выполняется, т. е. справедливо неравенство \хм\ < М.С помощью кванторов утверждения В и ] В можно записать так:В = {ЗА/ > 0 : Va: G X -> |ж| > А/},] В = {VM > 0 Зх м £ X : \хм \ < М }. ▲Эти примеры показывают, что отрицание утверждения, содержа­щего кванторы V, 3 и свойство Р (в данных примерах это неравенстваж < А/ и |ж| М соответственно), получается заменой V на 3, 3 на Vи свойства Р — на его отрицание.2.Рациональные числа и их свойства.

Понятие рационально­го числа и основные свойства рациональных чисел известны из курсаматематики для средней школы. Рациональное число можно записатьв виде p/q, где р — целое, q — натуральное число. В частности, любоецелое число р является рациональным, так как его можно записать ввиде р = р/1. Например, 0 = 0/1, 1 = 1/1.Пусть а = p/q, b = pi fq\ — два рациональных числа. Тогда правилоупорядочения этих чисел определяется так:а) если pqi = qpi,тоа = Ь;б) если pqi > qpi,тоа > Ь;в) если pqi < qpi,тоа < Ь;а сумма и произведениечисел а и Ь определяются соответственно ра­венствамиа + ь = т ± Ш , аЪ = р-а .qqiqqiОперации сложения и умножения рациональных чисел обладаютсвойствами:а) коммутативности:а + b = b + а, ab = Ьа;б) ассоциативности:(а + Ь) + с = а + (Ь + с), (аЬ)с = а(Ьс);в) дистрибутивности:а(Ь + с) = ab + ас;г) для любого рационального числа а справедливы равенстваа + 0 = а, а ■1 = а.Операции вычитания и деления вводятся как обратные соот­ветственно к операциям сложения и умножения:а)для любых рациональных чисел а, Ь существует (и притомединственное) число ж такое, чтоЪ+ х = а;8Гл.