Семестр_4_Лекции_09_10 (Отличные лекции от Семиколенова)

Семестр 4. Лекции 9 - 10Лекции 9 - 10. Квантовая теория атома.Ядерная модель атома. Постулаты Н. Бора. Стационарное уравнение Шредингера для атомаводорода. Волновые функции и квантовые числа. Спектр атома водорода. Правила отбора дляквантовых чисел. Ширина спектральных линий.Модель атома Томсона.Джозеф Джон Томсон, открывший в 1897 г. электрон, предложил рассматривать атом какположительный однородно заряженный шар, внутри которого движутся отрицательно заряженные электроны.Найдём собственную частоту колебаний одиночного электрона в такой модели атома.Уравнение движения электрона ma = −eE .

Напряжённость электрического поля можно найтипо теореме Гаусса1ρdV .∫∫S E,dS = ε0 ∫∫∫VСчитая, что электрический заряд равномерно распределён по объёму, можно найти плотностьqqзаряда ρ = =. Выбирая в качестве поверхности S концентрическую сферу радиуса r<R,V 4 πR33получаем1 q 4 3E 4πr 2 =πr .ε 0 4 πR 3 331 q1 qeОткуда E =r , поэтому уравнение движения примет вид ma = −r . Циклическая34πε 0 R4πε 0 R 3(частота колебаний равна ω =)1 qe. Указанная величина по порядку совпадает с частота4πε 0 mR 3ми излучения атомов.Модель атома Резерфорда.В 1911 г. Эрнест Резерфорд провел опыты по рассеянию α-частиц (ядер атомов гелия) наатомах золота.

Результаты распределения частиц по углам рассеяния показали, что положительно заряженная область занимает небольшую часть объема атома. На основании чего Резерфорд предложил планетарную модель атома, в которой атом состоит из положительно заряженного тяжёлого ядра, размер которого много меньше размера атома. Вокруг тяжёлого ядра вращаются лёгкие отрицательно заряженные электроны, подобно планетам солнечной системы.Поэтому такую модель называют планетарной моделью атома.Эта модель не может существовать с точки зрения классической электродинамики. Привращательном движении электрон движется с (центростремительным) ускорением, поэтомуатом должен непрерывно излучать энергию, что должно привести к потере энергии атомом.

Т.е.с классической точки зрения атом является нестабильной системой, т.к. после исчерпания энергии электрон должен упасть на ядро.Теория БораПопытку снять это противоречие предпринял Нильс Бор в 1913 г. Для этого он предположил, что существуют состояния атома, в которых электрон движется по определённым орбитам, не излучая электромагнитные волны. Такие состояния он назвал стационарными. При переходе из одного стационарного состояния в другое атом излучает или поглощает квант энергииℏ ω = Ek − En .Эти предположения получили название постулаты Бора.1Семестр 4. Лекции 9 - 10В теории Бора возможны только такие орбиты, для которых момент импульса электронакратен постоянной ħ : L = n ⋅ ℏ .Учитывая, что в этой модели орбиты являются круговыми, поэтому для момента импульса электрона можно записать выражение L = p ⋅ R , получаем, что условие p ⋅ R = n ⋅ ℏ эквиваh 2πRлентно p ⋅ 2π ⋅ R = n ⋅ 2π ⋅ ℏ , т.е.

λ B = =- на орбите укладывается целое число длин волнpnде Бройля для электрона.Спектр излучения атома водорода к тому времени уже был достаточно хорошо изучен. Дляциклической частоты излучения опытные данные давали (обобщенную) формулу Бальмера 1 1 ω = R ⋅ 2 − 2 n k Где R – постоянная Ридберга, n, k – натуральные числа, k > n .К достоинствам модели атома Бора можно отнести тот факт, что эта модель позволилаобъяснить, в частности, эту формулу.Рассмотрим модель атома, в котором лёгкий электрон движется по круговой орбите вокруг тяжёлого положительно заряженного ядра (Z – зарядовое число) v21 Ze 21 Ze 2  2Ze 2ma=m=mvR= n4πε 0 R 2 или  R 4πε 0 R 2 , 4πε 0 .mvR = nℏmvR = nℏmvR = nℏ2ZeОткуда для скорости получаем v =, и радиус орбиты4πε 0 nℏnℏ 4πε 0 ( nℏ )R==.mvmZe 2Полная механическая энергия системы равна сумме кинетической и потенциальнойmv 21 Ze 2E=−.24πε 0 R2Т.к.

из уравнения движения следует, что mv 2 =E=−1 Ze2, то4πε 0 R1 1 Ze21mZ 2 e4=−.2 4πε 0 R2 ( 4πε 0 )2 ( nℏ )2Следовательно, энергия электрона определяется выражениемmZ 2 e41En = −⋅ 22 22 ( 4πε 0 ) ℏ nЧисло n определяет значение энергии и называется главным квантовым числом.me 411Для атома водорода Z=1, поэтому En = −⋅ 2 ≈ −21, 7 ⋅ 2 ⋅10−19 Дж или2 2n2 ( 4πε 0 ) ℏ n1эВ. Следовательно, для отрыва электрона от атома (ионизации атома) водородаn2необходима энергия Ei ≈ 13, 6 эВ.Первый Боровский радиус4πε 0 ℏ 2R1 =≈ 0 ,53 ⋅10−10 мme 2En ≈ −13, 6 ⋅2Семестр 4.

Лекции 9 - 10– радиус самой «низкой» орбиты электрона по порядку совпадает со средним размером атома,полученным экспериментально. Первый Боровский радиус соответствует невозбуждённому(основному) состоянию атома.Состояниям с большей энергией соответствуют большие радиусы орбиты.Для перехода из одного стационарного состояния в другое энергия кванта излученияme 4 1 1 ℏω = Ek − En =⋅− 2 .2 2  22 ( 4πε 0 ) ℏ  n k  1 1 Для круговой частоты получаем обобщённую формулу Бальмера ω = R ⋅  2 − 2  ,n k 4meгде постоянная Ридберга R =.

Стоит отметить, что её значение хорошо согласуется22 ( 4πε 0 ) ℏ3с экспериментальным значением R ≈ 2, 06 ⋅1016 с-1.Замечание. При излучении или поглощении кванта меняется энергия атома, следовательно, меняется главное квантовое число n. При изменении главного квантового числа меняется моментимпульса атома, следовательно, в соответствии с законом сохранения момента импульса фотондолжен иметь момент импульса целочисленно кратный постоянной ħ.Теория Бора, несмотря на успехи в моделировании атома водорода, не помогла построить модель многоэлектронных атомов. Кроме того, она не давала объяснения и другим явлениям, например, тонкой структуре энергетических уровней.Однако теория Бора уже не была классической теорией строения атома. Одним из важнейших результатов этой теории является демонстрация того факта, что для объяснения явлений микромира необходимы подходы, отличные от подходов классической физики.Стационарное уравнение Шредингера для атома водорода.Рассмотрим квантовую систему , состоящую из неподвижного ядра с зарядом Ze (Z – целое число) и электрона.

Такая система при Z>1 описывает водородоподобный ион, а при Z=1 –атом водорода. Считая энергию системы постоянной, запишем уравнение Шрёдингера для стационарного состояния2m 1 Ze 2 ∆ψ + 2  E +zψ = 0.ℏ 4πε 0 r rЗапишем это уравнение в сферической системе координат,θy x = r sin θ cos ϕ , y = r sin θ sin ϕ , z = r cos θ .Так как оператор Лапласа в этой системе принимает видx∂2 2 ∂ 1 ∂21∂2cos θ ∂ϕ∆= 2 ++ 2 2+ 2 2+ 22∂rr ∂r r ∂θ r sin θ ∂ϕ r sin θ ∂θто получаем∂ 2 ψ 2 ∂ψ 1 ∂ 2 ψ1∂ 2 ψ cos θ ∂ψ 2m 1 Ze 2 +++++E+ψ = 04πε 0 r ∂r 2 r ∂r r 2 ∂θ2 r 2 sin 2 θ ∂ϕ2 r 2 sin θ ∂θ ℏ 2 Перепишем уравнение в виде∂ 2 ψ 2 ∂ψ 2m 1 Ze 2 1  ∂ 2ψ1 ∂ 2 ψ cos θ ∂ψ ++E+ψ=−++∂r 2 r ∂r ℏ 2 4πε 0 r r 2  ∂θ2 sin 2 θ ∂ϕ2 sin θ ∂θ Для дальнейшего удобно ввести обозначение∂ 2ψ1 ∂ 2 ψ cos θ ∂ψ∆ θ ,ϕ ( ψ ) = 2 + 2+.∂θsin θ ∂ϕ2 sin θ ∂θДля поиска собственных функций этого оператора необходимо решить уравнение∆ θ ,ϕ ( ψ ) = λψ3Семестр 4.

Лекции 9 - 10Исследование этого уравнения показывает, что оно обладает непрерывным решением,если собственное имеет специальный вид число λ = −l ⋅ ( l + 1) , где l - целое неотрицательноечисло l = 0 ,1, 2 ,... .Введём оператор квадрата момента импульса Lˆ2 = Lˆ2x + Lˆ2y + Lˆ2z .В сферической системе координат этот оператор принимает вид ∂2Ψ1 ∂ 2 Ψ cos θ ∂Ψ 22L̂2 ( Ψ ) = −ℏ 2  2 + 2+ или L̂ ( Ψ ) = − ℏ ⋅ ∆ θ ,ϕ ( Ψ ) .2sinsin∂θθ∂ϕθ∂θПоиск собственных значений этого оператора L̂2 ( Ψ ) = L2 ⋅ Ψ приводит к уже известному уравL2L2L2нению ∆ θ ,ϕ ( Ψ ) + 2 Ψ = 0 , откуда следует равенство λ = − 2 или 2 = l ⋅ ( l + 1) для неотрицаℏℏℏтельных целых чисел l. Поэтому величина момента импульса для электрона в атоме принимаетзначенияL = ℏ l ⋅ ( l + 1) .Т.к. проекция вектора на ось Z не может быть больше длины вектора, то из соотношенияLz ≤ L и равенств Lz = mℏ , L = ℏ l ⋅ ( l + 1) получаем mℏ ≤ ℏ l ⋅ ( l + 1) или m 2 ≤ l ⋅ ( l + 1) . С учётом того, что числа m и l - целые это соотношение эквивалентно тому, что значения m находятся в диапазоне m = −l ,..., 0 ,...,l .2m 1 Ze 2 Исходное уравнение Шредингера ∆ψ + 2  E + ψ = 0 , в сферической системеℏ 4πε 0 r координат∂ 2 ψ 2 ∂ψ 2m 1 Ze 2 1+++E ψ = − 2 ∆ θ ,ϕ ( ψ )22 ∂rr ∂r ℏ 4πε 0 r rс учётом выражения для квадрата момента импульса L̂2 ( Ψ ) = − ℏ 2 ⋅ ∆ θ ,ϕ ( Ψ ) может быть записано в форме, учитывающей квадрат момента импульса 22 ∂ψ 2m 1 Ze 2   ˆ 22 2 ∂ ψℏ r  2 ++E+ ψ  = L (ψ ) .r ∂r ℏ 2 4πε 0 r   ∂rСледовательно, решение этого уравнения должно зависеть от величины момента импульса.Это уравнение имеет непрерывные решения при любых положительных значениях энергии E > 0 .

Этому случаю соответствуют решения описывающие электрон, пролетающий мимоядра.Для отрицательных значений энергии E < 0 непрерывные решения существуют приmZ 2 e41En = −⋅ 22 22 ( 4πε 0 ) ℏ nгде n = 1, 2 ,3,... . В этом случае электрон связан с ядром. При этом число l меняется в диапазонеl = 0,1,...,( n − 1)Замечание. Выражение для энергии совпадает с выражением, полученным в теории ядра Бора.В итоге, можно сказать, что решение уравнения для электрона в водородоподобном атоме определяется тремя целыми числами n , l, m, что условно обозначают следующим образомψ = ψ n ,l ,m ( r,θ,ϕ ) .Число n определяет значение электрона в атоме и называется главным квантовым числом.Число l определяет величину момента импульса электрона, поэтому его называют орбитальным (азимутальным) квантовым числом.