Часть 2 (Курсач)

Задача 6.9Вода перетекает из верхнего открытого резервуара в нижний по диффузору,диаметры которого d1 = 100 мм и d 2 = 150 мм . Коэффициент сопротивления входногоучастка ξ вх = 0.06 , а коэффициент потерь в диффузоре φ д = 0.2 .Определить, при каком уровне H1 в верхнем резервуаре абсолютное давление вузком сечении диффузора станет равным нулю, если это сечение расположено наднижним уровнем на высоте H 2 = 1.2 м. Атмосферное давление принять pат = 98кПа.Решение:Запишем уравнение Бернулли для свободных поверхностей жидкости (1 и 3), приняв заплоскость сравнения свободную поверхность жидкости в нижнем резервуаре (3).

Задачурешаем в абсолютной системе давления.Общий вид уравнения Бернулли:2pV2pV2z1 + 1 + α1 i 1 = z2 + 2 + α 2 i 2 + ∑ hП ;ρig2i gρig2i g 1Применительно к задаче, считая режим движения жидкости турбулентным:3pатp+ H1 + H 2 = ат + ∑ hП ;ρigρig 13Где∑hП- сумма потерь напора на участке от поверхности жидкости(1) до поверхности1жидкости(3).3∑ hП состоит из потерь на входе в диффузор hвх = ζ вх i1V12, потерь при расширении в2i g(V1 − V2 ) 2V2и потерь на выходе из диффузора hвых = ζ вых i 2 .2i g2i gГде V1 и V2 скорости потока жидкости на входе и выходе из диффузора соответственно.диффузоре h д =φ д iДля больших резервуаров ζ вых = 1.Таким образом:V2(V − V ) 2V2H1 + H 2 = ζ вх i 1 + φ д i 1 2 + ζ вых i 2 ;2i g2i g2i gИз условия равенства расходов на входе и выходе из диффузора получаем:A1 iV1 = A2 iV2 ;A1 и A2 площади узкого и выходного сечений диффузора, соответственно.π id12iV1 =π id 224Тогда:4iV2 ⇒ V1 =d 22iV2 ;d1224⎛ ⎛ d ⎞2 ⎞⎛ d2 ⎞V22H1 + H 2 =i(ζ вх i⎜ ⎟ + φ д i⎜ ⎜ 2 ⎟ − 1⎟ + ζ вых );⎜ ⎝ d1 ⎠⎟2i g⎝ d1 ⎠⎝⎠Выразим квадрат скорости потока жидкости на выходе из диффузора:2i g i ( H 1 + H 2 )V22 =;242⎛⎞⎛d ⎞⎛d ⎞(ζ вх i⎜ 2 ⎟ + φ д i⎜ ⎜ 2 ⎟ − 1⎟ + 1)⎜ ⎝ d1 ⎠⎟⎝ d1 ⎠⎝⎠Знаменатель полученной дроби подсчитаем отдельно, в целях упрощения последующейзаписи.224⎛⎛ d ⎞⎞⎛ ⎛ 150 ⎞ 2 ⎞⎛ d2 ⎞⎛ 150 ⎞2⎜⎟ζ вх i⎜ ⎟ + φ д i ⎜ ⎟ − 1 + 1 = 0.06i⎜⎟ + 0.2i⎜⎜ ⎜⎟ − 1⎟⎟ + 1 = 1.616;⎜ ⎝ d1 ⎠⎟100 ⎠100 ⎠⎝⎝⎝ d1 ⎠⎝⎠⎝⎠2i g i( H1 + H 2 )V22 =(*)1.616Теперь запишем уравнение Бернулли, для узкого сечения диффузора (2) и свободнойповерхности жидкости (3).3PV2H 2 + 1 = ат + ∑ hп ;2i g ρ i g 242φдV2i(V12 − V22 ) + ζ вых i 2 - сумма потерь напора на участке между сечением (2)2i g2i g2и поверхностью жидкости (3).Так же пользуясь равенством расходов, получаем:24⎡⎤⎛ ⎛ d ⎞2 ⎞pатV22 ⎢⎛ d 2 ⎞2⎥− H2 =i ⎜ ⎟ − φд i⎜ ⎜ ⎟ − 1⎟ − 1 ;⎥⎜ ⎝ d1 ⎠⎟2i g ⎢⎝ d1 ⎠ρig⎝⎠⎣⎦Где3∑ hп =Подставляя (*), получаем:24⎡⎤⎛ ⎛ d ⎞2 ⎞pатH1 + H 2 ⎢⎛ d 2 ⎞2⎥− H2 =i ⎜ ⎟ − φ д i⎜ ⎜ ⎟ − 1⎟ − 1 ;⎥⎜ ⎝ d1 ⎠⎟1.616 ⎢⎝ d1 ⎠ρig⎝⎠⎣⎦Выражая из полученного соотношения H1 , получаем конечное соотношение для искомойвеличины:224⎡⎤⎛ ⎛ d ⎞2 ⎞pатH 2 ⎢⎛ d 2 ⎞− H2 −i ⎜ ⎟ − φ д i⎜ ⎜ 2 ⎟ − 1⎟ − 1⎥⎜ ⎝ d1 ⎠⎟⎥ρig1.616 ⎢⎝ d1 ⎠⎝⎠⎣⎦;H1 =242⎡⎤⎛⎛ d ⎞⎞1 ⎢⎛ d 2 ⎞2⎜⎟i ⎜ ⎟ − φ д i ⎜ ⎟ − 1 − 1⎥⎜ ⎝ d1 ⎠⎟⎥1.616 ⎢⎝ d1 ⎠⎝⎠⎣⎦24⎤⎛ ⎛ 150 ⎞ 2 ⎞981.2 ⎢⎡⎛ 150 ⎞⎥−−−−−1.20.211ii⎜⎜ ⎜⎟⎟⎜⎟⎟103 i9.81.616 ⎢⎝ 100 ⎠⎥⎝ 100 ⎠⎝⎠⎣⎦ = 2.6 м;H1 =242⎡⎤⎛ ⎛ 150 ⎞⎞1 ⎢⎛ 150 ⎞i ⎜⎟ − 0.2i⎜⎜ ⎜⎟ − 1⎟⎟ − 1⎥1.616 ⎢⎝ 100 ⎠⎥⎝ ⎝ 100 ⎠⎠⎣⎦Ответ: H1 = 2.6 м;3Задача 7.17Для увеличения пропускной способности короткой трубы длинной l = 800 мм идиаметром d = 80 мм , работающей под постоянным напором H = 10 м , к ней присоединенконический диффузор с углом раскрытия θ = 16o и коэффициентом потерь φ д = 0.3 .Определить выходной диаметр диффузора D и соответствующую ему длину L ,при которых расход воды по трубе будет наибольшим.

Во сколько раз присоединениетакого диффузора увеличит расход в трубе. Коэффициент трения в трубе принятьλ = 0.03 .Решение:Запишем уравнение Бернулли для уровней жидкости (1) и (2). Задачу будем решать визбыточной системе давления. За плоскость сравнения примем уровень жидкости (2).Общий вид уравнения Бернулли:2pV2pV2z1 + 1 + α1 i 1 = z2 + 2 + α 2 i 2 + ∑ hП ;ρigρig2i g2i g 1Применительно к задаче, считая режим движения жидкости турбулентным:2H = ∑ hП ;12Где∑hП- суммарная потеря напора от уровня (1) до (2), она складывается из потерь на1входе в трубу hвх = ζ вх iV12l V2, потерь на трение в трубе hтр = λ i i 1 , потерь приd 2i g2i gрасширении в диффузоре h д =φ д i(V1 − V2 ) 2и потерь на выходе из диффузора2i gV22. Где V1 и V2 скорости потока жидкости на входе в трубу и выходе из2i gдиффузора соответственно.Тогда:V12l V12(V1 − V2 ) 2V22H = ζ вх i+ λi i+ φд i+ ζ вых i(*);2i gd 2i g2i g2i gДля острой кромки входного отверстия ζ вх = 0.5 .hвых = ζ вых i4Для большого резервуара ζ вых = 1.Из условия постоянства расхода имеем.A1 iV1 = A2 iV2 ;A1 и A2 площади сечения трубы и выходного сечения диффузора, соответственно.π id 2iV1 =4Тогда:π iD24iV2 ⇒ V1 =D2iV2 ;d22⎛ D2 ⎞ V 2 V 2D4 V 2800 D 4 V22H = 0.5i 4 i 2 + 0.03ii 4i+ 0.3i⎜ 2 − 1⎟ i 2 + 2 ;d 2i g80 d 2i g⎝d⎠ 2i g 2i g2⎤ V2 ⎡⎛ D2 ⎞⎛ D4V22 ⎡D4800 D 4D4D2 ⎞ ⎤2+ 0.3i⎜ 2 − 1⎟ + 1⎥ =H=i ⎢0.5i 4 + 0.03iii ⎢0.8i 4 + 0.3i⎜ 4 − 2i 2 + 1⎟ + 1⎥ ;2i g ⎢d80 d 42i g ⎣dd⎝d⎠⎝d⎠ ⎦⎣⎦⎥После упрощения получаем:⎤V22 ⎡D4D2Н=i ⎢1.1i 4 − 0.6i 2 + 1.3⎥ ⇒ V2 =2i g ⎣dd⎦2i g i Н;DD21.1i 4 − 0.6i 2 + 1.3dd4Расход по трубе равен:π iD2Q = V2 i;4π iD22i g i Нi(**);Q=4DD241.1i 4 − 0.6i 2 + 1.3dd2Занося D под корень, получаем:2i g i Н i D 4π2i g i Н= i;42DD44 1.1i 1 − 0.6i 1 + 1.31.1i 4 − 0.6i 2 + 1.3d4d 2 iD2 D4ddИз равенства очевидно, что расход будет максимальным если выражение в числителе1дроби подкоренного выражения будет минимальным.

Обозначив 2 = x , перепишем его вDвиде:11y = 1.3x 2 − 0.6i 2 i x + 1.1i 4ddВзяв производную найдем точку минимума:10.6 1i ;y ' = 2.6i x − 0.6i 2 = 0 ⇒ x =d2.6 d 2Таким образом:10.6 12.62.6=i 2 ⇒D=id =i80 = 166,53 мм;2D2.6 d0.60.6Q=πi5Длину диффузора найдем из геометрии:L=D−d⎛ θ ⎞ 166.53 − 80ictg ⎜ ⎟ =i7.115 = 307.83 мм;22⎝2⎠Далее определим расходы по трубе с диффузором и без него:Расход с диффузором Q2 определяем из соотношения (**), подставляя в него найденноезначение диаметра выходного сечения D = 166,53 мм ;π iD22i g i Н;DD241.1i 4 − 0.6i 2 + 1.3dd2−63.14i166.53 i102i9.81i10м3лi0.069== 69 ;Q2 =42−12−6166.53 i10166.53 i104сс− 0.6i+ 1.31.1i42−12−680 i1080 i10π id 2iV1 , для начала из уравнения (*)Для определения расхода по трубе без насадка Q1 =4найдем скорость в трубе V1 , с учетом отсутствия диффузора оно примет вид:Q2 =i4V12V12l V12+ λi i+ ζ вых i;H = ζ вх i2i g2i gd 2i gТогда:V2V2V2800 V12H = 0.5i 1 + 0.03ii+ 1i 1 = 1.8i 1 ;2i g80 2i g2i g2i gОткуда получаем:2i g i HV1 =;1.8π id 22i g i H 3.14i802 i10−6 2i9.81i10м3л=i= 0.052= 52 ;41.841.8ссQ69= 1.33 раза.Тогда присоединение диффузора увеличит расход в трубе в 2 =Q1 52Q69= 1.33 ;Ответ: D = 166,53 мм , L = 307.83 мм и 2 =Q1 52Q1 =i6Задача 9.10Какой предельной длинны L можно сделать пожарный рукав диаметром D = 65 мм ,если при давлении М = 0.8МПа (по манометру на гидранте) подача через установленныйна конце ствола насадок, выходной диаметр которого d = 30 мм , должна составлятьм3Q = 1.2?минСтвол поднят выше манометра на h = 10 м ; коэффициент сопротивления ствола снасадком ζ = 0.1 (сжатие струи на выходе отсутствует).

Местные потери в рукаве неучитывать.Задачу решить предполагая, что используются непрорезиненные ( λ = 0.054 ) ипрорезиненные ( λ = 0.025 ) рукава.Решение:Наличие в системе гидранта, эквивалентно наличию большого бака с водой, уровеньM0.8i106== 81.55 м от уровняжидкости в котором находится на высоте H =ρ i g 103 i9.81манометра.Задавшись положением плоскости сравнения, как показано на рисунке, запишемуравнение Бернулли для поверхности жидкости в баке (1) и выходного сечениянасадка(2).Общий вид уравнения Бернулли:2p1V12p2V22+ α1 i= z2 ++ α2 i+ ∑ hП ;z1 +ρigρig2i g2i g 17Применительно к задаче, пренебрегая местными потерями на входе в рукав и считаярежим движения жидкости турбулентным, получаем:2V2M= h + 2 + ∑ hП ;ρig2i g 1L V12V22+ζ iсуммарная потеря напора при переходе от (1) к (2), котораяГде ∑ hП = λ i i2i gD 2i g1складывается из потерь на трение в рукаве и потери в насадке.V1 и V2 скорости потока жидкости в рукаве и на выходе из насадка соответственно.Задача решается в избыточной системе давления.Итак:V2V2ML V2= h + 2 + λi i 1 + ζ i 2 ;ρig2i gD 2i g2i g2L=V22V22 ⎤2i g i D ⎡ Miihζ−−−⎥;2i g2i g ⎦λ iV12 ⎢⎣ ρ i gНайдем скорости V1 и V2 из следующих соображений:π iD24iQ;4π iD2м3м3Q = 1.2= 0.02 ;минсТогда:4i0.02мV1 ==6 ;23.14i0.065сАналогичным образом:4iQ4i0.02мV2 === 28.3 ;223.14i0.03сπ idВ итоге получаем:1.

При непрорезиненном рукаве( λ = 0.054 ) :2i9.81i0.065 ⎡ 0.8i10628.3228.32 ⎤iiL=−10−−0.1= 17.5 м;0.054i62 ⎢⎣103 i9.812i9.812i9.81 ⎥⎦2. При прорезиненном рукаве( λ = 0.025 ):2i9.81i0.065 ⎡ 0.8i10628.3228.32 ⎤iiL=−10−−0.1= 37.8 м;0.025i62 ⎢⎣103 i9.812i9.812i9.81 ⎥⎦Ответ: L = 17.5 м и L = 37.8 м;Q=iV1 ⇒ V1 =8Задача 10.7Два резервуара с постоянными и одинаковыми уровнями воды (ν = 0.01Ст )соединены стальными (шероховатость Δ = 0.2мм ) трубами, приведенные длины которыхL1 = L3 = 50 м , L2 = 200 м и диаметры d = 100 мм .л1. При каком напоре H суммарный расход из баков Q = 12 ?с2. Какова максимально возможная высота h расположения узла С при этом напоре.Предельную вакуумметрическую высоту в этом узле принять равной 10 м.Решение:Данная задача относится к задачам о расчете сложного трубопровода с концевойраздачей. Составим систему расчетных уравнений.Запишем уравнение Бернулли для каждой ветви трубопровода, пренебрегаяскоростными напорами и задавшись плоскостью сравнения на уровне конца 3 ветвитрубопровода, как показано на рисунке.1) Поверхность жидкости (1) и узел С:LH = y + k1 iQ12 , где k1 = 0.0827iλ1 i 15d2) Поверхность жидкости (2) и узел С:LH = y + k2 iQ22 , где k2 = 0.0827iλ2 i 25d3) Узел С и нижний конец 3 ветви трубопровода (3):Lh = k3 iQ32 , где k3 = 0.0827iλ3 i 35dQ1 , Q2 и Q3 расходы в соответствующих ветвях трубопровода, y - напор в узле.лОчевидно что Q3 = Q = 12 .сДополним полученную систему уравнением баланса расходов: Q = Q1 + Q2 .Перепишем систему в виде:9⎧ H − y = k1 iQ12⎪2⎪ H − y = k2 iQ2(*)⎨2y=kQi⎪3⎪Q + Q = Q⎩ 12Используем графический метод решения этой системы.Так как H нам не известно то строим следующие зависимости:⎧ y1 = −k1 iQ12⎪2⎨ y2 = −k2 iQ2⎪2⎩ y3 = k3 iQПорядок построения:1.

Задаемся произвольным значением расхода Q .2. Для выбранного напора определяем число Рейнольдса по формулеV idQid4iQRe =;==2π idνπ id iνiν43. По графику λ (Re) приведенному в задачнике, для требуемого отношенияd 100== 500 и полученного числа Рейнольдса, определяем значение λ ;Δ 0.2L4.

По формуле ki = 0.0827iλi i 5i вычисляем коэффициенты.d5. Рассчитываем значение y (Q).6. Полученные точки наносятся на график.Составим таблицу рассчитанных значений:Q, л / с2468444Re2.546i10 5.093i107.639i10 1.019i105λ0.02750.02540.02440.024-0.045-0.168-0.363-0.635y1 , м101.273i100.0239-0.9881251.528i100.0237-1.4111451.738i1050.0236-1.913y2 , м-0.18-0.672-1.452-2.54-3.952-5.644-7.652y3 , м0.0450.1680.3630.6350.9881.4111.913Построения проводим средствами программного приложения AutoCAD, нопредварительно определяем масштабы осей координат.лПусть расходу Q = 12 соответствует 100мм от начала отсчета, тогда масштаб осис100мм= 8.33;расхода определяется следующим образом μQ =12л/смм;Масштабом оси ординат зададимся произвольно, пусть μ H = 50мВ этих масштабах строятся графики.Просуммировав графики y1 и y2 по расходу, получаем график напоров трубопровода,эквивалентного 2 заданным (от 1 и 2 питателей), смещенный на H вниз.Очевидно, что график эквивалентного трубопровода должен пересекать график третьейлветви в точке Q = 12 , для того чтобы система имела решение;с10Следовательно, поднимаем график эквивалентного трубопровода до выполнения этогоусловия.

Ордината точки пересечения полученного графика с осью будет соответствоватьнапору H ;Измерив, расстояние от начала координат до этой точки получаем:Y102.88H= H == 2.06 м ;50μHТеперь найдем предельное значение h если в узле С вакуумметрическая высотаhвак = 10 м.То что в узле hвак = 10 м , говорит о том что вакуумметр присоединенный в узле покажетвакуум V = ρ i g ihвак ;Напор в узле определяется следующим соотношением:pVy = h+= h−= h − hвак ⇒ h = y + hвак ;ρigρ igY70.55= 1.41м;По графику y = y =50μHТогда h = 1.411 + 10 = 11.41м;Ответ: H = 2.06 м и h = 11.41м;11.