1304252003_921 (Лекции), страница 6

c = 0 – полюс k-го порядка функции f z1 ⇔ b−k b−k+1b−1+ b0 + b1 z + · · · ⇔⇔ f z1 = k + k−1 + · · · +zzza−1⇔ f (z) = ak z k + ak−1 z k−1 + · · · + a1 z + a0 ++ ···.z3. Аналогично.Определение 2 (Вычет в бесконечности). c = ∞ – ИОТ f (z)1Res f (z) :=z→∞2πiIΓ−f (z) dz52Глава 2. Основные свойства аналитических функцийЗамечание.1. Функцияf (z)являетсяаналитической в c = ∞,если ∃ lim f (z) 6= ∞z→∞(c = ∞ – УОТ)2.

Res f (z)z=∞=−a−1 – коэф-фициент при степени (−1) вразложении f (z) по степеням z.Теорема 2 (Полная теорема о вычетах). Пусть f (z) : C → C,c1 , c2 , . . . , cm , ∞ - изолированные особые точки функции f (z). ТогдаmXj=1Res f (z) + Res f (z) = 0.z=cjz=∞Доказательство. ΓM - граница окрестности U M (0).По теореме 2 §2.7ImmXX1f (z)dz =Res f (z) ⇒Res f (z) + Res f (z) = 0.z=cjz=cjz=∞2πij=1j=1Γ+M|{z− Res f (z)z=∞}2.8. Вычеты в б.у. особых точкахПример.

Вычислить интеграл:Idz= 2πi Res f (z);3z=1z −1|z−1|=1f (z) =z31;−1z1 = 1;√31z2,3 = − ± i;221lim 3= ∞ ⇒ z = 1 - полюс;z→1 z − 11= z 3 − 1 = (z − 1) (z 2 + z + 1);|{z}f (z)ϕ(z)k = 1, z = 1 - полюс 1-го порядка;11Res = lim· (z − 1) = .2z=1z→1 (z − 1)(z + z + 1)3Пример. Вычислить интеграл:I|z|=2!dz= 2πi Res f (z) + Res √ f (z) + Res √ f (z) ;z=1z3 − 1z=− 21 +i 23z=− 21 −i 23Рассморим точку z = ∞. 11= lim 1lim f= 0.z→0 3 − 1z→0zzz = 0 - устранимая особая точка.Idz= −2πi Res f (z) = 0.3z=∞z −1|z|=253Глава 3Преобразование Лапласа и егоприложения3.1Преобразование Лапласа и его обращениеОпределение 1 (Функция-оригинал).

Пусть f : R → C - комплекснаяфункция действительного переменного, удовлетворяющая условиям:1. f (t) на R кусочно-непрерывна, за исключением, быть может, конечногоили счетного числа точек разрыва первого рода;2. ∀t < 0 f (t) = 0;3. |f (t)| ≤ M est ; M, S ≥ 0; inf s = s0 - показатель роста f (t).f (t) называется функцией-оригиналом.Пример( (Функция Хевисайда).0, t < 0,η(t) =1, t > 0;t = 0 - точка разрыва первого рода (устранимая).f (0− ) = 0 6= f (0+ ) = 1.|η(t)| ≤ 1 = 1 · e0t , M = 1, s0 = 0.543.1. Преобразование Лапласа и его обращение55Пример.(0, t < 01f (t) =· η(t) =1t−3, t>0t−3f (3− ) = −∞, f (3+ ) = +∞, t = 3 - точка разрыва второго рода ⇒ f (t)не является оригиналом по пункту 1.Пример. f (t) = et .f (t) > 0 при t < 0 ⇒ f (t) не является оригиналом по пункту 2.f (t) = et · η(t) является оригиналом.|et · η(t)| ≤ et = 1 · e1·t , M = 1, s0 = 1.2Пример. f (t) = et · η(t).22|f (t) = et · η(t)| ≤ et ⇒ f (t) - не является оригиналом по пункту 3.56Глава 3.

Преобразование Лапласа и его приложенияЗамечание. Функции et · η(t), cos t · η(t), sh t · η(t), tn · η(t) являютсяоригиналами. Также оригиналами являются их производные и интегралы.Для простоты записи η(t) опускается, но подразумевается.Определение 2 (Преобразование Лапласа). Пусть f (t) - функцияоригинал.

Комплекснозначная функция F (p) : C → C комплексногопеременного p = s + iσ называется преобразованием Лапласа функцииf (t), еслиZ+∞F (p) =f (t)e−pt dt.0Интеграл в правой части равенства - интеграл Лапласа. Соответствиемежду f (t) и F (p) обозначается следующим образом: f (t) : F (p). f (t) оригинал, F (p) - изображение оригинала f (t).Теорема 1 (Существование преобразования Лапласа). ∀f (t) с показателемроста s0 преобразование Лапласа F (p) существует приRe p = s > s0 .Доказательство. Докажем сходимость несобственного интеграла: +∞Z Z+∞ f (t)e−pt dt ≤f (t)e−pt dt;00−(s+iσ)t = |f (t)| f (t)e−st · e−iσt ≤ M es0 t ·e−st = M e(s0 −s)t , тогдаf (t)e +∞+∞ZZ+∞MM(s−s)t−pt(s−s)t00 f (t)e dt ≤ Me=.f(t)edt=s0 − ss0 − s000Интеграл равномерно сходится при Re p > s0 .Замечание.

Можно доказать, что F (p) не только существует, но и аналитичнапри Re p > s0 .3.2. Основные свойства преобразования Лапласа57Пример.(0, t < 0,η(t) =1, t > 0;s0 = 0;+∞Z+∞111 −pt −pt−pt=−lim e − 1 = ;F (p) =1 · e dt = − e pp t→+∞p001:1pЗамечание. Преобразование Лапласа обратимо, т.е. F (p) : f (t).Теорема 2 (Обращение преобразования Лапласа).

Если F (p) :C → C является изображением оригинала функции f (t), то в любойточке непрерывности справедливо равенство:a+i∞Z1f (t) =f (p)ept dp,2πia−i∞где интеграл берется по [a − ib, a + ib] при a > s0 , b → ∞.3.2Основные свойства преобразования ЛапласаПусть f (t), f1 (t), f2 (t) - функции-оригиналы и f (t) : F (p), f1 (t) :F1 (p), f2 (t) : F2 (p).Теорема 1 (Свойство линейности). Преобразование Лапласа линейнойкомбинации функций является соответствующей линейной комбинациейизображений, т.е. ∀λ1 , λ2 ∈ Cλ1 f1 + λ2 f2 : λ1 F1 (p) + λ2 F2 (p).58Глава 3.

Преобразование Лапласа и его приложенияДоказательство. λ1 f1 +λ2 f2 - оригинал; соответствие следует из линейностиинтеграла Лапласа.Теорема 2 (Свойство подобия). ∀α > 01 p.f (αt) : FααДоказательство. τ = αtZ+∞−ptf (αt) :f (αt)e dt = τ1 = 0, τ2 = ∞ dt = 1 dτ0αZ+∞ 1p1 p−ατ=f(τ)eF.dτ= ααα0Теорема 3 (Дифференцирование оригинала). Если f 0 (t) - оригинал⇒ f 0 (t) : pF (p)−f (0+ ), f (n) (t) - оригинал ⇒ f (n) (t) : pn F (p)−pn−1 f (0+ )−.

. .−f (n+1) (0+ ). Дифференцированию оригинала соответствует домножениеизображения на p.Доказательство.f 0 (t) :0=0−ptf (t)e dt = Z+∞∞f (t)e−pt 0u = e−ptdv = f 0 (t)dtdu = −pe−pt dtv = f (t)=Z+∞+pf (t)e−pt dt = pF (p) − f (0+ );|0{zF(p)}Аналогичноf 00 (t) : p2 F (p) − pf (0+ ) − f 0 (0+ );...f (n) (t) : pn F (p) − pn−1 f (0+ ) − . . . − f n−1 (0+ );Теорема 4 (Интегрирование оригинала). Если f (t) - оригинал иf (t) : F (p), тоZtF (p)f (τ )dτ :.p03.2. Основные свойства преобразования Лапласа59Доказательство.Rtf (τ )dτ = g(t) - оригинал.

Пусть g(t) : G(p). Но g 0 (t) = f (t) и по0теореме 3 g 0 (t) : pG(p) − g(0+ ) = pG(p), но f (t) : F (p)F (p)⇒ pG(p) = F (p) ⇒ G(p) =pТеорема 5 (Дифференцирование изображений).F (p) : f (t) ⇒ f 0 (t) : −tf (t), . . . , F (n) (p) : (−1)n tn f (t).Доказательство. ЕслиZ+∞F (p) =f (t)e−pt dt0равномерно сходится на Re p > s0 , то его можно почленно дифференцировать: +∞0ZZ+∞Z+∞00−pt−ptF (p) =  f (t)e dt =f (t)edt =f (t)(−t)e−pt dt : −tf (t).p0p00Аналогично теорема доказывается для производных более высокого порядка.Теорема 6 (Интегрирование изображения).Z∞F (p) : f (t) ⇒F (p)dp :f (t).tpИнтеграл берется по пути, лежащем в Re p > s0Доказательство.Z∞p∞Z∞ Z∞Z∞Z∞Z∞1−pt−pt−ptF (p)dp =  f (t)e dt dp = f (t)dt e dt = f (t)·edt =−tpp00pZ∞=00f (t) −ptf (t)e dt :.tt60Глава 3.

Преобразование Лапласа и его приложенияТеорема 7 (Теорема запаздывания).f (t) : F (p), ∀τ > 0, тогда f (t − τ ) - оригинал и f (t − τ ) : e−pτ F (p).Доказательство.Z∞f (t−τ ) :τ−ptf (t−τ )e dt = θ =t−τ Z∞t=θ+τ = f (θ)e−p(θ+τ ) dθ =dt = dθθ1 = 0, θ2 = ∞ 0Z∞= e−pτ f (θ)e−pθ dθ = e−pτ F (p).0Теорема 8 (Теорема смещения).F (p) : f (t), ∀λ ∈ C F (p − λ) : eλt f (t).Доказательство.eλt f (t) :Z∞0eλt f (t)e−pt dt =Z∞0f (t)e−(p−λ)t dt = F (p − λ)..