Заметка о построении нормальных форм

НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ1. Привести систему к нормальной форме и получить разложение решения вряд по начальным условиям до квадратных членов включительно xɺ1 = − x1 + x12 + 4 x1 x22 xɺ2 = −2 x2 − 2 x1 x2 + 2 x2(0)Линейная часть уже приведена к нормальной форме. Корни характеристического уравнения λ1 = −1, λ2 = −2 . Ищем резонансные слагаемые в квадратичныхчленах:для 1-го уравнения: −1 = −k1 − 2k2для 2-го уравнения: −2 = −k1 − 2k2где k j - показатель x j . Легко видеть, что резонансных членов у нас нет.Следовательно,потеоремеПуанкаресуществуетединственноенормализирующее преобразование x ֏ z , переводящее исходную систему всистему zɺ1 = − z1 zɺ2 = −2 z2(1)Ищем это преобразование, ограничиваясь квадратичной частью x1 = y1 + a20 y12 + a11 y1 y22 x2 = y2 + b11 y1 y2 + b02 y2(квадратичная часть преобразования соответствуетсистемы).

Обратное преобразование имеет видквадратичнойчасти2 y1 = x1 − a20 x1 − a11 x1 x2 + ...2 y2 = x2 − b11 x1 x2 − b02 x2 + ...Здесь многоточие – совокупность слагаемых не ниже третьего порядкаотносительно x j . Дифференцируем:yɺ1 = xɺ1 − 2a20 x1 xɺ1 − a11 xɺ1 x2 − a11 x1 xɺ2 + ... == − x1 + x12 + 4 x1 x2 + 2a20 x12 + a11 x1 x2 + 2a11 x1 x2 + ... == − y1 − 2a20 y12 − a11 y1 y2 + y12 + 4 y1 y2 + 2a20 y12 + a11 y1 y2 + 2a11 y1 y2 + ... == − y1 − 2a20 y12 − − y1 + (a20 + 1) y12 + (2a11 + 4) y1 y2 + ...

= − y1 + ... ,если положить a20 = −1, a11 = −2 . Аналогичную процедуру проделываем для y2 :yɺ 2 = xɺ2 − b11 x2 xɺ1 − b11 x1 xɺ2 − 2b02 x2 xɺ2 + ... == −2 x2 − 2 x1 x2 + 2 x22 + b11 x1 x2 + 2b11 x1 x2 + 4b02 x22 + ... =1= −2 y2 − 2b11 y1 y2 − 2b02 y22 − 2 y1 y2 + 2 y22 + b11 y1 y2 + 2b11 y1 y2 + 4b02 y22 ... == −2 y2 − 2b11 y1 y2 − 2 y2 + (b11 − 2) y1 y2 + (2b02 + 2) y22 + ... = −2 y2 + ...при b02 = −1, b11 = 2 .Продолжая нормализацию дальше, можно последовательно уничтожитьчлены третьей, четвертой и т.д. степеней и получить нормальную форму (1).Интегрируя нормальную форму, получим z1 = z10e −t , z2 = z20e− t , где z j 0 -начальные условия, которые переходят посредством нормализирующегопреобразования в начальные условия исходной системы: x10 = z10 − z102 − 2 z10 z20 + ...2 x20 = z20 + 2 z10 z20 − z20Обращая эти условия, получим z10 = x10 + x102 + 2 x10 x20 + ...2 z20 = x20 − 2 x10 x20 + x20 + ...2.

Привести к нормальной формеxɺ1 = x2 , xɺ2 = − x1 − 8 x13(2)Сначала нормализуем линейную часть xɺ1 = x2 , xɺ2 = − x1 . С помощью замены1i( y1 + y2 ) , x2 = ( y1 − y2 )22система (2) преобразуется к видуx1 = yɺ1 = xɺ1 − ixɺ2 = x2 + i ( x1 + 8 x13 ) = iy1 + i ( y1 + y2 )33 yɺ 2 = −iy2 − i ( y1 + y2 )Обратная замена имеет видy1 = x1 − ix2 , y2 = x1 + ix2(3)Слагаемое 3y12 y2 в правой части первого уравнения является резонансным:i = 2i + (−1)i .

Аналогично для второго уравнения резонансным будет слагаемое−3iy1 y22 . Нормальная форма имеет вид2 zɺ1 = iz1 + 3iz1 z2 + ...2 zɺ2 = −iz2 − 3iz1 z2 + ...2Напомню, что резонансные члены нельзя подавить с помощью нормализации,и, более того, переход от одного нормализирующего преобразования к другомуоставляет нормальную форму без изменений.Ищем нормализирующее преобразование в виде3223 y1 = z1 + h30 z1 + h21 z1 z2 + h12 z1 z2 + h03 z23223 y2 = z2 + h30 z2 + h21 z2 z1 + h12 z1 z2 + h03 z1Такой вид нормализирующего преобразования продиктован обратной заменой(3) (из неё следует, что y1 = y2 , а значит и z1 = z2 ).

Обратное преобразование3223 z1 = y1 − h30 y1 − h21 y1 y2 − h12 y1 y2 − h03 y2 + ...3223 z2 = y2 − h30 y2 − h21 y2 y1 − h12 y1 y2 − h03 y1 + ...Дифференцируем:zɺ1 = y1 − 3h30 y12 yɺ1 − 2h21 y1 y2 yɺ1 − h21 y12 yɺ 2 − h12 yɺ1 y22 − 2h12 y1 y2 yɺ 2 − 3h03 y22 yɺ 2 − 3h03 y22 yɺ 2 + ...

== iy1 + i ( y13 + 3 y12 y2 + 3 y1 y22 + y23 ) − 3h30 y12 ⋅ iy1 − 2h21 y1 y2 ⋅ iy1 + h21 y12 ⋅ iy2 −−h12 y22 ⋅ iy1 + 2h12 y1 y2 ⋅ iy2 + 3h03 y22 ⋅ iy2 + .. == i ( z1 + h30 z13 + h21 z12 z2 + h12 z1 z22 + h03 z23 ) + i ( z13 + 3 z12 z2 + 3 z1 z22 + z23 ) −−3ih30 z13 − 2ih21 z12 z2 + ih21 z12 z2 + ih12 z1 z22 + 2h12iz1 z22 + 3ih03 z22 + ... == iz1 + (1 + 2h30 ) z13 + 3 z12 z2 + ( 3 + 2h12 ) z1 z22 + (1 − 2h03 ) z23 + ...131Положим h30 = , h12 = − , h03 = , тогда все нерезонансные слагаемые пропадут.222Коэффициент при резонансном слагаемом можно выбрать любым, напримерh21 = 0 . Таким образом1 3 3 2 1 3 y1 = z1 + 2 z1 − 2 z1 z2 + 2 z2 y = z + 1 z3 − 3 z2 z + 1 z3211 22 2222Тогда x1 = Re y1 , x2 = − Im y1 .

Легко проверить, что zɺ1 z2 + z1 zɺ2 = 0 (в нормальнойформе),т.е.2z = const .Тогда,zɺ1 = iz1 (1 + 3r + ...) = iz1 ⋅ ω (r ) .Интегрируяiωtнормальную форму, находим z1 = z0e , z0 = r . Можно подставить это решениеи найти x1 и x2 с точностью до членов третьего порядка включительно.3.

Рассмотрим систему3zɺ 1 = iω1z1 + ∑ a1υ zυυ = 2,3υ υzɺ 2 = iω2 z 2 + ∑ a2 zυ = 2,3ɺυ υ z1 = −iω1 z1 + ∑ a1 zυ = 2,3 zɺ = −iω z +a2υ z υ∑22 2υ = 2,3(1)TЗдесь z = ( z1 , z 2 , z1 , z2 ) , коэффициенты aυj комплексные, υ ∈ Z 4 (мультииндекс),ω j > 0 . Последние два уравнения можно короче переписать в виде zɺ1 = zɺ1 ,zɺ 2 = zɺ 2 , соответственно. Система (1) рассматривается намногообразии z1 = z 3 , z2 = z 4 размерности 4 в пространстве ℂ 4 .ℝ -линейномЛинейная часть системы (1) уже находится в нормальной форме, поэтомунормализуем квадратичную часть с помощью преобразованияz j = w j + ∑ g υj wυ , j = 1, 2|υ | = 2Коэффициенты g υj подлежат определению.

Обратное преобразование имеетвид:w j = z j − ∑ g υj zυ + ...|υ | = 2Дифференцируем:wɺ j = iω j z j + ∑ aυj zυ − ∑ i ω1 (υ1 − υ3 ) + ω2 (υ2 − υ4 ) g υj zυ ... =|υ | = 2|υ | = 2iω j w j + − ∑  aυj − i (ω1 (υ1 − υ3 ) + ω2 (υ2 − υ4 ) ) g υj wυ + ...|υ | = 2Резонансное соотношение имеет видω1 (υ1 − υ3 ) + ω2 (υ2 − υ4 ) = ω jВ квадратичной части системы возможны следующие резонансы:1) ω2 = 2ω1 , резонансные слагаемые: z12 (во 2-м уравнении), z 2 z1 (в 1-муравнении)2) ω1 = 2ω2 , резонансные слагаемые: z 22 (в 1-м уравнении), z2 z1 (во 2-муравнении)Нерезонансные коэффициенты g υj выражаются через aυj посредством формулы4−iaυjυgj =ω1 (υ1 − υ3 ) + ω1 (υ1 − υ3 ) − ω1Резонансные коэффициенты нормализирующего преобразования полагаемравными нулю.Продолжаем нормализацию. Рассмотрим преобразованиеz j = w j + ∑ g υj wυ + ∑ hυj wυ , j = 1,2|υ | = 2|υ | =3где коэффициенты g υj мы уже определили.

Обратное преобразование имеет видw j = z j − ∑ g υj wυ − ∑ hυj wυ + ... = z j − ∑ g υj zυ + ∑ ( gɶ υj − hυj ) zυ + ...|υ | = 2|υ | = 2|υ | =3|υ | =3Коэффициенты gɶ υj определённым образом выражаются через g KH , гдемультииндекс υ получается из мультииндекса µ добавлением 1 к однойкоординате. Теперь дифференцируем:dzυwɺ j = iω j z j + ∑ a j z + ∑ a j z − ∑ g j+dt|υ | = 2|υ | =3|υ | =3υ υυ υυ+ ∑ i ω1 (υ1 − υ3 ) + ω2 (υ2 − υ4 )  ( gɶ υj − hυj ) zυ + ...|υ | =3dzυНадо разобраться с, имеемdtdzυ= i ω1 (υ1 − υ3 ) + ω2 (υ2 − υ4 )  zυjdt//////////В кубической части системы возможны следующие резонансы:а) 3ω1 = ω2 , резонансные слагаемые: z 32 , z 2 z12 (в 1-м уравнении).б) ω1 = 3ω2 , резонансные слагаемые: z13 , z1 z22 (в 2-м уравнении).в) ω1 = ω2 , резонансные слагаемые: z 22 z1 , z 22 z2 , z1z 2 z1 (в 1-муравнении).

z12 z1 , z12 z2 , z 22 z1 , z1z 2 z2 (во 2-м уравнении).Нельзя уничтожить следующие члены:В 1-м уравнении: z12 z1 , z1z 2 z2 .5Во 2-м уравнении: z 22 z2 , z1z 2 z1 .//////////ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БИРКГОФА1. Привести гамильтониан к нормальной форме:H=1 2p + q 2 ) − q3 − q 4(2( q - координата, p - импульс). Ищем унивалентное близкое к тождественномуканоническое преобразование q, p ֏ Q, P с производящей функцией S ( q, P ) ,задаваемое при помощи соотношенийp=∂S∂S, Q=∂q∂P(2.1)причём S = qP + Sɶ ( q, P ) , Sɶ ( q, P ) = S (3) + S (4) + ... ( S ( k ) - форма k-го порядкаотносительно q и P).Проблема в том, что соотношение (2.1) неявное и для нормализациитребуется разрешить q и p через Q и P.Уничтожим сначала члены третьего порядка в гамильтониане.

ПустьS (3) = α1q 3 + α 2 q 2 P + α 3qP 2 + α 4 P 3тогдаp = P + 3α1q 2 + 2α 2 qP + α 3 P 2Q = q + α 2 q 2 + 2α 3qP + 3α 4 P 2Разрешая относительно q и p, имеемp = P + 3α1Q 2 + 2α 2QP + α 3 P 2 + ...q = Q − α 2Q 2 − 2α 3QP − 3α 4 P 2 + ...Подставляем в H, удерживая члены до третьего порядка включительно:1 2P + Q 2 ) + 3α1Q 2 P + 2α 2QP 2 + α 3 P 3 −(2−α 2Q 3 − 2α 3Q 2 P − 3α 4QP 2 − Q 3 + ... =H=61 2P + Q 2 ) + ( −α 2 − 1) Q 3 + ( 3α1 − 2α 3 ) Q 2 P +(2+ ( 2α 2 − 3α 4 ) QP 2 + α 3 P 3 + ...=2Члены третьей степени пропадают, если взять α 2 = −1 , α 4 = − , α1 = α 3 = 0 .32Значит S (3) = − q 2 P − P 3 .3Теперь нормализуем члены четвёртого порядка в гамильтониане.

ПоложимS (4) = β1q 4 + β 2 q 3 P + β3q 2 P 2 + β 4 qP 3 + β5 P 4Тогдаp = P − 2qP + 4 β1q 3 + 3β 2 q 2 P + 2 β3qP 2 + β 4 P 3Q = q − q 2 − 2 P 2 + β 2 q 3 + 2 β3q 2 P + 3β 4 qP 2 + 4 β5 P 3Разрешим относительно q,p и удержим члены не выше третьего порядка:q = Q + q 2 + 2 P 2 − β 2 q 3 − 2 β 3q 2 P − 3β 4 qP 2 − 4 β5 P 3 =2Q + ( Q + q 2 + 2 P 2 + ...) + 2 P 2 − β 2Q 3 − 2 β 3Q 2 P − 3β 4QP 2 − 4 β 5 P 3 + ... =Q + Q 2 + 2Q 3 + 4QP 2 + 2 P 2 − β 2Q 3 − 2 β 3Q 2 P − 3β 4QP 2 − 4 β5 P 3 + ... =Q + Q 2 + 2 P 2 + ( 2 − β 2 ) Q 3 − 2 β 3Q 2 P + ( 4 − 3β 4 ) QP 2 − 4 β 5 P 3 + ...p = P − 2 P ( Q + Q 2 + 2 P 2 + ...) + 4 β1Q 3 + 3β 2Q 2 P + 2 β3QP 2 + β 4 P 3 + ... =P − 2QP + 4 β1Q 3 + ( 3β 2 − 2 ) Q 2 P + 2 β3QP 2 + ( β 4 − 4 ) P 3 + ... =Подставляем в H и удерживаем члены до четвёртого порядка включительно:1H =  P 2 + 4Q 2 P 2 − 4QP 2 + 8β1Q 3 P + 2 ( 3β 2 − 2 ) Q 2 P 2 + 4 β 3QP 3 + 2 ( β 4 − 4 ) P 4  +21+ Q 2 + Q 4 + 4 P 4 + 2Q 3 + 4QP 2 + 4Q 2 P 2 + 2 ( 2 − β 2 ) Q 4 − 4 β3Q 3 P +2+2 ( 4 − 3β 4 ) Q 2 P 2 − 8β 5QP 3  − Q 3 + 3Q 2 ( Q 2 + 2 P 2 )  − Q 4 + ...

==1 2P + Q 2 ) + слагаемые 4й степени + ...(2Выпишем коэффициенты формы четвёртого порядка в гамильтониане:Q4 : −3− β22Q 3 P : 4 β1 − 2 β37Q 2 P 2 : 3β 2 − 3β 4QP 3 :2 β 3 − 4 β5P4 : β4 − 2Из теории метода Биркгофа известно, что нормализованный гамильтониандолжен иметь вид21 21P + Q 2 ) + c ( P 2 + Q 2 ) + ...(24где с подлежит определению. Отсюда запишем систему для определениякоэффициентов нормализирующего преобразования:H=−31− β2 = c244 β1 − 2 β3 = 013β 2 − 3β 4 = c22β3 − 4β 5 = 014Решая эту систему, находим, чтоβ4 − 2 = cc=−213 13111, β1 = β3 = β 5 = 0, β 2 = − − c = − , β 4 = 2 + c =42 416416Таким образом,3 311q P + qP 316162121H = ( P2 + Q2 ) − ( P2 + Q2 )216S (4) = −Сделаем ещё унивалентное каноническое преобразование по формуламQ = 2r sin ϕ , P = 2r cos ϕ( ϕ , r - координата и импульс, соответственно).

ТогдаH = r + cr 2 + ... = r −21 2r + ...421В укороченной системе с гамильтонианом Hɶ = r − r 24циклическая.координата ϕ8q = 2r0 sin (ϕɺ0t + ϕ0 ) + Ο ( r0 )p = 2r0 cos (ϕɺ0t + ϕ0 ) + Ο ( r0 )dϕ ∂H21== 1 − r0 , ( r0 ,ϕ0 ) -начальные условия. На рис. 1 изображеныdt∂r2траектории укороченной системы с гамильтонианом Hɶ ( Q, P ) и приближённыетраектории исходной системы, вычисленные с помощью нормализирующегопреобразования.где ϕɺ0 =//////////2. Нормализовать систему с гамильтонианом1H = ω ( p 2 + q 2 ) + ε  q 2 + ( sin t ) qp + 2 ( cos t ) p 2 2Параметр εпредполагается малым, невозмущённый гамильтониансоответствует линейному осциллятору. Возмущения в системе, как можновидеть, малые и 2π -периодические.Перейдём к квазиполярным координатам (ϕ ,r ) при помощи унивалентногоканонического преобразованияq = 2r sin ϕ , p = 2r cos ϕ( ϕ - новая координата, p - новый импульс):H new = ω r + ε r ( 2sin 2 ϕ + sin t ⋅ 2sin ϕ cos ϕ + 2cos t ⋅ 2cos 2 ϕ ) =ω r + ε r 1 + 2cos t − cos 2ϕ +1( cos ( 2ϕ − t ) − cos ( 2ϕ + t ) ) + cos ( 2ϕ − t )231+ cos ( 2ϕ + t )  = ω r + ε r 1 + 2cos t − cos 2ϕ + cos ( 2ϕ − t ) + cos ( 2ϕ + t ) 22В квадратных скобках находится двойной ряд Фурье с конечным числомслагаемых.