Семестр_4_Лекции_05_06 (Отличные лекции от Семиколенова), страница 2

частица отражается от порога полностью.2. Теперь рассмотрим случай, когда энергия частицы больше высоты порога E>U0 . Пусть опять0 , x < 0III.U ( x) = U 0 , x > 0Уравнение Шрёдингера для стационарного состояния вEU0области I:d 2 ψ I 2m+ 2 E ⋅ ψI = 02xdxℏ0Соответственно, решение ψ I = C1eik1 x + C2 e− ik1 x , где2mk12 = 2 E .ℏВ области I решение является суперпозицией падающей на барьер и отраженной от порогаволн:ψ I = ψ IПАД + ψ ОТРIОТРx()для области I падающей волне соответствует координатная часть ψ IПАД = C1eik1x , а отражённойψ ОТР= C2 e − ik1 x .IДля области II:d 2 ψ II 2m+ 2 ( E − U 0 ) ⋅ ψ II = 0dx 2ℏ2mрешение имеет вид ψ II = C3e − ik2 x + C4 eik2 x , где k2 =( E −U0 ) .ℏ2Оставляем только прошедшую волну ψ IIПРОШ = C3eik2 x .Граничным условием является непрерывность функции ψ и её первой производной ψ′x награнице порогаdψIdψψ I ( 0 ) = ψ II ( 0 ) ,( 0 ) = II ( 0 ) .dxdxоткуда получаем систему для определения коэффициентовC1 + C2 = C3.k1C1 − k1C2 = k2C3(k − k )2k1Решение этой системы имеет вид C2 = 1 2 C1 , C3 =C1 .k2 + k1( k1 + k2 )ℏ2C1 .mℏ2= − k1C2 .2mПлотность потока вероятности падающей волны jxПАД = k1Плотность потока вероятности отраженной волны jxОТР6Семестр 4.

Лекции 5-6.Плотность потока вероятности прошедшей волны jxПРОШ = k2j ОТР2ℏ2C3m2 k −k CКоэффициент отражения от порога R = ПАД = 2 =  1 2  не равен нулю!C1j k1 + k2 Это означает, что в отличие от классического случая, когда при E>U0 частица обязательно преодолеет «горку», в квантовой механике существует ненулевая вероятность того, что частицаотразится от «горки» при E>U0.Коэффициент прохождения (прозрачности) порога определяется по аналогии22j ПРОШ k2 C3k2  2k1 = D = ПАД = .k1 C1k1  k1 + k2 j22 k − k  k  2k1 В частности, получаем что R + D =  1 2  + 2  = 1. k1 + k2  k1  k1 + k2 Прохождение частицы через потенциальный барьер.Из результатов п.1 предыдущей задачи следует, что вероятность обнаружения частицывнутри порога при E<U0 на некотором расстоянии от «ступеньки» не равна нулю.

Поэтомувозможна ситуация, при которой частица преодолеет конечную область с потенциальной энергией U0, хотя энергия частицы меньше E<U0.Частица массы m с энергией Е движется вдоль осиIIIIIIх, сначала в области I ( x<0 ) , где потенциальная энергияU0меньше энергии частицы, и налетает на область II, в которой потенциальная энергия больше энергии частицыEU0>E. В отличие от предыдущей задачи, будем предполагать, что протяженность области II конечная 0 < x < a .xa0Далее простирается область III ( x > a ), где энергия частицы больше потенциальной энергии. Примем зависимость потенциальной энергии в виде0 , x < 0U ( x ) = U 0 , 0 < x < a0 , x > aУравнение Шрёдингера для стационарного состояния в области I:d 2 ψ I 2m+ 2 E ⋅ ψI = 0dx 2ℏ2mСоответственно, решение ψ I = C1eik1 x + C2 e− ik1 x , где k12 = 2 E .ℏВ области I решение является суперпозицией падающей на барьер и отраженной от барьераволн:ψ I = ψ IПАД + ψ ОТРIДля области II:d 2 ψ II 2m− 2 (U 0 − E ) ⋅ ψ II = 0dx 2ℏ2mрешение имеет вид ψ II = C3e − k2 x + C4 e k2 x , где k2 =(U 0 − E ) .ℏ2В области IIId 2 ψ III 2m+ 2 E ⋅ ψ III = 0 .dx 2ℏ7Семестр 4.

Лекции 5-6.Общий вид решения ψ III = C5eik1 x + C6 e− ik1 x . Отставляем только прошедшую волну ψ III = C5 eik1x .Граничным условием является непрерывность функции ψ и её первой производной ψ′x на границе барьераdψIdψψ I ( 0 ) = ψ II ( 0 ) ,( 0 ) = II ( 0 ) ,dxdxd ψ IId ψ IIIψ II ( a ) = ψ III ( a ) ,(a) =(a) .dxdxоткуда получаем систему для определения коэффициентовC1 + C2 = C3 + C4ik C − ik C = − k C + k C1 22 32 4 1 1. − k2 ak2 aik1aC3e + C4 e = C5 e− k C e − k2 a + k C e k2 a = ik C eik1a 2 32 41 5Решение этой системы имеет вид C3 =( k2 − ik1 ) ek a eik a C2C5 =(( k− k2 a− ( k2 − ik1 ) ek2 a2 + ik1 ) e22)C2 =C4 =(e(( k(( kk2 a21152k25 + ( k2 + ik1 )2k 2( k2 + ik1 ) e− k a eik a C22( k2 − ik1 ) ek a eik a C212k25 + ( k2 − ik1 )( k2 + ik1 ) e− k a eik a C22k 2522ik1 ( k2 + ik1 ) e − k2 a+ ik1 ) e − k2 a − ( k2 − ik1 ) e k2 a22)C1 , C3 =)C1(( k2ik1 ( k2 − ik1 ) ek2 a− k2 a− ( k2 − ik1 ) e k2 a2 + ik1 ) e22)C1iℏ2C1 .2miℏ2= 2ik1C5 .2mПлотность потока вероятности падающей волны jxПАД = −2ik1Плотность потока вероятности прошедшей волны jxПРОШКоэффициент прозрачности барьераj ПРОШD==(kjПАД22=C5=C1(( k22−k21) (e4ik1k2 e− k2 a− ik1a− ek2 a ) + 2ik1k2 ( e − k2 a + e k2 a )16k12 k2 222− k12 ) ( e − k2 a − e k2 a ) + 4k12 k2 2 ( e− k2 a + e k2 a )222 2Приближённо можно считать, что D ≈ e−2 k2 a ≈ exp  −2m (U 0 − E ) ⋅ a  ℏДля барьера произвольной формы, заданной в виде функции U(x):852k212k 2− e− k2 a ) ( k2 − ik1 )( k2 + ik1 )1C1( k2 − ik1 )( k2 + ik1 ) eik a C− k2 a− ( k2 − ik1 ) e k2 a2 + ik1 ) e22( k2 − ik1 ) ek a eik a C−2ik1C2 = − ( k2 + ik1 ) C3 + ( k2 − ik1 ) C4 = − ( k2 + ik1 )−2ik1C2 = ( e− k2 a − e k2 a )( k2 + ik1 ) e− k a eik a C5 , C4 =2k22ik1C1 = − ( k2 − ik1 ) C3 + ( k2 + ik1 ) C4 = − ( k2 − ik1 )4ik1k2 e − ik1a1)=15Семестр 4.

Лекции 5-6. 2 x2D ≈ exp  − ∫ 2m (U − E )dx  ℏx1где интеграл берётся по интервалу (x1, x2), на котором выполняется неравенство U>E.Определение. Туннельный эффект или туннелирование - это явление преодоления микрочастицей потенциального барьера в случае, когда её полная энергия (остающаяся при туннелировании неизменной) меньше высоты барьера. Туннельный эффект - явление исключительноквантовой природы, невозможное в классической механике.Замечание. В классической механике энергия частицы равна сумме кинетической и потенциальной энергий E = EK + U .

В случае если E < U формально получаем, что EK < 0 .Следовательно, в квантовой механике нельзя определить энергию частицы как сумму потенциальной и кинетической. Это выражение справедливо только для средних значений.Квантовый гармонический осциллятор.Квантовый гармонический осциллятор – это квантовый аналог классической задачи ободномерных колебаниях материальной частицы под действием квазиупругой силы вблизи положения равновесия. В этом случае потенциальную энергию можно выразить через смещениеkkx 2от положения равновесия в виде U =. Круговая частота колебаний частицы равна ω =,2mmω2 x 2поэтому выражение для энергии примет вид U =.2Квантовый гармонический осциллятор – это одномерная модель колебаний микрочастиц.Эти колебания могут быть вызваны тепловыми движениями или колебаниями под действиемвнешних электромагнитных волн.

В классической механике при колебаниях механическая энергия сохраняется, поэтому в квантовой механике эту задачу рассматриваем как стационарную.Уравнение Шрёдингера (для стационарного состояния), описывающее квантовый гармонический осцилляторd 2 ψ 2m mω2 x 2 +E−⋅ψ = 0.Udx 2 ℏ 2 2 Оказывается, что данное уравнение имеет непрерывные решения только в случае, если энергия частицы выражается в виде1E =  n +  ⋅ ℏω .2Следовательно, уровни энергии отстоят от друга на одинаковуювеличину ℏω , поэтому энергия осциллятора может изменяться0xтолько порциями, кратными ℏω .

Число n определяет уровниэнергии, поэтому называется главным квантовым числом.Для квантового осциллятора существует правило отбора – энергии меняется так, чтобы главное квантовое число изменялось на единицу ∆n = ±1 .ℏωСуществует минимальное значение энергии E =. Меньше этого значения энергия ос2циллятора принимать не может.Таким образом, можно сказать, что модель квантового гармонического осциллятора непротиворечит гипотезе Планка о дискретности уровней энергии системы и о существованииквантов.Наличие минимального значения энергии колебаний системы говорит о том, что всюэнергию у системы «отобрать» невозможно.

Что в свою очередь, не противоречит теоремеНернста о недостижимости абсолютного нуля температур (как состояния с нулевой энергиейколебаний).9Семестр 4. Лекции 5-6.Сканирующий туннельный микроскопРассматривать отдельные атомы можно с помощью устройства, использующего квантовый эффекттуннелирования – сканирующий туннельный микроскоп (СТМ). Точнее, сканирующий туннельный микроскоп не рассматривает, а как бы «ощупывает» исследуемую поверхность. Очень тонкая игла-зонд сострием толщиной в один атом перемещается над поверхностью объекта на расстоянии порядка одногонанометра. При этом согласно законам квантовой механики, электроны преодолевают вакуумный барьермежду объектом и иглой – туннелируют, и между зондом и образцом начинает течь ток. Сила этого токаочень сильно зависит от расстояния между концом иглы и поверхностью образца – при изменении зазора на десятые доли нанометра сила тока может возрасти или уменьшиться на порядок.Так что, перемещая зонд вдоль поверхности с помощью пьезоэлементов и отслеживая изменение силы тока, можно исследовать ее рельеф практически «на ощупь».Создание СТМ стало значительным шагом в освоении наномира.

В 1986 году сотрудникам Исследовательского центра компании IBM в Цюрихе Герду Биннигу и Генриху Рореру заэто достижение была присуждена Нобелевская премия.СТМ позволяет увидеть детали поверхности с разрешением в сотые и даже тысячные доли нанометра (соответствует увеличению порядка 100 миллионов раз). На самом деле, это графическое изображение того, как меняется зазор между зондом и поверхностью для поддержания постоянного значения тока.

Взаимодействие зонда СТМ с электронными оболочками атомов дает возможность изучить самые мельчайшие подробности, доступные на сегодняшнийдень.10.