Дубинин В.В.Общие теоремы динамики (Общие теоремы динамики В.В. Дубинин, Г.И. Дубровина, А.Ю.Карпачев)

Московский государственный технический университетимени Н. Э. БауманаУчебное пособиеВ.В. Дубинин, Г.И. Дубровина, А.Ю. КарпачевОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИИздательство МГТУ им. Н. Э. БауманаМосковский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаВ.В. Дубинин, Г.И. Дубровина, А.Ю. КарпачевОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИРекомендовано Научно-методическим советомМГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособияпо курсу «Теоретическая механика»МоскваИздательство МГТУ им.

Н.Э. Баумана2010УДК 531.3(075.8)ББК 22.213Д79Р е ц е н з е н т ы: В.В. Андронов, Ю.Г. МартыненкоД79Дубинин В.В.Общие теоремы динамики : учеб. пособие по курсу «Теоретическая механика» / В.В. Дубинин, Г.И. Дубровина,А.Ю. Карпачев. – М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010. –59, [1] с. : ил.Рассмотрены основные понятия механики: центр масс, количестводвижения, кинетический момент механической системы. Даны способы вычисления работы различных сил (постоянных и переменных).Приведены прямые, обратные и смешанные задачи для систем с одной и двумя степенями свободы. Показаны решения задач.Для студентов, выполняющих курсовые задания по общим теоремам динамики.

Пособие может быть полезно также для аспирантови преподавателей кафедр теоретической механики.УДК 531.3(075.8)ББК 22.213c МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010ВВЕДЕНИЕОбщие теоремы динамики получают для того, чтобы быловозможно составить динамические дифференциальные уравнениядвижения механической системы. Если в механической системеглавный вектор или главный момент внешних сил (или их проекции на оси) равны нулю, то получаются законы сохранения количества движения или кинетического момента системы (или ихпроекций на оси). Законы сохранения представляют собой первыеинтегралы для механической системы.Теорема об изменении кинетической энергии записывается вдифференциальной или интегральной форме.

Интегральная форма этой теоремы дает еще один первый интеграл механическойсистемы.При составлении уравнений движения и решении задач с помощью общих теорем динамики используются специальные понятия и величины, с которыми необходимо познакомить студентови показать им на примерах, как эти обобщенные меры движенияопределяются.К обобщенным мерам движения надо отнести понятия центра масс и меры движения — количество движения, кинетическиймомент относительно точки или оси, кинетическая энергия механической системы.1.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ1.1. Центр масс механической системыЦентр масс механической системы — геометрическая точка,радиус-вектор которой определяется по формулеrˉC =где M =NPNXmk rˉkk=1M,mk , mk , rˉk — масса и радиус-вектор k-й точки.k=1Координаты центра масс системы определяются по формуламXXXmk xkmk ykmk zk; yC = k; zC = k,MMMгде xk , yk , zk — координаты k-й точки системы.При движении системы центр масс может быть неподвижнымили подвижным.Пример 1.

Даны три точки смассами m1 , m2 , m3 , их координаты xk , yk , zk (k = 1, 2, 3).Определить координаты центра масс этой системы, еслиm1 = 3 кг, m2 = 2 кг, m3 = 1 кг,x1 = y1 = 0, x2 = 3 м, y2 = 0,x3 = 0, y3 = 2 м (рис. 1).Решение. Определим xC , yC :m1 x1 + m2 x2 + m3 x3;xC =m1 + m2 + m3Рис. 12∙3= 1 м;xC =3+2+1m1 y1 + m2 y2 + m3 y31∙21yC =; yC == м.m1 + m2 + m33+2+13Пример 2. Определить координаты центра масс механическойсистемы, состоящей из трех точек массами m1 , m2 , m3 . Исходныеданные приведены в таблице.xC =4kКоординатыmm1 = 1 кгm2 = 2 кгm3 = 3 кгx02–2y030z002Решение. Координаты центра масс равны (рис. 2):m1 x1 + m2 x2 + m3 x3;xC =M2 ∙ 2 + 3(−2)1= − м;xC =1+2+33m1 y1 + m2 y2 + m3 y3yC =;M2∙3= 1 м;yC =6m1 z1 + m2 z2 + m3 z3zC =;MРис. 23∙2= 1 м.zC =6Пример 3.

Точки M1 , M2 массами m1 , m2 движутся по законамx2 = x2 (t);x1 = x1 (t);y1 = y1 (t);y2 = y2 (t).Определить траекторию центра масс этой системы.Принять: m1 = 1 кг; m2 = 2 кг;x1 = t;x2 = t;y1 = t2 ;y2 = 2t,где xk , yk — в м; k = 1, 2; t — в с.Решение. Определим xC (t), yC (t):m1 x1 + m2 x21 ∙ t + 2t; xC =xC == t;m1 + m21+2m1 y1 + m2 y21 ∙ t2 + 2 ∙ 2t1; yC == (t2 + 4t).yC =m1 + m21+235Уравнение траектории центра масс:1 2xC + 4xC , 0 6 xC < ∞.yC =3Траектории точек M1 , M2 :y1 = x21 ; 0 6 x1 < ∞; y2 = 2x2 ;0 6 x2 < ∞.Из рис. 3 и расчетов видно, что приt = 2 c все три кривые пересекаются вточке с координатами x = 2 м, y = 4 м.Пример 4. Однородный диск массойМ и радиусом r вращается вокруг неподвижной оси O0 z с постоянной угловойскоростью ω (рис. 4).

По диску по законуРис. 3S = S(t) движется точка массой m.Определить скорость центра масс системы.Принять: M = 9m; m = 1 кг; r = 0,5 м; ω = 2 рад/с; S = 5t,где S — в м, t — в с.Решение. Центр масс (см.рис. 4) однородного диска находится в точке O0 . Поэтому надо искатьцентр масс системы диск — точкаM на отрезке O0 M .Абсолютная скорость точки M :vˉ = vˉr + vˉe ;vrS = Ṡ = 5 м/с > 0;ve = ω ∙ r, ve = 2 ∙ 0,5 = 1 м/с;v τ = 5 + 1 = 6 м/с > 0.Рис. 4rC =Далее получимM rO0 + mr1 ∙ 0,5; rC == 0,05 м.M +m9+1Абсолютная угловая скорость радиуса О 0 М :ω = ωe + ωr ; ωe = 2 рад/с; ωr =6Ṡ; ωr = 10 рад/с; ω = 12 рад/с.rАбсолютная скорость центра масс:vC = ωrC ; vC = 0, 6 м/с.Представим пример использования закона сохранения для теоремы о движении центра масс механической системы.Пример 5. Точка массой m скатилась по желобу из положения скоординатами XO , YO в положение с координатами X1 , Y1 .

Гладкийжелоб изогнут по кривой с уравнением Y = X 2 , 0 6 X < ∞, гдеX, Y — относительные координаты точки M на плите, и укрепленна плите массой M (рис. 5).Рис. 5Определить перемещение плиты по гладкой поверхности. Вначальный момент система покоилась.Принять: Y0 = 1 м; Y1 = 0; M = 4m.Решение. Определим√ начальное и конечное значения координат X = X0 , X1 ; X0 = Y0 ; X0 = 1 м; X1 = 0.Запишем теорему о движении центра масс системы в проекциина неподвижную ось Ox.

Пусть x — обобщенная координата плитыв неподвижной системе координат:X (e)M ẍC =Fkx = 0,kˉ перпендикулярны оси Ox.так как внешние силы mˉg , M gˉ и NОтсюда, интегрируя при начальных условиях t = 0, xC = xC0 ,ẋC = 0, получаем ẋC = 0, xC = xC0 = const, т. е. положение7центра масс системы не изменяется при движении системы вдольоси Ox:NXXmk xk0 ; M xC1 =mk xk1 .M xC0 =kk=1Вычитая из второго выражения первое, получаемNXk=1mk (xk1 − xk0 ) =NXmk Δxk = 0,k=1где Δxk — абсолютные перемещения центров масс точки M иплиты вдоль оси Ox.Пусть перемещение плиты вдоль оси Ox равно Δx, тогда перемещение точки M равно ΔxM = Δx + ΔX.

Здесь перемещениеΔX точки M относительно плиты равно ΔX = X1 − X0 = −1 м,Δxe = Δx — переносное перемещение точки M вместе с плитой.Окончательно имеемM Δx + m (Δx + ΔX) = 0,откудаΔXm ΔXm ΔX; Δx = −=−= 0,2 м,M +m5m5где Δx > 0 (x1 − x0 > 0, x1 > x0 ) означает, что плита переместилась вправо вдоль оси Ox.Отметим, что в данном примере проекции главного векторавнешних сил для данной механической системы и начальной скорости центра масс ее на ось Ox равны нулю.Δx = −1.2. Количество движения механической системыОпределим количество движения механической системыˉ=QNXmk vˉk ,k=1где mk , vˉk — масса и абсолютная скорость k-й точки.Обычно механическая система состоит из S тел, тогдаˉ=QSXj=18Mj vˉCj .Здесь произведено суммирование по точкам отдельных тел.Пример 6.

Система состоит из груза A массой m, однородногоблока B и ступенчатого катка C массой M (рис. 6). Скорость грузаA равна vˉ. Каток C катится без скольжения.Рис. 6Определить количество движения системы. Нить нерастяжимаи не скользит по блоку и катку (см. рис. 6)Решение. Количество движения системы (рис. 6, а) равно сумˉB + Qˉ A количеств движения тел системы, причемˉ=QˉC + Qме QˉQB = mB vˉB = 0 в силу того, что vˉB = 0. Далее имеемvCrи vD = v=R−rvDввиду нерастяжимости и непроскальзывания нити.Окончательно получаемr.vC = vR−rЗатем находимˉ A = mˉˉ C = M vˉC .Qv, Qˉ Получаем проекции Qˉ на оси Oxy (рис.

6, б):Cтроим вектор Q.Qx = QC cos α, Qy = QA + QC sin α,rгде QC = M v; QA = mv.R−r9Рис. 7Пример 7. На платформе D массой M помещен механизм.Стойка N N приварена к платформе D. Кривошип 1, звено AB имуфта 3 имеют массы m1 , m2 , m3 , O1 A = l. Трением пренебречь(рис. 7).Определить количество движения механической системы и егопроекции на неподвижные оси координат.Составить дифференциальное уравнение с помощью теоремыоб изменении количества движения системы в проекции на ось Oy.Решение. Количество движения системы равно сумме количеств движения тел механической системы:ˉ=QˉD + Qˉ1 + Qˉ2 + Qˉ 3,Qˉ 1 = mˉˉ 2 = m2 vˉ2 ; Qˉ 3 = m3 vˉC ; vˉD , vˉC , vˉ2 ,ˉ D = M vˉD ; QvC1 ; Qгде Q1vˉC — абсолютные скорости центров масс платформы, звеньев 1 и2 и муфты C.Кроме того,(r)(e)(r)(e)(r)(e)vˉC1 = vˉC1 + vˉC1 ; vˉ2 = vˉ2 + vˉ2 ; vˉC = vˉC + vˉC ,т.

е. абсолютные скорости центров масс тел равны геометрическимсуммам их относительных и переносных скоростей.Система имеет две степени свободы, обобщенные координатыx, ϕ.10ˉ на неподвижные оси Oxy:Проекции QlQx = M ẋ + m1 − ϕ̇ sin ϕ + ẋ + m2 (−l ϕ̇ sin ϕ + ẋ) + m3 ẋ =2l= (M + m1 + m2 + m3 ) ẋ − ϕ̇ sin ϕ (m1 + 2m2 ) ;2lQy = m1 ϕ̇ cos ϕ + m2 l ϕ̇ cos ϕ + m3 l ϕ̇ cos ϕ.2Относительная скорость муфты 3, которая движется поступательно вдоль направляющей N N ,(r)vˉC = vˉ30 + vˉ300 ,где vˉ30 , vˉ300 — скорости движения муфты относительно звена AB и(r)(r)поступательного движения звена AB, откуда v3y = v3 = l ϕ̇ cos ϕ.Составим дифференциальное уравнение с помощью теоремыоб изменении количества движения системы в проекции на ось Oy:dQy X (e)=Fky ,dtkd lϕ̇ cos ϕ (m1 + 2m2 + 2m3 ) =dt 2= N − (M + m1 + m2 + m3 ) g.Из этого уравнения при условии, когда определится движение,найдем N :N = (M + m1 + m2 + m3 ) g+l+ (m1 + 2m2 + 2m3 ) ϕ̈ cos ϕ − ϕ̇2 sin ϕ .21.3.