metoda_ter_mex1298_2 (Метода по термеху № 1298), страница 4

Шестерня I совершает вращательное движение вокруг той же оси,что и кривошип ОА.Определим величину скорости точки K касания двух шестерен (VK)VK = ω1 ⋅ R1 .(8)Для указанного положения механизмаVK = 1 ⋅ 0,2 = 0,2 м/с.(9)rВектор скорости точки K (VK ) направлен перпендикулярно радиусувращения (R1) в направлении вращения шестерни I, указанном на рисункедуговой стрелкой ω1.3.

Шестерня II совершает плоскопараллельное (плоское) движение.Для моментавремени,соответствующегозаданному положениюмеханизма, выше определены скорости двух точек этой шестерни (точек A и26K), а также ускорение точки А. Это позволяет определить скорость иускорение любой точки шестерни II.Прежде всего необходимо найти положение мгновенного центраскоростей (точку CV) шестерни II. Так как скорости точек A и K параллельныrrдруг другу и при этом линия AK перпендикулярна скоростям V A и VK , томгновенный центр скоростей, находящийся в точке пересечения прямых,проведенных через начала и концы векторов скоростей (рис.4.5).

Здесьучтено, на основании сравнения (2) и (9), что VA> VK .Величина угловой скорости шестерни II может быть определена наосновании соотношенияVVω2 = A = K .(8)ACV KCVИз свойств пропорции получимV A − VKV − VKω2 == A.(9)ACV − KCVR2Подставляя (1) и (8) в равенство (11), получимω ⋅ (R1 + R2 ) − ω1 ⋅ R1ω 2 = OA.(12)R2Для заданного положения механизма2 ⋅ (0,2 + 0,1) − 1 ⋅ 0,2ω2 == 4 с-1.(13)0,1Направление вращения шестерни II вокруг мгновенного центраскоростей (точки CV), определяемое направлением скоростей точек A и K,условно показано на рисунке дуговой стрелкой ω2.Алгебраическую величину углового ускорения шестерни II определимна основании формулыε 2 = ω& 2 .(14)Учитывая (12), на основании (14) получимω& ⋅ (R1 + R2 ) − ω& 1 ⋅ R1ε 2 = OA.(15)R2По условию задачи кривошип OA вращается ускоренно. Это значит,что абсолютная величина угловой скорости кривошипа ωOA возрастает.

Вэтом случае ω& OA > 0 , то естьω& OA = ε OA ,(16)где εOA - заданная абсолютная величина углового ускорения кривошипа.Шестерня I вращается замедленно. При этом абсолютная величинаугловой скорости шестерни I убывает и, следовательно, ω& 1 < 0 . Такимобразомω& 1 = −ε 1 ,(17)где ε1 - заданная величина углового ускорения шестерни I.В результате подстановки (16) и (17) в (15) найдем27ε OA ⋅ (R1 + R2 ) + ε 1 ⋅ R1.R2Для заданного положения механизма2 ⋅ (0,2 + 0,1) + 1 ⋅ 0,2ε2 == 8 с-2.(18)0,1Так как знаки ω2 и ε2 совпадают, шестерня II вращается ускоренно.Направление ε2 покажем на рисунке дуговой стрелкой в сторону ω2.На основании (1),(10) и (12) нетрудно найти расстояние ACVVACV = A .ω2Для заданного положения механизма, учитывая (2) и (13), получим0,6= 0,15 м.ACV =4Величину скорости точки B (VB) можно найти по формулеVB = ω 2 ⋅ BCV ,(19)ε2 =гдеBCV = ACV2 + AB 2 = 0,15 2 + 0,12 = 0,18 м.(20)Учитывая (13) и (20) на основании (19) найдем величину скороститочки B для заданного положения механизмаVB = 4 ⋅ 0,18 = 0,72 м/с .rВектор скорости (V B ) направлен перпендикулярно прямой BCV всторону вращения шестерни II, указанную дуговой стрелкой ω2.Ускорение точки B можно найти на основании теоремы об ускоренияхточек плоской фигуры, приняв точку A за полюсrrrnrτa B = a A + a BA+ a BA,(21)rnrгде a BAи a τBA - соответственно нормальное и касательное ускоренияточки B при относительном вращательном движении шестерни II вокругполюса А.С учетом (3), (21) примет видrrrrnrτa B = a An + a τA + a BA+ a BA.(22)nВеличины нормального ( a BA) и касательного ( a τBA ) ускорений точки Bпри относительном вращательном движении шестерни II вокруг полюса Aопределяются по формуламna BA= ω 22 ⋅ BA = ω 22 ⋅ R2 ,(23)a τBA = ε 2 ⋅ BA = ε 2 ⋅ R2 .Для заданного положения дифференциальногоосновании (23) и (24) с учетом (13) и (18) получимna BA= 4 2 ⋅ 0,1 = 1,6 м/с2 ,a τBA = 8 ⋅ 0,1 = 0,8 м/с2 .(24)механизма на(25)(26)28rnнаправлено вдоль ВА к центруПри этом нормальное ускорение a BArотносительного вращения (к полюсу А), а касательное ускорение a τBAнаправлено перпендикулярно ВA в сторону, указанную дуговой стрелкой ε2.Таким образом, в векторном равенстве (22) известны модули и направлениявсех четырех векторов, стоящих справа от знака равенства.

Для определенияrускорения точки B ( a B ) найдем его проекции на две оси координат x, y,rпоказанные на рис. 4.5. Проекция a B на любую ось равна алгебраическойrrrnrсумме проекций ускорений a An , a τA , a BAи a τBA на ту же ось. .Проекцииэтих ускорений легко найти из чертежа. Таким образомna Bx = −a τA − a BA= −0,6 − 1,6 = −2,2 м/с2 ,a By = a τBA − a An = 0,8 − 1,2 = −0,4 м/с2 .По найденным двум проекциям ускорения точки B нетрудно найти егомодуль и направление. Модуль ускорения точки B22a B = a Bx+ a By= 2,2 2 + 0,4 2 = 2,24м/с2 .29Задание К-5Приняв угловую скорость ω0 кривошипа OA постоянной, определитьдля заданного положения механизма (рис.5.1-5.6):1. скорости точек A, B, C, D механизма и угловые скорости звеньев АВи CD при помощи мгновенных центров скоростей;2. скорости этих же точек методом проекций на прямую, соединяющуюточки;3.

ускорения точек А, В, С, а также угловое ускорение звена АВ(аналитическим способом).Необходимые для решения данные приведены в таблице 5.№ варианта12345*6*7891011*12*1314151617*18*1920212223*24*252627№рис.5.15.25.35.45.55.65.15.25.35.45.55.65.15.25.35.45.55.65.15.25.35.45.55.65.15.25.3ω0(с-1)π/2π/4π/2π/4π/32π/3π/4π/6π/6π/3π/32π/3π/3π/3π/4π/3π/32π/3π/62π/3π/3π/6π/32π/3π/43π/4π/2OA(см)405030201215201006030243060603610187,5307527153622,51015015ϕ(град.)904590456013545303060601206060456060120301206030601204513590AB(см)80606010055504012012015011010012072725082,52560905475165752018030AC(см)406020503615201204075723060722425547,530901837,510822,52018010CD(см)7080506023403516010090468010596603034,52052,51204545696018,524025h(см)201022544015441082453327307,5668160-Таблица 5lO1D(см) (см)102580191917405501203838348015304028,5 28,58,5207,522,560575722,5602,512,5-30№ варианта2829*30*№рис.5.45.55.6ω0(с-1)π/2π/32π/3OA(см)40645ϕ(град.)9060120AB(см)20027,5150AC(см)1001845CD(см)12011,5120h(см)2011162l(см)1609,551O1D(см)9,5120*Примечание: в вариантах с рис.

5.5, 5.6 из двух возможныхположений механизма выбрать для расчета такое, при котором шарнир Dнаиболее удален от ползуна B.Пример выполнения задания К-5Дано: схема механизма в заданном положении (рис. 5.7).ϕ = 30°;ОА = 30 см ; АВ = 70 см ; ВС = 35 см ; CD = 40 см; l = 90 см ; ω0= π/6 с-1 .Определить:1. скорости точек А, В, С, D механизма и угловые скорости всех егозвеньев при помощи мгновенных центров скоростей;2.

скорости этих же точек методом проекций на прямую, соединяющуюточки;3. ускорения точек А, В, C, а также угловое ускорение звена АВ(аналитическим способом).Решение: Построим механизм в выбранном масштабе me = 1:10(рис.5.7).При исследовании кинематики плоского механизмабудемрассматривать последовательно движение каждого звена механизма, начинаяс ведущего звена, угловая скорость которого задана.1. Определение скоростей точек и угловых скоростей звеньевмеханизма с помощью мгновенных центров скоростей.а) Звено ОА совершает вращательное движение вокруг неподвижногоцентра O.

Определим скорость точки А кривошипа, которая одновременнопринадлежит следующему звену АВ. Величина скорости точки Аопределяется по формулеπV A = ω OA ⋅ OA = ⋅ 30 ≈ 16см/с.3rВектор скорости V A перпендикулярен прямой OA и направлен всторону вращения кривошипа, указанную дуговой стрелкой ω0 (рис.5.7).б) Звено АВ совершает плоскопараллельное (плоское) движение. Вышенайдена скорость точки А этогозвена и известна линия действияr(направления) скорости точки В ( V B - вдоль прямой OВ ). Мгновенный центрскоростей звена АВ (точка СV1) находится на пересечении перпендикуляров,rrвосстановленных в точках А и В к направлениям их скоростей (V A и V B ).Точка С принадлежит звену АВ.

Соединим точку С с мгновенным центром31DCAACϕω0ω0BBϕhODOlРис. 5.1Рис. 5.2DBCOAω0OhϕBϕCω0DAllРис. 5.3Рис. 5.4llO1lBBCDAϕω0DhOРис. 5.5CO1hOϕω0AРис. 5.632CV1ωAB−VAεABxCV2−VCαω0Oτa−CADωCD−VDAa−Ana−CACϕ0na−BAβ−VBlBa−Bτa−BAyРис. 5.7A1−VAaω0OC1Ad−VCcD−VD D1Cc2bB−B1 VBРис. 5.8rскоростей СV1. Вектор скорости точки С (VC ) направлен перпендикулярно кпрямой CCV1.Для звена CD мгновенный центр скоростей определяеманалогично.rИзвестна линия действия скорости точки С (VC ) и линия действия(направления) скорости в точке D (по вертикали). Восстанавливаемперпендикуляр в точке D к вертикали до пересечения с прямой CCV1 в точкеCV2. Точка CV2 и есть мгновенный центр скоростей звена СD.33Измеряем расстояния от точек А, В, С и D до соответствующихмгновенных центров скоростей|АCV1| = 8 см , |ВCV1|=6см, |СCV1| = 6,1 см .|CCV2| = 3 см .

|DCV2| = 1,4 см .Учитывая масштаб me, получаемАCV1 = 80 см , ВCV1 = 60 см , СCV1 = 61 см ,СCV2 = 30 см , DCV2 = 74 см .Скорости точек плоской фигуры пропорциональны расстояниям домгновенных центров скоростей. Для звена АВ имеемVVAV= B = C.ACV 1 BCV 1 CCV 1Отсюда находимBCV 1CCV 1= 12 см/с,= 12,2 см/с.VB = V AVC = V AACV 1ACV 1Аналогично для звена CD получимDCV 2VCV= D,V D = VC= 5,6 см/с.CCV 2CCV 2 DCV 2в) Определим величины угловых скоростей звеньев механизма.Скорость любой точки звена равна произведению угловой скорости этогозвена на расстояние от точки до мгновенного центра скоростейV A = ω AB ⋅ ACV 1 ,VB = ω AB ⋅ BCV 1 ,VC = ω AB ⋅ CCV 1 ,VC = ω CD ⋅ CCV 2 ,VD = ω CD ⋅ DCV 2 .V16Отсюдаω AB = A == 0,2 см/с,ACV 1 80V12,2ω CD = C =≈ 0,41 см/с.CCV 230Из рис.5.7. следует, что вращения звеньев AB и CD вокруг мгновенныхцентров скоростей происходят по часовой стрелке.2.

Определение скоростей этих же точек методом проекций на прямую,соединяющую точки.Для определения скоростей точек методом проекций вновь строиммеханизм в заданном масштабе (me = 1:10) (рис.5.8). С помощью теоремы опроекциях скоростей двух точек плоской фигуры на прямую, ихсоединяющую, и теоремы о геометрическом месте концов векторовскоростей точек прямой, определяем скорости точек В, Cr и D.На рис.5.8 находим проекцию вектора скорости V A , который построенв масштабе (mv=1:4), на прямую АВ.