Семестр_4_Лекция_01_02 (Отличные лекции от Семиколенова), страница 2

(Отсюда и следует«странное» название – закон смещения.)Приложение.Обоснование закона Стефана-Больцмана с термодинамической точки зрения можно провести следующим образом. Первое начало термодинамики для равновесных процессовTdS = dU + pdV можно записать через дифференциальное соотношение1   ∂U  ∂S  ∂S  ∂U dS =  dT +  dV =   dT +  dV + pdV T   ∂T V ∂T V ∂V T ∂V T1   ∂U 1  ∂U  ∂S  ∂S Поэтому  =  + p . =  и ∂T V T  ∂T V  ∂V T T   ∂V T ∂2S∂2S∂  1  ∂U   ∂  1   ∂U , тогда=   = + p   или∂V ∂T ∂T ∂V∂V  T  ∂T V  ∂T  T   ∂V T  1   ∂ 2U   ∂p  1  ∂ 2U 1   ∂U  ∂U  ∂p =−+p + +  . Откуда  + p =T  .2 T  ∂V ∂T T   ∂V T ∂V T ∂T V T   ∂T ∂V   ∂T V 1UВводя давление равновесного излучения как p = u , где u =- объёмная плотность3VНо ∂u внутренней энергии, получаем равенство 4u = T  .

После интегрирования выражения ∂T V4dT du=получаем, что объёмная плотность внутренней энергии пропорциональная 4-й стеTuпени температуры u = c0T 4 , где с0 – константа интегрированияКачественное обоснование формулы Вина может быть следующим. По закону СтефанаБольцмана RT АЧТ =+∞∫rω ,T0АЧТd ω = σ ⋅ T 4 . Если формально при T=const сделать замену ω = x ⋅ T , тоСеместр 4. Лекции 1 - 25+∞это выражение примет вид T∫ r ( x ) dx = σ ⋅ TАЧТ4.

Т.к. зависимость от Т должна быть одинако-0вой с обеих сторон равенства, то подынтегральная функция должна иметь видf ( x)ωr АЧТ ( x ) = T 3 ⋅ f ( x ) или r АЧТ ( ω,T ) = ω3 ⋅ F   , где введено обозначение F ( x ) = 3 .xT Формула Рэлея-ДжинсаРэлей и Джинс попытались получить аналитическую зависимость спектральной светимости от частоты. Для этого они привлекли методы классической термодинамики. Т.к. в плоскойэлектромагнитной волне энергия поровну распределяется между магнитным и электрическимполями, то можно считать, что каждой волне соответствует две степени свободы i=2, поэтомусредняя тепловая энергия переносимая электромагнитной волной равнаkT kT< ε >=< ε Э > + < ε М >=+= kT .22Подсчёт спектральной плотности количества волн (отношение возможного количества стоячихволн с частотами в интервале ( ω,ω + d ω) в некотором объёме к величине этого объёма) привоdN ωω2= 2 3 .

Следовательно, спектральная объемная плотность энергии будутdVπcdN ωω2cω2АЧТравна uω,T =< ε >= 2 3 kT . Откуда r ω ,T = uω ,T = 2 2 kT .dV44π cπcОказалось, что формула Рэлея-Джинса удовлетворительно согласуется с экспериментальными данными только в области больших длин волн (т.е. малых частот.) При этом с ростомчастоты объемная плотность энергии неограниченно возрастает. Т.к. эта формула была получена с учётом классических представлений, но результат не согласуется с результатами эксперимента, то стало ясно, что классическое представление является неудовлетворительным.

Такуюситуацию условно назвали «ультрафиолетовой катастрофой».Для объяснения поведения функции Макс Планк в 1900 году предложил гипотезу о квантах. Согласно этой гипотезе энергия системы может принимать только дискретные значения.При испускании электромагнитных волн энергия системы уменьшается на величину энергииизлучения. Поэтому энергия излучения тоже является дискретной. Минимальную величинуэнергии излучения он назвал квантом. Квант энергии E = hν = ℏω пропорционален величинеизлучения.Коэффициент пропорциональности h ≈ 6, 626 ⋅10−34 Дж⋅с называется постоянной Планка.hСоответственно, приведённая постоянная Планка ℏ =≈ 1, 055 ⋅10−34 Дж⋅с.2πПостоянная Планка является принципиально новой константой и не может быть получена из констант классической физики.Если рассмотреть равновесное излучение как термодинамическую систему, то к нейможно применить классическое распределение Больцмана.

Вероятность нахождения системы водном из состояний со значением энергии En определяется выражением E exp  − n  kT pn = E ∑i exp  − kTi здесь суммирование проводится по полному набору дискретных значений { E0 ,E1 ,E2 ,...,EN } .Среднее значение энергии определится выражениемдит к величинеN< ε >= p0 E0 + p1 E1 + p2 E2 + ... + pN EN = ∑ pi Ei .i =0Семестр 4.

Лекции 1 - 26Для электромагнитной волны теплового излучения характерно излучение во всём диапазонечастот, поэтому набор энергий будет бесконечным {0 , ℏω, 2ℏω,...,nℏω,...} . Тогда∞∞ Ei  En  nℏω exp−Eexp−E∑ i ∑ n ∑ exp  − nℏω∞kT kT kT i =0n=0n=0< ε >= ∑ pi Ei = ∞= ∞=.∞ Ei  En  nℏω i =0exp  −exp  −exp  −∑∑∑ kT  kT  kT n=0i =0n =0Здесь для удобства немой индекс суммирования i заменён на n. Учтем, что в бесконечной геометрической прогрессии ℏω  2 ℏω  3ℏω 1, exp  − , exp  − , exp  −, … kT  kT  kT  ℏω  ℏω знаменатель прогрессии равен exp  − . Если предположить, что exp  − < 1 , то сумма kT  kT ∞1 nℏω  ℏω  2 ℏω равна ∑ exp  −. = 1 + exp  − + exp  − + ...

= ℏω  kT  kT  kT n =01 − exp  − kT Тогда среднее значение энергии∞ nℏω  ℏω  2ℏω  3ℏω exp  −∑ nℏω ℏω exp  − + 2ℏω exp  − + 3ℏω exp  − + ...kT kT kT kT n=0< ε >===∞ nℏω  ℏω  2ℏω  3ℏω 1 + exp  −exp  −∑ + exp  − + exp  − + ... kT  kT  kT  kT n=0  ℏω  2ℏω  3ℏω  ℏω  =  ℏω exp  − + 2ℏω exp  − + 3ℏω exp  − + ... ⋅ 1 − exp  − = kT  kT  kT  kT    ℏω  2ℏω  2ℏω  3ℏω  3ℏω = ℏω exp  − − ℏω exp  − + 2ℏω exp  − − 2ℏω exp  − + 3ℏω exp  − − ... = kT  kT  kT  kT  kT  ℏω  2ℏω  3ℏω  ℏω   ℏω = ℏω exp  − + ℏω exp  − + ℏω exp  − + ...

= ℏω exp  − 1 + exp  − + ... = kT  kT  kT  kT   kT  ℏω exp  −ℏωℏωkT , т.е. < ε >=.= ℏω= ℏω  ℏω  ℏω exp 1 − exp  − −1 exp  −1 kT  kT  kT Следовательно, спектральная объемная плотность энергии будут равнаdN ωω2ℏωc1ℏω3АЧТuω,T =< ε >= 2 3. Откуда r ω ,T = uω ,T = 2 2.dVπc44π c ℏω  ℏω exp exp  −1 −1 kT  kT Закон излучения Планка.1ℏω3Спектральная энергетическая светимость АЧТ равна r АЧТ ω ,T = 2 2.4π c ℏω exp  −1 kT Следствия из формулы излучения Планка.ω1) Вид функции в законе Планка совпадает с формулой Вина r АЧТ ( ω,T ) = ω3 ⋅ F   .T 2) Найдем длину волны, соответствующую максимуму спектральной светимости АЧТ.∞Семестр 4. Лекции 1 - 27 2πc ℏ31ℏω2πc12πc4π 2 c 2 ℏ λ АЧТ 2 πcТ.к.

rɶλАЧТ,r====,Tω ,T4π2 c 24π 2 c 2λ2λ2λ2 ℏω  ℏ 2πc ℏ 2πc  5exp exp λ  exp  −1 −1 − 1 kT  kT λ  kT λ  2 2dd 4π c ℏАЧТтоrɶω ,T ) =( = 0 , откудаdλdλ  5  ℏ 2πc   λ exp  − 1  kT λ   3 ℏ 2πc 4π2 c 2 ℏ ⋅ exp 2 22 24π c ℏ4π c ℏd  kT λ  ℏ 2πc = 0 ,+ = −522dλ  5  ℏ 2πc    ℏ 2πc  6 ℏ 2πc   kT λ5λ  exp −λexp−11   λ  exp  − 1 kT λ    kT λ    kT λ   ℏ 2πc exp ℏ 2πc kT λ = 5. ℏ 2πc   kT λ exp  kT λ  − 1 ℏ 2πcВводя обозначение x =, получаем трансцендентное уравнение x ⋅ exp ( x ) = 5 ( exp ( x ) − 1) .kT λРешение этого уравнения x0≈4,965114232.

Откуда для длины волны λ MAX , соответствующеймаксимуму спектральной испускательной способности получаем выражениеℏ 2πc 2 ,9 ⋅10−3λ MAX =≈м.kT x0TСледовательно, вычисленное значение постоянной Вина b = 2 ,9 ⋅10−3 м⋅К практически совпадает с экспериментальным значением.3) Найдем интегральную светимость3 ℏω 4+∞+∞+∞+∞kT )(1ℏω3k4x3kT  ℏω АЧТ4RT = ∫ r ω ,T d ω = ∫ 2 2dω = ∫ 2 2 3d=T∫0 exp ( x ) − 1 dx4π c4π c ℏkT  4π2 c 2 ℏ3 ℏω  ℏω 000exp exp  −1 −1 kT  kT +∞x3Численный расчёт даёт значение ∫dx ≈ 6 ,5 , откуда RT ≈ 5, 65 ⋅10−8 ⋅ T 4 .exp ( x ) − 10Т.е. вычисленное значение постоянной Стефана-Больцмана практически совпадает с экспериментальным.1ℏω3АЧТ4) Если в законе излучения Планка r ω ,T = 2 2устремить ℏω → +0 , то с учетом4π c ℏω exp  −1 kT 1ℏω3ω2ℏω ℏω АЧТразложения exp ,получимвыражениеr≈=kT ,≈1+ω ,T4 π 2 c 2 1 + ℏω − 1 4 π 2 c 2kT kT kTсовпадающее с формулой Рэлея-Джинса. Т.е.

формула Рэлея-Джинса описывает случай, когдаэнергия кванта излучения много меньше энергии теплового движения ℏω << kT .Семестр 4. Лекции 1 - 285) Для примера представим графики r АЧТ ω ,T для некоторых температур. Для этого введём переℏωменную x =и перепишем закон излучения Планка в видеk3 ℏω 331,38 ⋅10 −23 )k)((k3x3x3k АЧТ= 2 2 2=⋅r ω ,T = 2 2 24π c ℏ4π c ℏ exp ( x ) − 1 4π2 ⋅ 9 ⋅10 −16 ⋅1, 0552 ⋅10−68 ℏω xexp exp   − 1 −1 kT T 3xТогда r АЧТ ω ,T ≈ 6 , 6 ⋅1012.

Графики такой зависимости для различных Т представленыxexp   − 1T выше.rАЧТω,TДж/м26,0E+205,0E+20T=400, K4,0E+20T=300, K3,0E+20T=200, K2,0E+20T=100, K1,0E+200,00,01,0E+032,0E+033,0E+034,0E+035,0E+036,0E+03x, KФотоэффектФотоэлектрическим эффектом или внешним фотоэффектом называется явление испускания электронов металлами под действием падающего света. (Явление испускания электронов веществом под действием падающего света называется фотоэмиссией).Явление фотоэффекта открыл Герц в 1887 г.Александр Григорьевич Столетов в конце 19 века установил законы фотоэффекта:1) наибольшее действие оказывают ультрафиолетовые лучи;2) сила тока насыщения возрастает с увеличением освещённости;Семестр 4.

Лекции 1 - 293) испускаемые под действием света частицы имеют отрицательный заряд. (Э. А. фон Ленард иДж. Дж. Томсон затем установили, что это – электроны.)В установке для исследования фотоэффекта свет сквозь кварцевое стекло освещает каВакуумIКАIHVПГUЗ0Uтод, который вместе с анодом находится в вакуумированной колбе. Напряжение между катодоми анодом V можно регулировать (положительным считается напряжение, при котором потенциал катода меньше потенциала анода).

Наличие тока в цепи регистрируют гальванометром Г.Вольт-амперная характеристика фотоэффекта свидетельствует, что1) при освещении катода ток в цепи есть даже при нулевом напряжении между катодом и анодом. Это означает, что часть электронов, вылетевших с катода, попадает на анод.2) Наличие тока освещения говорит о том, что все электроны, вылетевшие с катода, попадаютна анод.3) При некотором обратном (задерживающем) напряжении фототок в цепи прекращается. Величина этого напряжения зависит от частоты падающего света, но не зависит от освещённости.Этот факт противоречит классическому описанию – при увеличении освещенности катода напряженность электрического поля увеличивается – поэтому скорость электронов вылетающихдолжна возрастать, т.е.