Дубинин В.В.Общие теоремы динамики (1002830), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Колесо 1 радиусом R и массой M жестко скреплено срейкой и движется поступательно. Шестерня 3 (однородный диск)радиусом r и массой m — находится в зацеплении с колесом 1и связана водилом 2 шарнирно с колесом 1 в точке O. Водилу 2сообщена постоянная угловая скорость ω. В начальный моментπколесо 1 находилось в покое, ϕ = рад, x = 0 (рис.
23).2Рис. 2347Определить: уравнение движения колеса; момент пары сил, необходимый для обеспечения водилу постоянной угловой скорости.Трением и массой водила пренебречь. Механизм находится ввертикальной плоскости.Решение. Механическая система состоит из колеса 1, водила2 и шестерни 3. Обобщенные координаты заданы на рис. 23, а,причем известно, что угловая скорость водила ω = const.Составим уравнение движения системы, используя теорему обизменении количества движения системы:ˉdQˉD + Pˉ1 + Pˉ3 .ˉB + N=NdtВ проекции на ось x имеемdQx= 0 и Qx = C.dtКоличество движения системы равноQ = M v O + mv C ,где vˉO , vˉC — скорости центров масс колеса 1 и шестерни 3;(e)(r)(e)vˉC = vˉC + vˉC , а vˉC = vˉO — переносная скорость точки C.Далее получим(e)(r)vOx = vCx = ẋ, vC τ = (R − r) ϕ̇,Qx = M ẋ + m [ẋ − (R − r) ϕ̇ cos ϕ] == (M + m) ẋ − m (R − r) ϕ̇ cos ϕ = C.(1)Постоянную C найдем с помощью начальных условий:при t = 0x = 0, ẋ = 0,πϕ = , ϕ̇ = ω.2Эти условия необходимо подставить в уравнение (1).
В этом случаеполучим С = 0 и(M + m) ẋ − m (R − r) ϕ̇ cos ϕ = 0.(2)Интегрируя уравнение ϕ̇ = ω = const, имеем ϕ = ωt + С1 . Изначальных условий найдемππС1 = и ϕ = ωt + .2248Проинтегрируем следующее уравнение (см. (2)):Получим(M + m) dx = m (R − r) cos ϕdϕ.m (R − r) sin ϕ+ С2 ,M +mгде из начальных условий найдемx=C2 = −m (R − r).M +mОкончательно запишемm (R − r)m (R − r)x=(sin ϕ − 1) , или x =(cos ωt − 1) .M +mM +mПри заданных начальных условиях колесо 1 совершает колебания вдоль оси x.Решение задачи для x = x(t) получено с помощью теоремы об изменении количества движения и заданного уравненияϕ̇ = ω = const. Чтобы обеспечить это условие, необходимо задать момент пары сил, который обеспечит условие ω = const.Для определения момента пары сил L применим теорему обизменении кинетического момента относительно подвижной осиoZ (рис. 23, а):dKoZˉ = L(e) .+ vˉ0 × QoZZdt(e)(r)(r)ˉ = vˉ0 × mˉvC = mˉv0 × vˉC + vˉC = m vˉ0 × vˉC ,Здесь vˉ0 × Q(e)так как vˉ0 = vˉC , аˉ ˉiˉjK(r)ˉẋ00 = −ẋl ϕ̇ sin ϕK,vˉ0 × vˉC = −l ϕ̇ cos ϕ −l ϕ̇ sin ϕ 0 ˉ = −mlẋ ϕ̇ sin ϕ, а KoZ = JCZ ψ̇ + ml2 ϕ̇ − mlẋ ×отсюда vˉ0 × QZmr2× cos ϕ l ϕ̇ = −r ψ̇, l ϕ̈ = −r ψ̈, JCZ =,2dKoZˉ =+ vˉ0 × QZdt2= JCZ ψ̈ + ml ϕ̈ − ml (ẍ cos ϕ − ẋ ϕ̇ sin ϕ) − mlẋ ϕ̇ sin ϕ =49(e)= JCZ ψ̈ + ml2 ϕ̈ − mlẍ cos ϕ; LoZ = L − mgl sin ϕ + F R,где l = R − r.Составим одно уравнение для плоского движения шестерни(рис.
23, в):JCZ ψ̈ = F r.Выражение для теоремы об изменении кинетического моментаприобретает видгдеJCZ ψ̈ − F R + ml2 ϕ̈ − mlẍ cos ϕ = L − mgl sin ϕ,lJCZmr2 l2ml2ϕ̈=ϕ̈.R ψ̈ = −JCZ ψ̈ =rr2 r22Окончательно получимJCZ ψ̈ −3 2ml ϕ̈ − mlẍ cos ϕ = L − mgl sin ϕ.2Из условия задачи ϕ̈ = 0, аml ẍ =ϕ̈ cos ϕ − ϕ̇2 sin ϕ ,M +mи тогдаml ω2ml ω2ẍ = −sin ϕ, L = ml g +cos ϕ sin ϕ.M +mM +mЗамечание 1. Для определения L можно расчленить системуводило — шестерня и составить для каждого тела систему уравнений движения.Замечание 2. Зависимость L = L(ϕ) определяется и с помощью теоремы об изменении кинетической энергии. Приведемздесь это решение.Кинетическая энергия системы равна:2M ẋ2 mvCJCZ ψ̇2++,222или с учетом данных задачиT =T =50(M + m) ẋ2 3 2 2+ ml ϕ̇ − mlẋ ϕ̇ cos ϕ.42Используем дифференциальную форму теоремы в видеNN XXdT(e)(i)W Fˉk+W Fˉk ,=dtk=1(3)k=1(e)(i)где W Fˉk , W Fˉk— мощности внешней и внутренней равнодействующих k-х сил, действующих на k-ю точку механическойсистемы.ВычислимihdT= ẋ (M + m) ẍ − ml ϕ̈ cos ϕ + ml ϕ̇2 sin ϕ +dt3 2+ ϕ̇ ml ϕ̈ − mlẍ cos ϕ ,2причем содержимое первой квадратной скобки равно нулю.Для мощностей сил имеемNXk=1(i)W Fˉk=0(неизменяемая система), аNXk=1(e)(r)= L ϕ̇ + mˉW Fˉkg vˉC = L ϕ̇ + mˉg vˉC ,(e)g.так как переносная скорость точки C vˉC перпендикулярна mˉАналогичный результат получим для силы тяжести колеса и реакции в опорах:(r)W (mˉg ) = mˉg vˉC = mgl ϕ̇ cos (90◦ + ϕ) = −mgl ϕ̇ sin ϕ.Уравнение (3) при всех ϕ̇ примет вид3 2ml ϕ̈ − mlẍ cos ϕ = L − mgl sin ϕ.2513.
ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ С ЭЛЕМЕНТАМИАНИМАЦИИЗадача. Механизм, показанный на рис. 24, расположен в горизонтальной плоскости и состоит из кривошипа 1, шатуна 2, изображенных в виде стержней ОА, АВ , а также ползуна 3. В начальныймомент звенья механизма покоились и занимали положение, соответствующее ϕ = 0. Приложение к кривошипу пары сил с моментом М приводит к его вращению вокруг оси Оz, перпендикулярнойплоскости чертежа и проходящей через точку О.Рис.
24Принять массу кривошипа m1 равномерно распределенной поего длине, пренебречь массой шатуна и считать массу ползуна m3сосредоточенной в точке.Определить: скорость точки А, угловое ускорение кривошипаи реакцию в шарнире А, если ϕ = π; зависимости ϕ(t), ω1z (t),ω1z (ϕ), ε1z (ϕ) и построить графики, соответствующие изменениюугла ϕ в интервале от 0 до π.Принять: АО = 0,5АВ = L = 1 м, М = 0,6mgL; m1 = 2m,m3 = m = 1 кг.Решение. Представленная механическая система имеет однустепень свободы. В качестве обобщенной координаты выберемугол ϕ.Для определения скорости точки А применим теорему об изменении кинетической энергии в интегральной форме:T − T0 =NXk=1(e)A(Fˉk ) +NX(i)A(Fˉk ).(1)k=1Кинетическую энергию системы T определим как сумму кинетических энергий кривошипа, совершающего вращение вокруг52оси Oz, и поступательно движущегося ползуна T3 :T = T1 + T3 ,при этом(2)T1 = 0, 5JOz ω21z ; T3 =2L /3 — момент инерции20, 5m3 vB,где JOz = m1кривошипа относительнооси Oz; ω1z = ϕ̇ — угловая скорость кривошипа; vBx = ẋ3 —скорость ползуна.Связь угловой скорости кривошипа со скоростью ползуна установим дифференцированием по времени геометрического соотноqшения(3)x3 = L(cosϕ + 4 − sin2 ϕ),получим0,5 sin(2 ϕ)Lω1z .(4)vBx = − sin ϕ + p4 − sin2 ϕВыражение для кинетической энергии примет видT = 0,5mL2 Gω21z ,где20,5 sin(2 ϕ) 2.G = + sin ϕ + p34 − sin2 ϕНачальные условия задачи:(5)(6)при t = 0 ϕ = 0, ϕ̇ = ω1z = 0.Кинетическая энергия при этих условиях будет T0 = 0.Работа всех сил при повороте кривошипа на угол ϕ равна:NX(e,i)A(Fˉk) = A(M ) = M ϕ.(7)k=1Подставив (5) и (7) в (1), найдемrω1z = ϕ̇ =2M ϕ.GmL2(8)Приняв ϕ = π, получимvA = Lω1z = 7, 44 м/c.Зависимость (8) представляет собой первый интеграл дифференциального уравнения, описывающего движение системы.53Для определения углового ускорения кривошипа используемтеорему об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме:dT =NX(e)dA(Fˉk ) +k=1гдеNX(i)dA(Fˉk ),(9)k=1dT = mL2 Gω1z dω1z + mL2 G2 G3 ω21z dϕ,(10)0,5 sin(2 ϕ)2√;+ G22 ; G2 = sinϕ +3ff cos(2 ϕ) + 0,25 sin2 (2 ϕ)pG3 = cosϕ +;f3f = 4 − sin2 ϕ;G=NX(e,i)dAk= M dϕ.(11)k=1Приравняв левые части выражений (10) и (11), далее поделивобе части найденного уравнения на dt, получим выражение углового ускорения кривошипаM − mL2 G2 G3 ω21zd ω1z=.(12)dtGmL2Величина углового ускорения при ϕ = π и заданных исходныхданных равна:ε1 = 8, 82 рад/ c2 .Для определения реакции в шарнире А обратимся к расчетнойсхеме рис.
25, а.Воспользовавшись уравнением вращения кривошипа относительно оси Oz(13)JOz ε1z = M − Ny L,найдем одну из составляющих реакций шарнира А:(2/3)mL2 MNy = M −/L = 0GmL2ε1z =(при ϕ = π).54Рис. 25Вторую составляющую получим из уравнения, описывающегопоступательное движение ползуна (рис. 25, б):гдеТогдаm3 aBx = Nx0 ,(14)аBx = ẍ3 = −G3 Lω21z − G2 Lε1z .(15)Nx0 = 27,68 H, а NA = Nx0 .Соотношения (8), (12) позволяют определять величины ω1z ,ε1z как функцию угла ϕ, т. е. положения звеньев механизма, егопараметров и действующих сил.
Зависимости угловой скорости иускорения кривошипа от угла ϕ в интервале от 0 до π изображеныв виде графиков на рис. 26, где по осям абсцисс отложены значенияугла ϕ, а по оси ординат соответственно ω1z и ε1z .Рис. 26Для определения зависимостей ϕ и ω1z от времени перепишемуравнения ϕ̇ = ω1z и (12) в конечно-разностном виде:Δϕi = ωi−11z Δt;55Рис.
27i−1i−1 2M − mL2 Gi−12 G3 ( ω1z )Δt;(16)mL2 Gi−1ϕi = Δϕi + ϕi−1 , ωi1z = Δωi1z + ωi−11z , ti = Δt + ti−1 .Задав начальные условия t = 0, ϕ = 0, ω1z = 0, получим формулировку задачи Коши. Простейшим методом ее решения является метод Эйлера. Результаты численного интегрирования уравнений (16) указанным методом в интервале значений 0 < t < 1, 076 cс шагом Δt = 0, 001 c представлены в виде графиков на рис. 27.Более точные результаты расчетов могут быть получены методомРунге — Кутты.Для иллюстрации работы механизма на основе зависимостей(16) построен алгоритм, реализуемый в компьютерной вычислительной программе, позволяющей наблюдать движение звеньевдля любого разумного временного отрезка.Δωi1z =Рис. 28Условная анимационная интерпретация, наблюдаемая при этомна экране монитора, представлена на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
